《型曲面积分》ppt课件

1、此此时时，全全微微分分方方程程的的通通解解为为 Cyxu ),(或或CdyyxQdxyxPyyxx ),(),(。 若若),(),(yxQyxP在在单单连连通通域域 D 内内具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数， 则则方方程程0),(),( dyyxQdxyxP为为全全微微分分方方程程的的充充要要条条件件是是 在在 D 内内恒恒有有 xQyP 。 六、六、 全微分方程全微分方程定定义义 2 2若若存存在在函函数数),(yxu，使使dyyxQdxyxPdu),(),( ， 则则称称0),(),( dyyxQdxyxP为为全全微微分分方方程程或或恰恰当当方方程程。 例例 10求求解解方方程程0)2

2、()2(2222 dyyxyxdxyxyx。 令令222),(yxyxyxP ，222),(yxyxyxQ ， xQyxyP 22，此此方方程程为为全全微微分分方方程程。 ),()0 , 0(2222)2()2(),(yxdyyxyxdxyxyxyxu解解法法 1： （曲曲线线积积分分法法） 33)2(3223 0 22 0 2yxyyxxdyyxyxdxxyx 方方程程的的通通解解为为Cxyyxyx 22333131（C 为为任任意意常常数数） 。 xQyxyP 22，此此方方程程为为全全微微分分方方程程。 使使 ), ,( yxu dyyxyxdxyxyxdu)2()2(2222 ， Py

3、xyxxu 222，Qyxyxyu 222。 对对 x 偏偏积积分分得得：)(31),(223yxyyxxyxu ， 2222)(2yxyxyxyxyu ， 解法解法2 2偏积分法偏积分法 令令222),(yxyxyxP ，222),(yxyxyxQ ， 2)(yy ，1331)(Cyy ， 132233131),(Cyxyyxxyxu ， 故故方方程程的的通通解解为为Cxyyxyx 22333131。 dyyxyxdxyxyx)2()2(2222 )2()2()3131(2233xydydxydyxxydxyxd )()()3131(2233xydyxdyxd )3131(2233xyyxy

4、xd 通通解解为为Cxyyxyx 22333131（C 为为任任意意常常数数） 。 解法解法3 3凑微分法凑微分法 v积分因子 例例2 求方程求方程ydx-xdy=0的的积分因子并求其通解积分因子并求其通解由于 解解 2)(yxdyydxyxd 假设存在一函数(x y) (x y)0) 使方程(x y)P(x y)dx(x y)Q(x y)dy0是全微分方程 那么函数(x y)叫做方程P(x y)dxQ(x y)dy0的积分因子 所以21y是所给方程的积分因子 由于 2)(yxdyydxyxd 故所给方程的通解为 Cyx 例例3 求方程求方程 (1+xy)ydx+(1-xy)xdy=0的积分因

5、子并求其通解的积分因子并求其通解 解解 0)()(22ydyxdxyxxyd 积分得通解 将方程的各项重新合并 得 (ydxxdy)xy(ydxxdy)0, 再把它改写成 用积分因子乘以方程 方变为 可见2)(1xy为方程的积分因子 0)()(2ydyxdxxyxyd Cyxxyln|ln1 即 xyCeyx1 v一阶线性方程的积分因子 可以验证 dxxPex)()(是一阶线性方程yP(x)yQ(x)的一个积分因子 在一阶线性方程的两边乘以(x)得两边积分 便得通解 dxxPdxxPdxxPexQexyPey)()()()()(即 dxxPdxxPexQye)()()( CdxexQyedxx

6、PdxxP)()()( 或 )()()(CdxexQeydxxPdxxP 例 4 用积分因子求xxydxdy42的通解 解 方程的积分因子为 22)(xxdxeex 方程两边乘以2xe得 22242xxxxeyxeey 即22242xxxxeyxeey 即224)(xxxeye 于是 Cedxxeyexxx22224因此方程的通解为 2224xxCedxxey Cedxxeyexxx22224 第三节第三节 第二类曲面积分第二类曲面积分-向量值函数在定向曲面上的积分向量值函数在定向曲面上的积分一、根本概念一、根本概念二、概念的引入二、概念的引入三、定义及性质三、定义及性质四、两类曲面积分之间的

