数列综合练习题及答案

1、1、2、数列的综合问题重难点突破教学重点：会利用函数相关知识以及函数的解题思想解决数列的问题。 掌握数列解题的基本思想及解题方法。教学难点：会利用函数相关知识以及函数的解题思想解决数列的问题。热点考点题型探析1、设b . 0,数列 满足 a1=b, a =nban ianF(n2)(1)求数列的通项公式;(2)证明：对于一切正整数bX 1解：(1)由a当b =2时,Aannb3n可得丄=2 .凹+1,an 二 2n _2 an b an 二b，n n,则数列卫是以丄二丄为首项丄为公差的等差数列，2an/(+ 丄) b 律 2-b1 1 是以丄.62-b b(2-b)2,2、n 二 1,2、n-

2、()()r 久-b(2-b) b2-b b(b =2)anOn 1n1+an2-bn1 .+an2-b当b =2时,则数列an1-=-,从而 4=2.an 2综上an2 22为首项,2为公比的等比数列,bnbn(2 -b)12 -b2,二響尹山ORTn n2 -b.2 bbn +bn 十 当b=2时，an =2,第+仁2, a.二碁+1,从而原不等式成立；22当b=2时，要证久匚営+1,只需证叫(2：b儿畧+1,即证22 -b 2即证F応 石忙+丄2n+2n b+2 b2+M+2b +b 2 bn即证仁各-22 1 22 P £b b bb b 222bn2n 屮4- b2而上式左边

3、=(丁 盯)(孑石b2 2n-1n(2 -b)b + 丄2n_bn2n1 bn2n 1 2 b 1 b 尹(7P +川+2厲+ 2啓n 当b=2时,原不等式也成立,从而原不等式成立.-2例2、已知数列an的前 n 项和为 s，且满足：a1=a(aO)，a = rSn (nN,(1) 求数列 n f 的通项公式；(n)若存在k N*，使得sk 1, Sk ,Sk2成等差数列，试判断：对于任意的N*，且m_2 , am 1，am，am .2是否成等差数列，并证明你的结论.解：(I)由已知：an .1二 rSn 得 a* 2= rSn 1，两式相减得an(r1)an d，又ara所以当r =0时数列

4、：an，为：a , o, o, o,，当 r = 0,r = -1 时，由已知 a = 0，所以 a, = 0 , n N ”，于是也=1 r,( n N )an舟所以数列a2,a3,|l(,an成等比数列，即当n _2时a.二r(1 - r)n"at nan =1综上数列(an 的通项公式为an =彳n 2j(1 + r)n'a, n 臭 2(n)对于任意的N ”，且m_2，am 1，am，am.2成等差数列，证明如下：工 an =1 ,当r =0时由(I)知an二，此时am 1， am，am 2成等差数列；0 n工2当r = 0,r = -1时，若存在k N*，使得Sk

5、1，Sk，Sk2成等差数列，则2 Sk=Sk1+Sk .2-2ak d ak 2 =0，由(I)知数列a2,a3l(,an的公比r-2，于是对于任意的 mn*，且m _ 2am 2 = _2am 1=' am 2 = 4am ；所以 2 am = am 1 + am 2 即 am 1 ， a m， am 2 成等差数列；综上：对于任意的 mN "，且m_2，am 1，am，am-2成等差数列。例 3、已知两个等比数列an，bn，满足 a a (a 0)， d -a1 = 1， b2 -a2 = 2， b3 _a3 =3.(1 )若a = 1，求数列an的通项公式；(2) 若数

6、列an唯一，求a的值.【解析】(1)设an的公比为q，贝U d =1 a = 2，b 2 a 2 q，2 2 2 2b3 aq =3 q，由 bi, b2, ba成等比数列得(2 - q) = 2(3 q ),即 q2 -4q 2 = 0，解得 q = 2 2 , q2 = 2 -、. 2所以务的通项公式 务=(2 、.2)n或k二(2-朋).222(2)设an的公比为 q，则由(2 aq) -(1q)(3 aq )，得 aq 4aq 3a-1=0*)由a - 0得.：-4a2 4a 0，故方程(*)有两个不同的实根由an唯一，知方程(*)必有一根为0,代入(*)得a .3例4、等比数列、an

