系统的稳定性

1、1本章主要教学内容本章主要教学内容5.3节为本章难点，5.2、5.4、5.5节为本章重点5.1 系统稳定性的初步概念5.2 Routh(劳斯)稳定判据5.5 系统的相对稳定性5.4 Bode稳定判据5.3 Nyquist稳定判据2本节教学内容本节教学内容本节教学要求本节教学要求5.1.1 稳定性的定义 5.1.2 稳定的充要条件 5.1.3 稳定的必要条件1.了解系统稳定性的物理概念 3.掌握用稳定的必要条件 判断系统稳定性的方法2.熟悉系统稳定性的数学定义及充要条件 3稳定的摆不稳定的摆稳定临界稳定不稳定4n稳定性稳定性一个系统称之为稳定的，是指控制系统在外部扰动作用下偏离其原来的平衡状态，

2、当扰动作用消失后，系统仍能自动恢复到原来的平衡状态。p线性系统的稳定性是控制系统自身的固有特性，取决于系统本身的结构和参数，与输入无关。p以上定义只适用于线性定常系统。5p大范围渐近稳定：不论扰动引起的初始偏差有多大， 当扰动取消后，系统都能够恢复到原有的平衡状态，否则就称为小范围(小偏差)稳定。注意：对于线性系统，小范围稳定大范围稳定。p临界稳定：若系统在扰动消失后，输出与原始的平衡状态间存在恒定的偏差或输出维持等幅振荡，则系统处于临界稳定状态。p说明：经典控制论中,临界稳定也视为不稳定。因为n分析时依赖的模型通常是简化或线性化的；n实际系统参数的时变特性；n系统必须具备一定的稳定裕量。6假

3、设系统在初始条件为零时，受到单位脉冲信号(t)的作用，此时系统的输出为单位脉冲响应，这相当于系统在扰动作用下，输出信号偏离平衡点的问题，显然，当t时，若：则系统（渐近）稳定。0limotx7)j()(j()()()()(.)()(11011101110jjjjkirjinnnnmmmmiosspsasBsAsBasasasabsbsbsbsXsX)sin()(110jrjdjjtkitpitAeectxjip如果 pi和i均 为负 值,当 t 时, x0(t)0。p稳 定 性 与零点无关.p自动控制系统稳定的充分必要条件充分必要条件是：系统特征方程的根全部具有负实部，或闭环系统的极点全部在S平

4、面左半部。系统不稳定为不稳定)系统临界稳定(工程上系统稳定0Re0Re,1,0Reiiissnis8p由已知条件知系统具有负实根或具有负实部的共轭复根，因此系统稳定。某单位反馈系统，其开环传递函数为)0, 0() 1()(TKTssKsG其闭环传递函数为1)(1)()(2sTsKsGsGsGB系统特征方程和特征根为TTKsKsTssD24110)(2, 129系统特征方程各项系数具有相同的符号，且无零系数。0.)(1110nnnnasasasasD设系统特征根为s1、s2、sn-1、sn，则)()(21001101nnnnnssssssaasaasaasniinnnjijijinniinnss

5、sssssssssss12211121) 1()()()(10niisaa1101) 1(njijissaa,202) 1(nkjikjisssaa,303) 1(各根之和每次取两根乘积之和每次取三根乘积之和各根之积p系统特征方程的全部根具有负实部则特征方程的系数必然同号（不妨设为均大于零）。niinnsaa10) 1(niinnnjijijinniinnnnnsssssssaasaasssssss122111010121)1()()()(n 用待定系数法分析特征方程根与系数的关系11 某水位控制系统如图，讨论该系统的稳定性。) 1(sTskmmsK0：被控对象水箱的传递函数：执行电动机的传递

6、函数K1 ：进水阀门的传递系数 Kp ：杠杆比 H0 ：希望水位H ：实际水位12p该系统为三阶系统，但缺少s项，即对应的特征多项式的中有系数为0，不满足系统稳定的必要条件，所以该系统不稳定。p这种系统属于结构不稳定系 统，无 论怎样调整该系统的参数 ，如(K、Tm)，都不能使系统稳定，要使系统稳定，必须对系统进行校正。系统稳定性分 析023KssTm系统闭环传递函数和特征方程K =Kp kmK1K0 为系统的开环放大系数mpmmpBkKKKsTskKKKsG01201) 1()(0) 1(012KKkKsTsmpm135.2.1 Routh行列式 5.2.2 Routh判据 5.2.3 Ro

