数学物理方法1-3

1、 z0 或 z z0 的示意图如右：导数，记作： f (z) 或则称 w=f (z) 在点z可导，并称这个极限值为 f (z)在 z点的 ()( )0limf zzf zzz dzdf1.3 1.3 复变函数的导数与解析性复变函数的导数与解析性 保角映射保角映射一、复变函数的导数 柯西黎曼条件1.导数的定义：设 w=f (z)是在区域D中定义的单值函数，对D内某一点z，若极限 存在, (并且是与z0 的方式无关的有限值)说明：(1)实变函数导数f (z)的定义0()( )limxf xxf xx 0z例：设 f (z) = zn，求 f (z) =？ 可见，实变函数、复变函数导数的定义形式一样

2、，但对于实变函数来说z 只能沿实轴逼近零(有两种趋近方式)。如对两种趋近方式来说，其极限存在且相同，则f (x) 在x点可导；而对于复变函数来说z可沿复平面的任一曲线逼近零，若沿任何方式逼近z时，极限存在且相同 ，则称f (z) 在点z可导。因此复变函数的可导要求严格得多。121001()(1)( )()2limlimnnnnnzznzzzn nfznzzzzznz (2) 导数存在要求f(z) 在点z连续，但并不是：f (z)在点 z 连续，则 f(z) 在点 z 一定可导。设 存在，则12( ),( )fzfz1212( )( )( )( )f zfzfzfz121212( )( )( )

3、( )( )( )f z fzfz fzf z fz112122222( )( )( )( )( )( )0)( )( )f zfz fzf z fzfzfzfzdzzdddfdzzdf)()()(2.导数公式实变函数与复变函数导数的定义形式相同实变函数所有的导数公式可推广到复变函数与实变函数导数公式形式相同的例子：zdzzdedzdezzcossin;在z点的微分，记作 则称w=f (z) 在z点可微，且w 的线性部分z称为w=f ( z)式中 ， 是关于 的高阶无穷小量，设w=f (z)在z点的改变量 可以写成)(ozw22)()(yxz)(ozdw00()( )( )( )limlimz

4、zf zzf zzofzzz zdzdzzfdw)( )()(zfzzfw3.微分的定义与微分公式得微分公式又f (z)在点z可导的必要条件是 存在，且 xvyuyvxu,满足C R条件： yvxvyuxu,二、柯西黎曼条件（CR条件）要解决的问题：给定一函数w=f (z)=u(x , y )+i v(x, y)，如何判断f (z)在点z是否可导？导数存在的必要条件：证明：由导数的定义可知: z以任何方式趋于零时,极限0()( )limzf zzf zz 存在，且有同一的极限值，即f (z)与z0的方式无关，),(),(),(),()()(yxivyxuyyxxivyyxxuzfzzfw使我们

5、可讨论沿平行x轴和y轴趋于0的情形。设：z = x + i y，则函数的改变量为1. 令z = x，y=0 ，即z 沿平行于x轴的方向趋于 0，则0000()( ) (, )(, ) ( , )( , )( )limlim(, )( , )(, )( , )limlimzxxxf zzf zu xx yiv xx yu x yiv x yf zzxu xx yu x yv xx yv x yixxuvixx 0000()( ) ( ,)( ,) ( , )( , )( ) limlim( ,)( , )( ,)( , )limlimzyyyf zzf zu x yyiv x yyu x yiv

6、 x yf zzi yu x yyu x yv x yyv x yii yi yuviyy 2 2.令x=0，z = i y，即z沿平行于y轴的方向趋于0，有2 21 1zzyuxvyvxu若f (z)在点(x, y)可导，则(1)、(2)两式相等，于是柯西黎曼条件 (C R条件)说明： 1. f (z)在点z可导的必要条件只保证沿平行于x轴和y轴方向z0 时， 趋于同一极限，但没有保证沿任意方向z 0时， 趋于同一极限。2.由C R条件，f (z)可写为以下四种形式zzf)(zzf)( )uvvuuuvvfziiiixxyyxyyx补充：全微分对于一元函数 y=f (x)，y关于x微分的特性

7、：1. 它与自变量的改变成正比；2. 当自变量的改变趋于零时，它与函数的改变量之差是较 自变量的改变量更高阶的无穷小。)()(xfxxfy函数的改变量()( )()(:constant)yf xxf xA xoxA dyA x函数的微分对于二元函数 u=f(x,y)定义：若函数 u=f(x,y) 的全改变量u可表示为22(,)( , )( ()() )uf xx yyf x yA xB yOxy ( , )dudf x yA xB y 且其中A , B与x, y无关而仅依赖于 x,y，则称在点(x,y)可可微微。并称Ax + By为f (x,y)在点(x,y)的全微分，记为du或df (x,y