7、 -的各项均为正数，且 2ai 3a2 =1,a3 - 9a2a6.(i )求数列 a 的通项公式;ii i I 、(n)设 bn = log 3 a1 log 3 a2 - log3an,求数列 的前 n 项和.lbnj解:(i)设数列a n的公比为q,由af =9a2a6得a； = 9a：所以q2 = 1。91由条件可知a>0,故q=。31由 2a1 3a2 = 1 得 2a-i 3a2q = 1，所以 q ：3故数列a n的通项式为an=l。n(n 1) _ 23nnbib2(n )bn =log3a1 log3a2 . log3an = (1 2 川 n)2n(n 1)1n 11

8、111112n-_2(1 _丄)(丄一丄).-(丄亠- bn223n所以数列-的前n项和为-捡bnn+1例5、已知数列an和bn的通项公式分别为 a 3n 6 , bn = 2n 7 ( n N*) 将集合 x x = a“,n w N* Ux|x =0,n n*中的元素从小到大依次排列，构成数列C1, C2, c nd),(1 )写出 C1,C2, C3,C4 ；(2) 求证：在数列Cn中，但不在数列bn中的项恰为a2,a4,|l(, a2n,川；(3) 求数列Cn的通项公式解：& = 9, C2 = 11,C3 = 12,C4 =13 ； 任意 n N*，设 a2n丄=3(2n -

9、1) *6=6n 3 二bk = 2k 7，贝U k =3n2，即 a2n J = b 3 _2、 1 * 假设 a2n =6n 6 二bk =2k 7 ：= k =3n N (矛盾)，二a2n 'bn2二在数列Cn中、但不在数列bn中的项恰为a2, a4,|l( ,a2n()。 b3k 2 2(3k -2) ' 7 = 6k 3 = a2k a ,b3k 1 -6k ' 5 , a2k - 6k ' 6 , b3k - 6k ' 76k 3 6k 5 : 6k 6 : 6k 7当 k =1 时，依次有 a = ai = G, d 二 c2, a2 =

10、Q, d = c4,”6k+3 (n = 4k-3)6k+5 (n= 4k2)*二 Cn,k N6k 6 (n =4k -1)6k 7 (n =4k)例6、已知数列 3n 1满足：印=2且an2 n 1 an ( nN ”)an + nfN(i)求证：数列-1为等比数列，并求数列 an 的通项公式；(n)证明：玉鱼並屯：:n 2 ( n n “)。123nan2 2an 歹_1解：(i)由题得：an+1(a+n)=2 (n+1)an,即anannan 2(n1)an故2n+1彳-1=卫1即数列*-V为等比数列，3分lan十an0n J(n)由上知巴=1-n 2n12 2.2* d二n 2 -1

11、2丿例7、已知公差不为0的等差数列an的首项为a( a R)，且一,a11,丄成等比数列.a2 a 4(I)求数列an的通项公式;(U)对n N *，试比较-厶a? a21+ 3a2(I)解：设等差数列an的公差为由题意可知(丄)2a2a1a42 2即(a1 d) = a1(a1 3d)，从而 a = d因为d =0,所以d = a a.故通项公式an二na.1 1(n)解：记Tna2 a22a2，因为 a2n =2na从而，当a - 0时，Tn例&在各项均为负数的数列2n)1 1上12n) 1 11;当 a ： 0时,Ta11> a1an中，已知点(an, an+ 1)(n N