7、uth判据的特殊 情况1.掌握利用Routh判据判 断系统稳定性的方法2.了解特殊情况下Routh判据的运用 140.)(1110nnnnasasasasDn列写Routh行列式，是利用Routh判据进行系统稳定性分析的主要工作，其步骤如下:列写系统特征方程5311420aaasaaasnn由系统特征方程的各项系数排成Routh行列表的前两行其中，第一行为sn、sn-2、sn-4 的各项系数依次排成； 第二行为sn-1、sn-3、sn-5的各项系数依次排成。1510112123214321332125311420gsfseesdddscccsbbbsaaasaaasnnnnnp 计算Routh

8、行列式的每一行都要用到该行前面两行的数据。计算行列式的其余各行113021aaaaab 115042aaaaab 112131bbbaac 113152bbbaac 112121cccbbd 113132cccbbd 16n 例如6阶特征方程 其牢斯行列式为 0652433425160 asasasasasasa0000000000011121011212112113111212121112131511121313310612150411130214531564206fdddeseddccdsdcbbcdccbbcsbabcbbaabcbbaabsbaaaabaaaaabaaaaasaaasa

9、aaas17如果符号相同，说明系统具有正实部的特征根的个数等于零，系统稳定；如果符号不同，则符号改变的次数等于系统具有正实部的特征根的个数，系统不稳定。p控制系统稳定的充分必要条件 牢斯行列式的第一列元素不牢斯行列式的第一列元素不改变符号！改变符号！ 牢斯判据的实质是对Routh行列表中的“第一列第一列”各数的符号进行判断：p注：通常a0 0，因此，劳斯稳定判据可以为劳斯阵列劳斯阵列表中第一列的各数均大于零。表中第一列的各数均大于零。 18n 例例1 牢斯判据判定稳定性牢斯判据判定稳定性符号改变二次，系统有两个不稳定的特征根。19n 例例2 牢斯判据判定稳定性牢斯判据判定稳定性KssssKsR

10、sC)2)(1()()(2系 统特 征方 程0233)(234KsssssD牢 斯判 据002-(9/7)Ks100Ks00K7/3s2023s3K31s4914007920KKK20n 例例3 牢斯判据判定系统相对稳定性牢斯判据判定系统相对稳定性已知系统特征方程： s3+7s2+14s+8=0试判断该系统有几个特征方程根位于与虚轴平行的直线s=-1的右侧。1 sz03408) 1(14) 1(7) 1(2323zzzzzz系统特征方程为：将s平面虚轴左移一个单位距离，即构造一个 平面，则直线s=-1右侧的极点即为 平面右侧的极点。劳斯行列表00304310123zzzz系统有一个特征根位于（

11、-1，j0）点。21n特殊情况特殊情况1：第一列出现：第一列出现00233)(234sssssD(各项系数均为正数)2s023s2)(0s031s231s01234解决方法：用任意小正数 代之。（因第一列符号改变两次，该系统不稳定。）22n特殊情况特殊情况2：某一行元素均为：某一行元素均为006655)(2345ssssssD6s5/2s62/5s010040s651s651s012345(各项系数均为正数)： 用全 0 行的上一行元素构成辅助方程,用对该方程求导后的方程系数替代全0行.求导得:06524 ss010413ss例如：出现全0行2j2, 1s3j4, 3s15s还可由辅助方程求出

12、相应的极点06524 ss23n 系统在s平面有对称分布的根共轭虚根对称于虚轴的两对共轭复根对称于虚轴的一对实根24例例 图示系统，确定K、a取何值时，系统维持以=2 s-1的持续振荡。12) 1(23sasssKXi(s)Xo(s)1012121) 1()2() 1()(012323ksakkskasksKsKasssKsGB系统产生持续振荡，说明系统为临界稳定系统，则劳斯行列式的第一列会出现0元素。75. 0, 22 j2j02)2)() 1()(22aKKsKsKsassKsGB)2(1012KaKaKK25注：同一题目在第五、六版教材中的题号可能不同。26 5.3.1 幅角原理 5.3

