医科数学第二章第三节 函数的微分

1、第三节第三节 函数的微分函数的微分一、微分的概念一、微分的概念三、一阶微分形式不变性三、一阶微分形式不变性四、微分的应用四、微分的应用二、微分的基本公式与法则二、微分的基本公式与法则2xAxx22)(xxxA2)(2xxx)1()2(;,的主要部分的主要部分且为且为的线性函数的线性函数Ax .,很小时可忽略很小时可忽略当当的高阶无穷小的高阶无穷小xx :)1(:)2(x x 2)( x xxxx一、微分的概念一、微分的概念例例2-25 2-25 假设某患者皮肤创伤面近似于正方形，当边假设某患者皮肤创伤面近似于正方形，当边长为时，面积为无论因何原因，设边长有了一长为时，面积为无论因何原因，设边长

2、有了一个增量，相应地，面积的增量为：个增量，相应地，面积的增量为：x2xAxA1微分的定义微分的定义,很小时很小时当当 r)()2(ror 的的高高阶阶无无穷穷小小是是既容易计算又是较好的近似值既容易计算又是较好的近似值 问题问题: :这个线性函数这个线性函数(改变量的主要部分改变量的主要部分)是否所有函是否所有函数的改变量都有数的改变量都有?它是什么它是什么?如何求如何求? 若创伤面积近似于圆形若创伤面积近似于圆形,设半径为设半径为 ,面积为面积为 .对于半径的微小增量对于半径的微小增量 ,相应的面积增量相应的面积增量 为为r2rsrs22)(rrrs2)(2rrr) 1 () 2 (rrs

3、 2定义定义2-2 ,)(,)(,)(),()()()( .,)( 00000000即即或或记作记作的微分的微分于自变量增量于自变量增量相应相应在点在点为函数为函数并且称并且称可微可微在点在点则称函数则称函数无关的常数无关的常数是与是与其中其中成立成立若函数增量若函数增量内内在在及及内有定义内有定义在区间在区间设函数设函数xxxxxdfdyxxxfyxAxxfyxAxoxAxfxxfyIxxxIxfyxAdyxx0 类似地类似地,函数函数 在任意点在任意点 处的微分处的微分,称为函称为函数的微分数的微分,记为记为 或或)(xfy xdy)(xdfxAdy由定义知由定义知: :;) 1 (的线性

4、函数的线性函数是自变量的改变量是自变量的改变量 xdy;)()2(高阶无穷小高阶无穷小是比是比 xxodyy;,0)3(是等价无穷小是等价无穷小与与时时当当ydyA dyyxAxo)(1).0(1x;)(,)4(0有关有关和和但与但与无关的常数无关的常数是与是与xxfxA).(,)5(线性主部线性主部很小时很小时当当dyyx).(,)()(000 xfAxxfxxf且且可导可导处处在点在点数数可微的充要条件是函可微的充要条件是函在点在点函数函数证明证明 (1) 必要性必要性可微可微在点在点0)(xxf)( xoxAyxxoAxy)(xxoAxyxx)(limlim00则则A).(,)(00 x

5、fAxxf且且可导可导在点在点即函数即函数2可微与可导的关系可微与可导的关系).(.0 xfA 可微可微可导可导即即:(2) 充分性充分性),()(0 xxxfy从从而而,)(0 xfxy即即,)(0可可导导在在点点函函数数xxf),(lim00 xfxyx)0(0 x)()(0 xoxxf.)(,)(00Axfxxf且且可可微微在在点点函函数数xxfxAdy)(., xdxdxxx即即记作记作称为自变量的微分称为自变量的微分的增量的增量通常把自变量通常把自变量dxxfdy)( )(xfdxdy. 微微商商导导数数也也叫叫的的导导数数之之商商等等于于该该函函数数与与自自变变量量的的微微分分即即