12、*)在函数y=3x的图象上，且8a2 a5=27(1)求证：数列an是等比数列，并求出其通项； 若数列bn的前n项和为S,且bn= an+ n,求S.* 2解析 因为点(an, an+i)( n N)在函数y= -x的图象上,所以2an+1 = ?ai，即3an+1 22=，故数列an是公比q=F的等比数列,an 33因为a2a5= 27，则aiq aiq48，即af'2 5 = '| 3，由于数列an的各项均为负数，则2 /3 13 丿所以2,bn=- 2n-2 + n,所以 Sn= 3 Jt +.Q 丿2例9、(2011 黑龙江)已知ai= 2，点(an, an+i)在函数

13、f(x) = x + 2x的图象上，其中n2 _2由(1) 知, an=-=1,2,3 ，(1) 证明数列lg(1 + an)是等比数列；(2) 设Tn = (1 + ai)(1 +比)(1 + an)，求Tn及数列 an的通项.解析(1)由已知an+ 1 =an+2an ,.an+ 1+ 1 = (an + 1) . .ai = 2, an+ 1>1,两边取对数lg(1 + an+1) 得:lg(1 + an+1) = 2lg(1 + an)，即十=2. /. lg(1 + an)是公比为 2 的等比数列.lg(1 + an)n 1n 1n 1n 1(2)由(1)知 lg(1 + an

14、) = 2 lg(1 + ai) = 2 lg3 = lg32 / 1 + an= 32 (*)01n一 12n一 1nTn = (1 + ai)(1 + a2)(1 + an) = 32 32 32= 31 + 2 + 2 + 2= 32 1.由(*)式得 an= 32 1 1.例10、2011 湖南长沙一中月考)已知f(x) = m(m为常数，m>0且 仆1).设f(ai),f(a2)，,f(an)(n N)是首项为m,公比为m的等比数列.(1) 求证：数列an是等差数列；(2) 若bn = anf (an)，且数列bn的前n项和为Sn,当m= 2时，求S；(3) 若Cn= f (

15、an)lg f (an)，问是否存在正实数 m使得数列 Cn中每一项恒小于它后面的 项？若存在，求出 m的取值范围；若不存在，请说明理由.解析(1)由题意 f (an) = vm m1, 即卩 ma= m+1.an = n+1，二an+1 an= 1,.数列an是以2为首项，1为公差的等差数列.n + i(2)由题意 bn= anf (an) = (n+ 1) m ,当 2 时，bn= (n+ 1) 2n+1,. S= 2 22+ 3 23+ 4 24 + + ( n+ 1) 2n+1 式两端同乘以 2 得，2S= 2 23+ 3 24+ 4 25+ n 2小 + (n+ 1) 2n+ 2 并

16、整理得，2 345n+ 1n + 2223 4n+1、，S= 2 2 2 2 2一2+ (n+ 1) 2= 2 (2 + 2 + 2 +-+ 2) + (n+ 1) 2n +2n=4 2(： _ j)+ (n+ 1) 2n+ 2= 4+ 22(1 2n) + (n+ 1) 2n+ 2= 2n+2 n. 1 2(3)由题意 cn= f (an) Ig f (an) = m十1 Ig m十1 = (n+ 1) m十1 Ig mn+ 1n+ 2要使 Cn<Cn+1 对一切 n N成立，即(n+ 1) m lg m:(n + 2) m N*成立，当m>1时，lg m>0,所以n+ 1

17、<m n+ 2)对一切n N*恒成立；当-Ig m 对一切 n 0<n<1 时，Ig m<0,n+1n+112所以 F>m对一切n N成立，因为 =1 - 的最小值为“所以n+ 2n+ 2n+ 2320代.综上，当0<n<3或 n>1时，数列中每一项恒小于它后面的项.3例11、数列an的前n项和为S,且S= n(n+1)( n N).求数列an的通项公式;b1b2b3若数列bn满足：an=話+話+話+ 3十，求数列bn的通项公式;解析(1)当 n= 1 时，ai = S = 2,当 n2 时，an= S S 1 = n(n+ 1) (n1)n =