7、联络四、两类曲面积分之间的联络五、计算法五、计算法一、根本概念察看以下曲面的侧察看以下曲面的侧 ( (假设曲面是光滑的假设曲面是光滑的) )曲面分上侧和下侧曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分内侧和外侧曲面分左侧和右侧曲面分左侧和右侧n1. 1.曲面的分类曲面的分类: :(1)(1)双侧曲面双侧曲面; ;(2)(2)单侧曲面单侧曲面. .典典型型双双侧侧曲曲面面动点在双侧曲面上延续挪动动点在双侧曲面上延续挪动(不跨越曲面的边不跨越曲面的边境境)并前往到起始点时并前往到起始点时,其法向量的指向不变其法向量的指向不变.莫比乌斯带莫比乌斯带典型单侧曲面典型单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带 对对于于双

8、双侧侧曲曲面面，可可通通过过曲曲面面上上法法向向量量的的指指向向来来 确确定定曲曲面面的的侧侧。取取定定了了法法向向量量指指向向的的曲曲面面，称称为为 有有向向曲曲面面。 n 上侧上侧xyzon 下侧下侧xyzo 曲曲面面 ：),(yxzz 有有上上侧侧与与下下侧侧之之分分； 曲曲面面 ：),(zyxx 有有前前侧侧与与后后侧侧之之分分； 曲曲面面 ：),(zxyy 有有左左侧侧与与右右侧侧之之分分。 一一般般封封闭闭曲曲面面有有内内侧侧与与外外侧侧之之分分。 规定：定向曲面上任一点处的法向量规定：定向曲面上任一点处的法向量 总是指向曲面取定的一侧总是指向曲面取定的一侧. .注：在定向曲面的范

9、围里，注：在定向曲面的范围里，是是不不同同的的曲曲面面与与 为为则则其其相相反反侧侧的的曲曲面面就就记记向向曲曲面面，表表示示选选定定了了侧侧的的一一个个定定朝朝下下取取下下侧侧，则则法法向向量量若若n )2( ),(yxzz ：若若)1 ,(yxzzn 朝朝上上取取上上侧侧，则则法法向向量量若若n )1( )1,( yxzzn),(zyxx ：若若), 1(zyxxn 朝前朝前取前侧，则法向量取前侧，则法向量若若n )1( 朝朝后后取取后后侧侧，则则法法向向量量若若n )2( ), 1(zyxxn ),(xzyy ：若若), 1,(zxyyn 朝左朝左取左侧，则法向量取左侧，则法向量若若n

10、)1( 朝朝右右取取右右侧侧，则则法法向向量量若若n )2( ), 1 ,(zxyyn 其方向用法向量指向表示其方向用法向量指向表示 :方向余弦方向余弦coscoscos 0 为前侧为前侧 0 为右侧为右侧 0 为上侧为上侧 0 为下侧为下侧外侧外侧内侧内侧 设设 为有向曲面为有向曲面,)(yxSSyxS)(侧的规定侧的规定 指定了侧的曲面叫有向曲面指定了侧的曲面叫有向曲面, , 其面元其面元在在 xOy 面上的投影记为面上的投影记为,0)(yxyxS)(的面积为的面积为那么规那么规定定,)(yx,)(yx,0时当0cos时当0cos时当0cos类似可规定类似可规定zxyzSS)( ,)(流向

11、曲面一侧的流量流向曲面一侧的流量.流量流量实例实例(斜柱体体积斜柱体体积)(1)流速场为常向量流速场为常向量,v有向平面区域有向平面区域 ,求单位时间流过求单位时间流过 的流体的质的流体的质量量 (假定密度为假定密度为1).二、 概念引入 nvSS分析分析: 假设假设 是面积为是面积为S 的平的平面面, 那么流量那么流量 单位法向量单位法向量: 流速为常向量流速为常向量: )cos,cos,(cos nvcosvS nvSnv(2) 设稳定流动的不可紧缩流体设稳定流动的不可紧缩流体kzyxRjzyxQizyxPzyxv),(),(),(),( 给出给出,函数函数),(),(),(zyxRzyx