13、.2 Nyquist稳定判据 5.3.3 开环含有积分环节 情况1.了解Nyquist判据的依据幅角原理 2.掌握Nyquist判据的使用方法 3.熟悉开环含有积分环节 时奈氏轨迹的绘制判断Nyquist稳定性判据是利用系统开环频率特性来判断系统特征方程 的根是否全部具有负实部，是一种几何判据，并且还能够判断系统的相对稳定性。奈氏判据的依据是幅角原理。27)()()()()(sDsMsHsGsGkkkH(s)G(s)Xi(s)Xo(s)Es+_Bs)()()()()()()(1)()()(1)()(sDsMsDsMsDsGsGsGsHsGsGsbbkkkk)()()()()()(1)()(1)

14、(sDsDsDsMsDsGsHsGsFkbkkkkDb(s):闭环特征多项式Dk(s):开环特征多项式28n 设Ls为s平面上一条封闭曲线，F(s)在Ls上解析，Z、P分别为F(s)在Ls内零、极点个数。当s按顺时针方向沿Ls变化一周时，向量F(s)在F平面所形成的曲线LF将包围原点N次，且 N = Z- P。pN0：F(s)绕F平面原点顺时针转N 圈；pN1时，Nyquist轨迹逆时针包围（-1，j0）点一圈，系统闭环稳定（N=-1）；n当0K1时，系统闭环不稳定（N=0）； 当K=1时，系统临界稳定（Nyquist轨迹穿过(-1，j0)点对应F(s)穿过F平面的原点）。0 TGTKGKKa

15、rctan)j (1)()j (2（1）作开环Nyquist图34.) 1)(1)(12() 1)(1()()(321221sTsTsTsTsTsTKsHsGba已知系统开环传递函数系统开环有一个不稳定极点(P=1),而 由 -到+变化时， GH 平面的轨迹 GK(j ) 逆时针包围点(-1,j0)一圈(N=-1)，因此Z=N+P=0,系统闭环稳定。 ImRe 00(-1, j0)的Nyquist轨迹如图，试分析系统的稳定性p虽然开环不稳定的系统，闭环可以稳定，但这种系统的动、静态品质通常不好，应当尽量避免。35n 问题的提出 当系统开环传递函数含有积分环节（原点处存在极点）或者在虚轴上存在极

16、点时，由于GK(s) 在 Ls 上不再是解析函数，因此不可直接应用Nyquist判据判断闭环系统的稳定性。解决这一问题的基本思路是：用半径 0的半圆在虚轴上极点的右侧绕过这些极点，即将这些极点划到s左半平面，从而使得GK(s) 在Ls 上仍然是解析函数。36原点处右半圆弧的数学方程r 0 时系统开环传递函数verKreDMsGrrkkreskrj00jlimlim)()0()0()(j0ns平面原点处极点所对应的Nyquist轨迹s = re j (r0)()()()(sDssMsGkkk系统开环传递函数 从00+：20: )(:)(vsGsGkk其Nyquist轨迹为GH上幅值为无穷大，弧度

17、为 -v/2的圆弧。rjO0+0-s 从0/2：（s平面）（Gk平面）37n原点处有极点的系统开环原点处有极点的系统开环Nyquist轨迹轨迹：（1）一般情况=0+=0+作出 由 变化时的曲线;从开始，以 的半径逆时针补画的圆弧(辅助线)。 rjO0+38n原点处有极点的系统开环原点处有极点的系统开环Nyquist轨迹轨迹：（2）最小相位系统veerKGjj)0 j (其辅助线的起始点始终在无穷远的正实轴上。（如果是非最小相位系统，且v=2，应如何作辅助线？）)20:(p对于最小相位系统，应当以半径为无穷大的圆弧顺时针方向连接正实轴端和 G(j) H(j)轨迹的起始端。392102101180