18、 2n,知 a1 = 2 满足该式数列an的通项公式为an= 2n.b1b2b3bn(2) an= 3+7+乔 + k + + 3V!(n1)b1b2b3bnbn +1 an+1=3+7 + k+3+1+ 打+3十R 一得,bn + 1n + 13门+ 1 | 片=an+1 an = 2, bn+ 1 = 2(3+1),3 十I故 bn= 2(3 n+ 1)( n N).anbnnn 6= n(3 + 1) = n 3 + n,4 Tn = C1 + C2 + C3 + Cn= (1 x 3 + 2x 3 + 3x 3 + nx3 ) + (1 + 2+ n) 令 1x 3+ 2x 32 +

19、3x 33+ nx 3n，则 3H= 1 x 32 + 2 x 33 + 3 x 34+ nx 3n+1 n-得，-2H = 3+ 32 + 33 + + 3n nx 3n+1 =汽：)nx 3n+11 3n +1.h =(2n-"：3+3,数列Cn的前n项和Tn=(2n" x3n+1 十3 + n424anbn*3）令Cn=犷（n N），求数列 Cn的前n项和Tn.综合练习、选择题则 a4+ a5+ a6 等于（）1 在等差数列an中，已知ai = 2, a2+ a3= 13,A. 40B . 42D . 452.已知等差数列an的前n项和为Si,且满足号=1，则数列a，

20、的公差是（1A.23.已知数列an满足 log 3an+ 1 = log 3an + i(n N)且a2 + a4 + a6= 9,则1log ( a5 + a? +a9）的值A. 5 BD.4.已知an为等差数列,bn为正项等比数列，公式qz 1，若 a1= b1,an = bn,则()A.a6= b6B.a6>b6C.a6<b6D.以上都有可能5.已知a>0, b>0, A为a, b的等差中项，正数 G为a, b的等比中项，贝U ab与AG的大小关A.ab= AGB. ab>AGC.abw AGD.不能确定A.B.5+12C.7.已知数列an满足a1 = 1,

21、a2 = 1,an+ 1 = | an ch 1 |(n> 2），则该数列前 2011项的和等于A. 1341 B.669.1340 D.13398.数列an是公差不为0的等差数列，且a1、a3、a?为等比数列 bn的连续三项，则数列bn的公比为（）D.A. 2 B . 49.已知数列an为等差数列，若虫<1,且它们的前n项和S有最大值，则使得 S>0的最 a10大值n为()A. 11B.19C.20D. 2110.在等差数列 an中，其前n项和是& $S,若 S5>0, Si6<0,则在一，一，a1 a2S)5，中最大的是(a15)SA.a1B.a8C.

22、SSl5D.a9a152 211将n(n3)个正整数1,2,3，n填入nx n方格中，使得每行、每列、每条对角线上 的数的和相等，这个正方形就叫做n阶幻方.记f(n)为n阶幻方对角线上数的和，如右表就是一个3阶幻方，可知f (3) = 15,则f (n)=()丄tt丄丄丄A.1 n(n2+1)B.2n2 (n +1) 31 2 2 2eqn (n +1)D. n(n +1)12.若数列an满足：a+1 = 1 -且 a1 = 2,贝U a2011 等于()1 1A. 1 B . C . 2D.-13.数列an是等差数列，公差0，且a2046+ a1978 a2012= 0, bn是等比数列，且

23、 b2012= a2012,贝b2010 b2014=()A. 0B.1C. 4D.814.设数列an是以2为首项，1为公差的等差数列， bn是以1为首项，2为公比的等比数列，贝U ab+ ab+1 + abi0=()A. 1033B.1034C. 2057D.205815. 在圆x2 + y2 = 10x内，过点(5,3)有n条长度成等差数列的弦，最短弦长为数列刘的首项a1，最长弦长为an，若公差d £，3那么n的取值集合为()A. 4,5,6B. 6,7,8,9C. 3,4,5D. 3,4,5,616. 在数列an中，an+1 = an + a(n N，a为常数)，若平面上的三个