12、QzyxP上连续，上连续，都在都在 流体的密度与速度流体的密度与速度均不随时间而变化均不随时间而变化(假定密度为假定密度为1)的速度场由的速度场由v当当 不是常量不是常量,有有向向 曲面曲面求在单位求在单位时间内流向时间内流向 指定侧的指定侧的流体的质量流体的质量. 是速度场中的一片有向曲面是速度场中的一片有向曲面, xyzoiS ivin 分割分割那么该点流速为那么该点流速为 ，iv法向量为法向量为 .in),(iii iSn 小小块块分分成成把把曲曲面面同时也代表同时也代表iS (),小小块块曲曲面面的的面面积积第第i上任取一点上任取一点在在iS ),(iii ),(iiiivv kRjQ

13、iPiiiiiiiii),(),(),( i求和求和 niiiiSnv1取近似取近似该点处曲面该点处曲面的单位法向量的单位法向量似值为似值为流向指定侧的流量的近流向指定侧的流量的近通过通过iS iiiv nS)., 2 , 1(ni 经过经过流向指定侧的流量流向指定侧的流量coscoscosiiiinijk对普通的有向曲面 ,用用“分割、求和、取极限分割、求和、取极限 ni 10lim 0limni 1iiiiPcos),(iiiiRcos),(0limni 1 zyiiiiSP)(,( xziiiiSQ)(,( yxiiiiSR)(,( iiiiQcos),(iS对稳定流动的不可紧缩流体的对

14、稳定流动的不可紧缩流体的速度场速度场),(),(),(zyxRzyxQzyxPv 进展分析可得进展分析可得iniviiiSnv)cos,cos,(cosiiiin设, 那么那么 三、第二类曲面积分的定义及性质三、第二类曲面积分的定义及性质 存存在在 nixyiiiiSR10)(,(lim 那么称此极限为那么称此极限为 函数函数在有向曲面在有向曲面 上上对坐标对坐标的曲面积分的曲面积分 也称第二类曲面积分也称第二类曲面积分),(zyxRyx, nixyiiiiSRdxdyzyxR10)(,(lim),( 被积函数被积函数积分曲面积分曲面类似可定义类似可定义 niyziiiiSPdydzzyxP1

15、0)(,(lim),( nizxiiiiSQdzdxzyxQ10)(,(lim),( ds cos即即是是可可正正可可负负的的注注意意定定向向投投影影面面上上的的投投影影，在在定定向向曲曲面面微微元元xoyds存在条件存在条件: :当当),(),(),(zyxRzyxQzyxP在在有有向向光光滑滑曲曲面面上上连连续续时时, ,对对坐坐标标的的曲曲面面积积分分存存在在. .组合方式组合方式: :dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),(),(),( 物理意义物理意义: :表示流向表示流向 指定的流量指定的流量dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),(),(),( 假设记假

16、设记 正侧的单位法向量为正侧的单位法向量为令令)cos,cos,cos(n)dd,dd,d(dddyxxzzySnS) ),(, ),(, ),(zyxRzyxQzyxPA 那么对坐标的曲面积分也常写成如下向量方那么对坐标的曲面积分也常写成如下向量方式式yxRxzQzyPddddddSnAdSA d三、第二型曲面积分的性质三、第二型曲面积分的性质设设),(zyxAA，),(zyxBB， （3）dSnAdSnA ( 与与 是是同同一一曲曲面面的的两两侧侧)。 （1）dSnBbdSnAadSnBbAa )( ),(为为常常数数ba； （2）dSnAdSnAdSnA21 (21 与与可可分分为为)；