8、) , 即 若f(x,y)在点(x,y)可微，则有200( () )(, )( , )( , )limlimxxxA xOxf xx yf x yfx yAxx 即 f(x,y) 在点(x,y)可微 f x 存在且等于A定理：若 f x (x ,y) 及 f y (x ,y)在点(x ,y)及某一邻域内存在且 在这一点它们都连续，则函数u= f (x,y)在该点可微。同理f y 存在且等于B，故xydufxfy 对一元函数，可微与可导是同一回事，而对多元函数，偏导数存在不一定可微，但在一定条件下，偏导数与可微性之间密切联系。以下定理说明了这种联系：证明：),(),(),(),(),(),(yx

9、fyxxfyxxfyyxxfyxfyyxxfu已设f x 、f y 存在，当x, y 充分小时，应用中值定理：f x 、f y在点(x , y)连续1212(,)(, )(0( ,)1)yxufxx yyyfxx yx 12(,)( , )(, )( , )yyxxfxx yyfx yfxx yfx y)0(,00yx( , )( , )xyufx yxfx yyxy 0)()(22yxyxx0, y0时：由定义可知f (x,y)在点( x, y)可微。三、导数存在的充分必要条件u (x,y) 及 v ( x, y)可微且满足CR条件f (z)在D内点z可导的充要条件是：221()()uuux

10、yxyxy 222()()vvvxyxyxy 证明：1. 充分性。由于u,v可微，故u,v的全微分存在，即：无穷小量21,对于任意的z = x + i y ，有：2212()()() ()()( )uvxi yixi yixyf zui vxxzxi yxi yxi y 2212()()()iuvixyxxxi y 2212120,0()()()00 xyixyixi y 221200() ()()lim0 xyixyxi y 0( )( )limzf zuvfzizxx 0z 任意方式，极限存在且相同 可导而即 0()( )( )limzf zzf zfzz 0()( )( )limzf z

11、zf zfziz ()( )()f zzf zizz 2.必要性。由在点z可导，得 有确定极限，即f (z) 存在 ,存在。由上式得：当 z 0 时趋于零的复数。设)Im(),Re(2121zziz12()( )()()f zzf zui vixi yi 则有：12uxyvyx 0,0,uvyxxx ： 令对y求偏导，因为 , 存在，所以导数存在 对x求偏导，因为 , 存在，所以导数存在0,0,uvxyyy ：,uvuvxyyx 令C R条件：12,uuvvuxyvxyxyxy 说明：复变函数的可导比实变函数的可导严格得多，这种严格所导致的结果是：可导的复变函数的实部和虚部不是互相独立的，而是

12、通过CR条件而联系起来。又因为 ，故 ,可见 f (z)在 z0 点满足C R条件。例1.3.1 设 ，问f (z) 在z=0点是否满足C R条件？是否可导？ ( )f zxy=0=000=0=000(, )( , )|lim|lim0 x xxxxyyxu xx yu x yuxx 解: 由题设得 ,( , )0uxyv x y=00=000|lim0y xyyyuy ( , )0v x y =0=0=0=0|0,|0 x xy xyyvv(1)(2)让z以任意方式趋于零，如让z沿径向趋于零，即令ize 000(0)(0)limlimcossinlimcossinzziixyfzfzzee

13、(见下图)yOzxi y 显然，随着 角取值不同， 不趋于同一极限值， 故f (z)在z=0点不可导。0( )limzf zz 复变函数的几何意义：当z在Z平面沿曲线L变动时，w在W平面沿曲线L 变动。设w=f ( z )在 z0 可导，即有： z, w, f (z0)的表示式： zwzzfzzfzfzzlimlim00000)()()( 0arg ()argarg00,()()ifziziwzz eww efzfze 四、复变函数导数的几何意义2 2.导数的辐角arg f (z0)表示曲线L上点z0的切线与曲线 L1. 导数的模f (z0)表示通过点z0的无穷小线段z，映射为 W平面的w 时

14、，长度的放大系数。0argarg ()(argarg)00arg0000( )( )limlimlimlimiwif ziwzizzzzzwewwf zf zeezz ez 0000()lim, arg()lim(argarg)zzwfzfzwzz 由导数的定义式可得：导数的几何意义导数的几何意义：上的点w0的切线的夹角，即从z平面到W平面映射前后 切线的转动角。1. 若函数f(z)在点z0的邻域内点点可导，则称在点z0解析；(注：a. 点z0的邻域是指满足 zz0 的点的集合， 包含z0点本身。 b. 在点z0解析比在点z0可导要求高，若说在 z0点可导，则仅意味着在该点的导数存在)上式表示

15、的是普遍的复变函数。在此研究的是一类具有特殊性质的复变函数解析函数。 五五 复变函数的解析性复变函数的解析性 (思考：解析函数的性质)w=f (z)=u (x,y) + i v(x,y)复变函数是两个二元实变函数的有序组合(一)、解析函数的定义 2. 若函数在区域D内点点可导，则称f (z)在区域D内解析；3. 若f (z)在包含 的某个开区域解析,则称在闭区域 中解析 (那个开区域比 大)；4.若函数在点a不解析,则称点a是f (z)的奇点。 DDD1( )f zz例： 在z=0点无定义，故z=0是f (z)的奇点。说明：下述情况之一的点z0都是奇点： a. f(z)在点z0无定义或无确定值