24、不共线的非零向量，满足=a1+ a2010,三点 A B C共线且该直线不过O点，则 $。1。等于()A. 1005 B . 1006 C . 2010 D . 2012二、填空题1. 已知1, X1, X2,7成等差数列，1, y1, y2,8成等比数列，点 Mx1, yj , N(x2, y2)，则线段MN的中垂线方程是.一 12. 已知正项数列an的首项ai= 1,前n项和为S,若以(an, S)为坐标的点在曲线 y= qx(x+1)上，则数列an的通项公式为 3. 已知a '0, -2)u 号，n，且Sin a , sin2 a ,sin4 a成等比数列，则a的值为 4. 秋末

25、冬初，流感盛行，荆门市某医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列an,已知ai= 1, a2= 2,且an+2 an= 1+ ( 1)n (n N*)，则该医院30天入院治疗流感的人数 共有人.5. 在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，且从上到下所有公比相等，则a+ b+ c的值为.aCB612三、解答题1. an是公差为1的等差数列，bn是公比为2的等比数列，R, Q分别是&, bn的前n 项和，且 a6= b3, Ro= Q4+ 45.(1)求an的通项公式；(2)若R>b6,求n的取值范围.2. 已知数列an的前n项和S= 2

26、n2 2n,数列bn的前n项和Tn= 3 bn.11求数列an和bn的通项公式；设Cn = ：an ；bn,求数列 Cn的前门项和R的表达式.433. 数列an的前 n 项和记为 S, a1= 1, an+1 = 2$+ 1( n1).(1)求an的通项公式；(2)等差数列bn的各项为正数，前n项和为Tn，且T3 = 15,又a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3成等比数列，求 Tn.4. 已知数列bn前n项和为S,且b1= 1, bn+1 = 3$.（1）求 b2, b3, b4 的值；（2） 求bn的通项公式；（3） 求 b2 + b4+ /+ b2n 的值.5.6. 数列bn

27、的通项为bn = nan( a>0)，问 bn是否存在最大项？证明你的结论.7.已知数列an和等比数列b满足：ai = bi = 4, a? = b2= 2, a3= 1，且数列an+1 an是等差数列，n N.求数列an和 bn的通项公式数列练习题答案选择：1、B 2.C 3.A 4、B 5.C 6、C 7、A 8、C 9.B 10.B11、A12.C 13、C；14.A15、A 16.A填空：1、x+ y 7 = 02n2、an n 3、4 、25535.22解答题:1、解析(1)由题意得ai = 3,.°. an= 3+ (n 1) = n+ 2.bi= 2ai+ 5=

28、4bi10 X 9 bi(1 24)10ai+丁 =1 2 + 45(2) Pn =n(n+ 2+ 3)=2 =2n + 5nb6 = 2X 261= 64.2 _n + 5n2+ (n 1)1 2只=+ 2 In 1) 2 -R= 1 (n+ 1)2：3.解析 由 an+1 = 2S+ 1 可得 an= 2S1+ 1(n2),两式相减得 an+1 an= 2an,. an+1 = 3an(n2)，又 a2 = 2S +1 = 2a1 + 1 = 3, a2= 3a, 故an是首项为1,公比为3的等比数列， an = 3n1.b3 = 5+ d,又 a1= 1, a2= 3, a3= 9, 设

29、bn的公差为d,由Tj=15得，b1+b2+b3=15,可得b2 =5,故可设 b = 5 d,一 2 .由题意可得(5 d+ 1)(5 + d+ 9) = (5 + 3)，解得 d= 2 或一10.等差数列5的各项均为正数,4.解析(1)1 1b2=3s=3b11= 311411165=評=3(b1 + b2) = 9，b4= 3= 3(b1 + b + b3) = 2715+ 1=尹 1| bn= 1141一解 bn+ 1 bn= -bn, bn+ 1 = 3bn，:卜=31 bn=了4 n-23(n> 2)(n= 1) 6= 14 n 2丁 4 (n> 2)(3) b2, b4, b6b2n是首项为3，公比2的等比数列,. b2 +