17、 四、计算法第二类曲面积分-化为二重积分 ),(yxfz xyDxyzoxyS)( 定理定理: 设光滑曲面设光滑曲面yxDyxyxzz),( , ),(:取上侧取上侧,),(zyxR是是 上的延续函数上的延续函数, 那那么么 yxzyxRdd),() ,( yxDyxR),(yxzyxdd证证:0limni 1yxiiiiSR)(,(yxiS )(yxi)( 取上侧取上侧,),(iiiz0limni 1) ,(iiR),(iizyxi)(yxx,yzyxRyxDdd)(,(yxzyxRdd),( 假设假设,),( , ),(:zyDzyzyxx那么有那么有zyzyxPdd),(), (zy,P

18、zyD),(zyxzydd 假假设设,),( , ),(:xzDxzxzyy那么那么有有xzzyxQdd),() z, ,(xzDxQ),(xzyxzdd(前正后负前正后负)(右正左负右正左负)阐明阐明: 假设积分曲面假设积分曲面 取下侧取下侧, 那那么么yxzyxRdd),() ,(yxDyxR),(yxzyxdd留意留意: :对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分, ,必需留意曲面所取的侧必需留意曲面所取的侧. .解：解：两部分两部分和和分成分成把把21 ;1:2211yxz ,1:2222yxz xyz2 1 一投一投, ,二代二代, ,三定号三定号 12xyzdxdyxyzdxdyxyzdx

19、dy xyxyDDdxdyyxxydxdyyxxy)1(12222 xyDdxdyyxxy2212.1521cossin222 xyDrdrdrr 一投一投, ,二代二代, ,三定号三定号xyz2 1 四、两类曲面积分的联络ni 1zyiiiiSP)(,(xziiiiSQ)(,(yxRxzQzyPddddddyxiiiiSR)(,(0lim0limni 1iiiiPcos),(iiiiQcos),(iiiiRcos),(iSSRQPdcoscoscos曲面的方向用法向量的方向余弦描写曲面的方向用法向量的方向余弦描写令令yxRxzQzyPddddddSRQPdcoscoscosSAnd向量方式向

20、量方式),(RQPA )cos,cos,(cosn)dd,dd,d(dddyxxzzySnS SA dnAAnSnAd( A 在在 n 上的投影上的投影)称为有向曲面元称为有向曲面元, , 有有向向曲曲面面的的法法向向量量的的方方向向余余弦弦为为 .11cos,1cos,1cos222222yxyxyyxxzzzzzzzz 给给出出，则则由由方方程程若若),(yxzz 221cosyxx例1. 计算曲面积分其中其中 解解: 利用两类曲面积分的联络利用两类曲面积分的联络, 有有zyxzdd)(2)(2xzSdcosyxddcoscosoyxz2 原式原式 =)( x )(2xzyxzdd,ddd

21、d)(2yxzzyxz旋转抛物面旋转抛物面)(2221yxz介于平面介于平面 z= 0 及及 z = 2 之间部分的下侧之间部分的下侧. )(2xz2211cosyx yxzzyxzdddd)(2 xyDyxyxxdd)(2122222222001d(cos) dr2rrr xyDyxyxxxyxdd)(21)()(4122222 yxzxxzdd)(2 8 )(2122yxz zyxzdd)(2 yxxxzdd)(2yxyxxxyDdd)(41222 由对称性由对称性0 nxyzO 2 例例,dd)(ddddyxzxxzyzyx 计计算算其中其中解解 法一法一 直接用对坐标的曲面积分计算法直

22、接用对坐标的曲面积分计算法.且其投影区域分别为且其投影区域分别为由于由于取上侧取上侧,yzyDyz220, 10: xzxDzx220, 10: xyxDxy 10, 10:222 zyx是是平平面面在第一卦限部分的在第一卦限部分的上侧上侧. .面的投影面的投影xOyzOxyOz,在在所所以以 都是都是正的正的, ,xyzOyzyDyz220, 10: xzxDzx220, 10: xyxDxy 10, 10:zzyyyd)21(d10220 zzxxxd)21(d10220 .67 0222: zyx 取上侧取上侧yxzxxzyzyxdd)(dddd xyzO1100d(222)dxxxyx