6、函函数数的的微微分分dxdy., xdxdxxx即即记作记作称为自变量的微分称为自变量的微分的增量的增量通常把自变量通常把自变量dxxfdy)( )(xfdxdy解解:.02. 0, 23时的微分时的微分当当求函数求函数xxxyxxdy)(3xx 2302. 02202. 023xxxxxxdy24. 0例例2-262-26)(xfy 0 xMNTdyy)( xo ）xyo x ., 的增量的增量纵坐标对应纵坐标对应就是切线就是切线标增量时标增量时曲线的纵坐曲线的纵坐是是当当dyyxx0 P .,MNMPMx可近似代替曲线段可近似代替曲线段切线段切线段的附近的附近在点在点很小时很小时当当 3微

7、分的几何意义微分的几何意义1.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221二、微分的基本公式与法则二、微分的基本公式与法则dxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx2211)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)(2. 函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则2)()()()(vudvvduvududvvduuvdC

8、duCuddvduvuddxxxarcddxxxd2211)cot(11)(arctan解解: :2221xxexxeydxexxedyxx2221解解:)(cos)(cos3131xdeedxdyxxxxeexxsin)(cos 3)(3131dxxedxexdyxx)sin()3(cos3131dxxxex)sincos3(31.),ln(2dyexyx求求设设例例2-272-27.,cos31dyxeyx求求设设例例2-282-28;)(,) 1 (dxxfdyx是是自自变变量量时时若若则则的的可可微微函函数数即即另另一一变变量量是是中中间间变变量量时时若若),(,)2( txtx)()

9、(xfxfy有导数有导数设函数设函数dttxfdy)()(dxdtt )(.)(dxxfdy结论结论：的微分形式总是的微分形式总是函数函数是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量无论无论)(, xfyx微分形式的不变性微分形式的不变性dxxfdy)( 三、一阶微分形式不变性三、一阶微分形式不变性解解:2 bxaxueyuduedyu)()(2bxaxdeu.,2dyeybxax求求设设例例2-292-29dxbxaebxax)2()(2xddyln1 (arctan例例2-302-30解解:xdxdyln1 ()ln1 (112xxdxln1 (2)ln1 (ln21)ln1 ()ln2(21

10、xxx 例例2-31 2-31 已知已知 ,试尽量简化其试尽量简化其形式形式.dxexedyxx)(sec2222解解:dxexedyxx)(sec2222)()(sec2222xdeexx)()(sec2vdeevv)()(sec2vvede)()(sec2uduud tan四、微分的应用四、微分的应用很小时很小时且且处的导数处的导数在点在点若若xxfxxfy, 0)()(00.)(0 xxf00 xxxxdyy1近似计算近似计算函数增量的近似值的计算公式函数增量的近似值的计算公式)()(00 xfxxfy.)(0 xxfxxfxfxxf)()()(000)(很小时很小时x 函数近似值的计算

11、公式函数近似值的计算公式例例2-32 2-32 在某合成反应中在某合成反应中, ,若加入催化剂单位若加入催化剂单位, ,则反则反应生成物应生成物 可达单位可达单位, ,同时同时, ,反应液的温度还要提高反应液的温度还要提高 单位单位. .设设 . .如果如果 最初为最初为 且使且使 , ,则再添催化剂则再添催化剂 后，相应的后，相应的 收获收获加加 . .求对应的求对应的 . .uBSxT)1/(10),1/(uuTuuxu10u5 . 00 xuBS01. 0 xT 解解: 从从 解出解出 ,从而从而 是是 复合函数复合函数)1/(uux)1/(xxuTx22)1 ()1 (5xdxuudx

12、dxdududTdT05. 0dTT01. 0, 5 . 0, 100 xxu已知已知代入上式代入上式,得得例例2-332-33.50的的近近似似值值计计算算解解: 设设xxf)(xxxxfdxxfxdf2)()()(由近似公式由近似公式则则和和取取. 1,49500 xxx可微可微连续连续在在、xf), 0()()49()49() 149()50(50ffff071. 714174921492函数的线性近似函数的线性近似xffxf)0()0()(,)()()(000 xxfxfxxf xxx , 00令令附附近近的的近近似似值值在在点点0)(xxf证明：证明：xexf)(设设xexf)(1)0(, 1)0(ffxffxf)0()0()(x1例例2-34 2-34 证明当证明当 很小时很小时, ,近似式近似式 成立成立. .xxex1