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文档简介

1、海伦秦九韶公式pabc ，如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记2那么三角形的面积Sp( p a)( p b)( p c)古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元 50 年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名 . 在他的著作度量一书中，给出了公式和它的证明，这一公式称为海伦公式.我国南宋时期数学家秦九韶（约1202约 1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式S1 a2b2( a2b2c 2 ) 2 42. 下面我们对公式进行变形：1 a2 b2( a 2b 2c 2 ) 2 4212a 2b2c2)2=（ab）(24=( 1 aba 2b 2c 2 )( 1 aba 2b 2

2、c 2 )2424=2ab a 2b 2c 22ab a 2b 2c 244（ a2c2c2(ab)2b）=44=a b c a b c a c b b c a2222= p( p a)( p b)( p c) .这说明海伦公式与秦九韶实质上是同一个公式，所以我们也称为海伦秦九韶公式 .供参考证明过程海伦公式的证明证明：如图，在 ABC中，过 A作高 AD交 BC于 D,设 BD = x ，那么 DC = a-x, 由于 AD是 ABD、 ACD的公共边，则 h2 =c2-x 2=b2- （a-x ）2 ，解出 x 得 x= c2 -b 2 +a2，2a2-（c2 -b2 +a22于是 h=

3、c2a），S ABC的面积 =1ah =1a·2c2-b2 +a2222c -（2a） ，即 S=12 2-（c2 +a2-b222c a2），令 p= 1 （a+b+c），2对被开方数分解因式，并整理得到S=p( pa)( pb)( pc) .得证 .由海伦公式推导秦九韶公式S1 a2b2( a2b2c 2 ) 2 秦九韶公式：42.推导过程 :p( pa)( pb)( pc) .供参考1（2 p2a）(2p2b) 2 p (2 p2c)= 161（cab）(cab)(abc)(abc)= 161 c2(ab)2 ( ab) 2c2 = 161 4a2 b2( a2b2 ) 2(a2b2 ) c2(c2 )2 = 444122a2b2c22 ab(2)= 4.1 a2

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