23、y)cos,cos,(cos0 nSzxyxdcos)(coscos 法二法二 利用两类曲面积分的联络计算利用两类曲面积分的联络计算.取上侧取上侧,yxz222 31,32,32)1 ,(yxzzn )1 , 2 , 2( Szxyxd31)(3232 锐角锐角. .那么法向量那么法向量n与与z轴正向的夹角轴正向的夹角为为yxzxxzyzyxdd)(dddd xyzO)23(31 xyDyx xyxx1010d)2(dyxz222 .67 yx222 yxdd3Szxyxd31)(3232 定义定义:Szyxfd),(iiiniiSf),(lim10yxRxzQzyPddddddzyiiiin

24、iSP),(lim10yxiiiiSR),(1. 两类曲面积分及其联络两类曲面积分及其联络xziiiiSQ),( 小结小结性质:yxRxzQzyPddddddyxRxzQzyPdddddd联络联络:yxRxzQzyPddddddSRQPdcoscoscos2. 常用计算公式及方法面积分面积分第一类第一类 (对面积对面积)第二类第二类 (对坐标对坐标)二重积分二重积分(1) 一致积分变量一致积分变量代入曲面方程代入曲面方程 (方程不同时分片积分方程不同时分片积分)(2) 积分元素投影积分元素投影第一类：第一类： 面积投影面积投影第二类：第二类： 有向投影有向投影(3) 确定积分域确定积分域把曲面

25、积分域投影到相关坐标面把曲面积分域投影到相关坐标面 注：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况注：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况.转化转化当yxDyxyxzz),( , ),(:时，时，yxzzyxzyxfSzyxfyxDyxdd1),(,(d),(22yxyxzyxRyxzyxRyxDdd),(,(dd),(上侧取上侧取“+, 下侧取下侧取“)类似可思索在类似可思索在 yoz 面及面及 zox 面上的二重积分转化公面上的二重积分转化公式式 .思索题思索题此时此时 的左侧为负侧，的左侧为负侧，221zxy 而而 的左侧为正侧的左侧为正侧. .221zxy 答：答：xyzO)0 , 0 ,(a)

26、0 , 0(a), 0 , 0(aO,dddddd222yxzxzyzyx 计算计算其中其中是是所围成的正方体的外表的所围成的正方体的外表的24563 先计算先计算zyxdd2 由于平面由于平面都是母线平行于都是母线平行于x轴的柱面轴的柱面,那么在其上对坐标那么在其上对坐标y,z的积分为的积分为0.解解ayyazz , 0, 0)0(, aazayax三个坐标面与平面三个坐标面与平面外侧外侧. .1练习1：x=a面在面在yOz面上的投影为正面上的投影为正,而而x=0面在面在yOz面上的投影为负面上的投影为负.投影域均为投影域均为:0ya, 0za, 故故zyxdd2 zyyzDdd02 4a

27、yzDzyadd2由由 x,y,z 的对等性知的对等性知,所求曲面积分为所求曲面积分为 3a4. yzDzyadd2 后两个积分值也等于后两个积分值也等于a4.xyzO)0 , 0 ,(a)0 , 0(a), 0 , 0(aO245631假设分片光滑的闭曲面假设分片光滑的闭曲面 zyzyxPdd),(0 1dd),(2 zyzyxP其中其中注注补充补充x的偶函数的偶函数x的奇函数的奇函数曲面曲面不封锁也可以不封锁也可以. 0),(:1 zyxx 取外侧取外侧(内侧仍成立内侧仍成立), 那末那末关于关于yOzyOz平面对称平面对称, ,是是若若),(zyxP是是若若),(zyxP练习3：,dddddd22yxyxexzzzyz 计算计算其中其中:的的)21(22 zyxz解解关于关于yOz面对称面对称,被积函数被积函数 zydd关于关于x为偶函数为偶函数.下侧下侧. . 又又1),( zyxP0关于关于zOx面对称面对称, 被积函数被积函数 xzzdd 0关于关于y为偶函数为偶函数.zzyxQ