高等数学课件：3-7曲率

1、2021-12-151五五 小结与思考判断题小结与思考判断题第七节第七节 曲曲 率率 一一 问题的提出问题的提出三三 曲率及其计算公式曲率及其计算公式二二 弧微分弧微分四四 曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径(Curvature)2021-12-152怎样描述曲线局部弯曲程度？怎样描述曲线局部弯曲程度？1M3M)2 2M2S 1S MM 1S 2S NN )弧段弯曲程度弧段弯曲程度越大转角越大越大转角越大转角相同弧段越转角相同弧段越短弯曲程度越大短弯曲程度越大1 )一 问题的提出(Introduction) 我们直觉认识到：直线不弯曲，曲线不同部分我们直觉认识到：直线不弯曲，曲线不同部分有不同的

2、弯曲程度；有不同的弯曲程度；2021-12-153二 弧微分(Differential of Arc)NTA0 xMxxx .),()(内内具具有有连连续续导导数数在在区区间间设设函函数数baxfxyo.),(:00作作为为度度量量弧弧长长的的基基点点在在曲曲线线上上取取点点yxA),(yxM对对于于曲曲线线上上任任意意一一点点规定：规定：;)1(增增大大的的方方向向曲曲线线的的正正向向为为 x,)2(sAM .,取取负负号号相相反反时时取取正正号号一一致致时时的的方方向向与与曲曲线线正正向向当当ssAM)(xss 易看出：弧长：弧长 是是x的单调增函数的单调增函数.2021-12-154)(

3、xss 下面求下面求 的导数与微分的导数与微分,),(上上的的另另一一点点为为曲曲线线设设yyxxN MNs NMTA0 xxxx xyo22 xMNxs22 xMNMNMN 2222)()(xyxMNMN 222)(1xyMNMN 222)(1xyMNMNxs2021-12-155MNx ,0时时当当.12dxyds 故故,)(为单调增函数为单调增函数xss .12dxyds 故故弧微分公式弧微分公式NMTA0 xxxx xyo1lim2 MNMNMNyxyx 0lim2021-12-156三 曲率及其计算公式-描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。1M3M)2

4、 2M2S 1S MM 1S 2S NN )1）弧段弯曲程度越大转角越大，）弧段弯曲程度越大转角越大，2）转角相同弧段越短弯曲程度越大。）转角相同弧段越短弯曲程度越大。1 曲率的定义曲率的定义1 )(Curvature and Formula)2021-12-157) S S) .M .MC0Myxo.sKMM 的平均曲率为的平均曲率为弧段弧段（设曲线设曲线C是光滑的，是光滑的，.0是是基基点点M, sMM （. 切切线线转转角角为为MM定义定义sKs 0lim曲线曲线C在点在点M处的曲率处的曲率,lim0存在的条件下存在的条件下在在dsdss .dsdK 2021-12-158例例1 直线的

5、曲率处处为零直线的曲率处处为零. 例例2 圆上各点处的曲率等于半径的倒数圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径越小曲率越大且半径越小曲率越大.0, 0 sK as1 asa,设圆的半径为设圆的半径为asK1 2021-12-159 ),(),(tytx 设设.)()()()()()(2322ttttttk 2 曲率的计算公式曲率的计算公式,)(二阶可导二阶可导设设xfy ,tany ,12dxyyd .)1(232yyk ,arctany 有有.12dxyds 2021-12-1510例例2 2?2上哪一点的曲率最大上哪一点的曲率最大抛物线抛物线cbxaxy 解解,2baxy ,2ay .)2

6、(12232baxak ,2时时当当abx .最最大大k,)44,2(2为为抛抛物物线线的的顶顶点点又又aacbab .最大最大抛物线在顶点处的曲率抛物线在顶点处的曲率2021-12-1511232)(1|yyk 2322)cos9sin4(6tt 232)cos54(6t 要使要使 最大，最大，k232)cos54(t 必有必有 最小，最小，23,2 t此时此时 最大，最大，k 例例3 椭圆椭圆 上哪上哪 些点处曲率最大？些点处曲率最大？,cos2tx tysin3 解解2021-12-1512四 曲率圆与曲率半径定义定义D)(xfy Mk1 .),(,.1,).0(),()(处的曲率圆处的

7、曲率圆称此圆为曲线在点称此圆为曲线在点如图如图作圆作圆为半径为半径为圆心为圆心以以使使在凹的一侧取一点在凹的一侧取一点处的曲线的法线上处的曲线的法线上在点在点处的曲率为处的曲率为在点在点设曲线设曲线MDkDMDMkkyxMxfy ,曲曲率率中中心心 D.曲率半径曲率半径 xyo(Curvature Circle and Radius)2021-12-15131 曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数的曲率互为倒数.1,1 kk即即注意注意: :2 曲线上一点处的曲率半径越大曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点曲线在该点处的曲率越小处的曲率越小;曲率半径越小曲率半径越小,曲率越大曲率越大.2021-12-1514五 小结与思考判断题基本概念基本概念: 弧微分弧微分,曲率曲率,曲率圆曲率圆.曲线弯曲程度的描述曲线弯曲程度的描述曲率曲率;2021-12-15151 1. .曲曲线线弧弧xysin )0( x上上哪哪一一点点处处的的曲曲率率半半径径最最小小？求求出出该该点点处处的的曲曲率率半半径径 . . 2 2. .曲