16、； b. f(z)在点z0不连续； c. f(z)在点z0不可导；d. f(z)在点z0可导，但找不到某个邻域在其内处处可导。(二)、函数解析的充要条件 定理二 函数f (z)在区域D(或点z)解析的充要条件： 在区域D(或点z的邻域)内各点u (x,y)和v (x,y)可微并满 足C R条件。(证明略)说明：1.由解析函数的定义可见解析函数是从普遍的复变函数中加上很强的条件后选出来的一类特殊的复变函数(这一类函数在物理学中有广泛的应用)。这个条件不仅要求函数在严格的意义下可导(极限值与z0的方式无关)，而且还要求它在某个区域中处处可导。 2.解析函数的实部和虚部通过柯西黎曼条件互相联系，并不

17、独立。例1：讨论f(z)=x + i xy的解析性，即求解其解析区域。 解：1. f (z)可导区域，即u, v可微并满足CR条件的区域()()1,0,uxuxvxyvxyyxxxyyxxyy，2. f(z)在z=1是否解析？不解析。因要求z=1点及其邻域内处处可导，才在z=1解析，但 f (z)只在z=1可导，故f(z)在全平面内处处不解析。可得：x=1, y=0可见u, v在整个平面有连续偏导数，即在整个平面可微，但仅在(1，0)点满足CR条件。所以f(z)在z=1可导。( )(cossin )cos ,sinzx iyxxxf zeeey iyu ey v ey cos ,sinsin

18、,cosxxxxuueyeyxyvveyeyxy 例2讨论f(z) = e z 的解析区域。解：因u, v有连续偏导数，故u, v在全平面可微。又： 显然，f(z)在全平面满足CR条件。故 f(z) =e z 在整个平面解析。(三)、解析函数的实部和虚部的联系若给定解析函数w=f (z)在某点z0=x0+i y0的值f (z0)=u0+i v0，则可由v(x,y)求u(x,y)或由u(x,y)求v(x,y)，进而求出w=f(z)。uuvvdudxdydxdyxyyx上式左边是全微分，起始点确定后，上式积分后左边的值就确定了，因此等式右边积分与路径无关。证明：w=f(z)解析可得u, v可微并满

19、足CR条件，则00( , )00(,)( , )()(,)x yxyvvu x ydxdyu xyyx00( , )00(,)( , )()(,)x yxyuuv x ydxdyv xyyx作由 (x0, y0) 到任一点 (x, y) 的线积分，则同理：例.3 已知解析函数w=f(z)的实部u(x,y)=x2 y2 ，且w(0) = 0。 求函数 f(z)。 解 沿图1-3-2的路径进行积分( ,0)( , )00(0,0)( ,0)222xx yxvydxxdyvxyv所以根据w(0) =0 得到v0 = 0。因此 ，所求的函数是w=f(z)=z2 。22200(2)()wuivxyixy

20、vxi yiv例例4 4 已知解析函数的虚部 v(x , y)=2(x2 y2) + x，求解析函数f (z)。解：由CR条件有：du = ux dx +uy dy = vy dxvxdy4 ,(41)xyyxuvyuvx (a) 全微分法。由式(1)及式(2) 得4(41)( 4)xyduu dxu dyydxxdydxyy 易见( , )4u x yxyyC (3)现在知道了u (x,y)和 v(x,y)，怎样才能找到f (z)呢？从函数形式来看,0,0( )()()| ( , )( , )|( ,0)( ,0)x z yx z yf zf xiyf xiyu x yiv x yu ziv

21、 z(4)(1)(2)由题设易得由此得22,02( ) 42()|(2)x z yf zxyyCixyxizzC(5)(b) 曲线积分法。由式(2)得( , )(0,0)( , )(0,0)( , )() 4(41)x yxyx yu x yu dxu dyCydxxdyC(6)积分分两段进行，即由(0,0)到(x,0)，再到(x, y )在(0,0)段， y=0，dy=0；在(x,0)到(x, y )段，dx=0。由此得0( , )(41)4yu x yxdyCxyyC 与式(3)完全一致，求f (z)的方法与式(5)相同。(c) 不定积分法。 ux= 4y 对 x 作不定积分，由于被积函数是二元函数，故“积分常数”应与积分变量x无关，但它可以是另一变量y的函数，即( , )( )4( )4( )xu x yu dxg yydxg yxyg y (7)(8)(41)4( )yxuxg y ( )g yyC 将式(8)代入式(7) 得( , )4u x yxyyC (9)与式(3)相同，同理可得 f (z)。将上式代入式(2)的 uy = (4x+1) 确定g (y)，即由此得 g(y) = 1，故( )4(41)4yxfzvivyixi zi 2( )(2)h zizzC(11)故 f (z)与h (z)只能相差一个常数C，即2( )( )(2)f zh