18、-(jNyquistarctanarctan90)j (TTGTTGjj）可如下求出：轨迹与负实轴交点频率由于开环Nyquist轨迹顺时针包围(-1，j0)两圈，且P=0，则闭环系统不稳定，且不稳定极点数Z=2。 =+ =- 则系统不稳定。若）（又,1)j ()j ()(1T1 )j (2121212121212221TTTTKTTKTTGTTKTTGTKGjj 已知系统开环传递函数 ，和开环Nyquist图，应用Nyquist判据判断闭环系统的稳定性 ) 1)(1()(21sTsTsKsG40 系统的开环传递函数为 其开环Nyquist图如下，判断系统稳定性) 1)(1)(1() 1()(3

19、214sTsTsTssTKsGK曲线(2)为T4较大时，由于导前环节的正相位使Gk(j)过负实轴的频率增加，系统开环Nyquist轨迹不包围(-1,j0)点，系统稳定；43210arctanarctanarctanarctan90)j (TTTTGK曲线(1)为T4较小时，由于导前环节的正相位起作用的频率较高，Gk(j)在较低频率时即穿越负实轴，系统开环Nyquist轨迹顺时针包围(-1,j0)点两圈，系统不稳定。p|Gk(j)|随频率的增加而单调衰减。41 单位反馈系统的开环传递函数为 应用Nyquist判据判别闭环系统的稳定性。 ) 1()(TssKsG系统闭环稳定。作系统开环 Nyqui

20、st曲线，如图。判断p开环稳定P=0；p开环 Nyquist曲线不包围(-1, j0)点；420+：A(0+),(0+)180：A()0, ()180221222211)(TTKA 212121,)(arctanarctanTTTTTT 系统的开环传递函数 ，绘制其Nyquist轨迹，并判别闭环系统的稳定性。pT1 T2，Nyquist轨迹顺时针包围（-1, j0 ）点2次（N=2），而P0，即Z=N+P =2 系统闭环不稳定。) 1() 1()()(122sTssTKsHsG43 445.4.1 Nyquist图与Bode 图的对应关系 5.4.2 相位穿越的概念 5.4.3 Bode稳定判

21、据1.掌握Nyquist图与Bode图的对应关系 2.熟悉Nyquist图与Bode 图的相位穿越的概念3.掌握用Bode判据分析 系统稳定性的方法 45相连相连( 为开环积分环节的数目)起始点 (0+) p Nyquist曲 线的辅助线: (0+) +v 90线Nyquist图Bode图单位圆0分贝线单位圆以外 L( )0的部分单位圆内部 L( )0 的所有频率范围内，对数相频特性曲线 ( )(含辅助线)与-180线的正负穿越次数之差等于P/2时，系统闭环稳定；否则，闭环不稳定。自上而下自下而上负穿越自下而上 自上而下正穿越对数值范围内相频(j)穿越-线穿过负实轴(-1-)段Bode判据与N

22、yquist判据的对应关系51开环特征方程有两个右根P=2,正负穿越数之差-1.P=2开环特征方程无右根P=0,正负穿越数之差0 。P=0开环特征方程有两个右根P=2,正负穿越数之差为+1，所以.P=252开环特征方程无右根P=0，L()0范围内()和-线不相交即正负穿越数之差为0 闭环稳定闭环稳定。n例例2 已知系统开环传递函数 和Bode图如下，分析系统的闭环稳定性。) 1005. 0)(102. 0() 15() 125. 1 (100)()(22ssssssHsG0.20.85020053n开环稳定系统的开环稳定系统的Bode判据判据特别地，当P=0(开环系统稳定)时， Bode判据可

23、简述如下： 闭环系统稳定; 闭环系统临界稳定; 闭环系统不稳定。ImReoGK(j)gcImReoGK(j)gcImReoGK(j)gcp开环稳定系统Bode判据与Nyquist判据的对应关系十分明显，该判据的正确运用是本节必须要掌握的内容.54n 说明说明：若有多个，则取最大的 进行判断。上图中，对 c3而言， 因为 c30o，Kg1（或Kg0 dB）G(j )H(j )稳定裕度在Nyquist图上的表示) 1,0(0Kg KgdB)0,0(0Kg稳定裕度在Bode图上的表示60n不稳定系统的不稳定系统的“稳定裕量稳定裕量” 及其标注及其标注 0o, Kg1(或或Kg0 dB).G(j )H (j )轨迹轨迹 (1