中考冲刺之反比例函数与几何

1、中考冲刺之反比例函数与几何知识点梳理1、双曲线的几何特性： k过双曲线y k 0上任意一点向两坐标轴做垂线，与两坐标轴围成的矩形面积等于 xk ,连接该点与原点，还可以得出两个直角三角形，这两个直角三角形的面积都等于 k2、反比例函数上任意一点都可以设为X,;X3、与反比例函数相关的几个模型，做题时可以考虑使用:结论：SzxOCD6弟形 ABCD结论：BD/CE【中考真题再现】1. (2015年11题3分)如图，直线 y kx与双曲线y于点B,连接AO,若Saaob=2 ,则k的值为(A作AB± X轴XC )A. 2B. 3C. 4D. 52c、-X 0交于点A (1, 2),则Xk

2、 -(x 0)的图象交于 x3. (2017年20题9分)如图，一次函数 y= - x+b与反比例函数 y点 A (m, 3)和 B (3, 1).(1)填空：一次函数的解析式为 ，反比例函数的解析式为 ;(2)点P是线段AB上一点，过点 P作PDx轴于点D,连接OP,若APOD的面积为S, 求S的取值范围.k解：(1)将 B (3, 1)代入 y=H, . k=3 ,3将 A (m, 3)代入 y=,m=1 , .A (1, 3),£将 A(1, 3)代入代入 y= - x+b, 1. b=4 ,y= - x+4(2)设 P (x, y),由(1)可知：1wxw 3,.PD=y=

3、- x+4, OD=x , . . S=x ( - x+4),由二次函数的图象可知：S的取值范围为：一WSW2k4. (2018年18题9分)如图，反比例函数 y (x 0)的图象过格点(网格线的交点) xP.(1)求反比例函数的解析式；(2)在图中用直尺和2B铅笔画出两个矩形(不写画法)，要求每个矩形均需满足下列两个条件：四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点。，点P;矩形的面积等于 k的值.T"11i- - - 71 |F "h 骨.-2-；I !P*. ：F "1II1iA1 1V J二;1a 3 4J '门1:II1p1解：(1)二反比例函数

4、y= (x>0)的图象过格点 P (2, 2), 上k=2 ><2=4，反比例函数的解析式为y=T"；(2)如图所示：矩形 OAPB、矩形OCDP即为所求作的图形.5. (2019年21题10分)模具厂计划生产面积为4,周长为m的矩形模具.对于 m的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如 下:(1)建立函数模型_4,，设矩形相邻两边的长分别为得 2(x+y)=m，即 y xx, y,由矩形的面积为4,得xy=4 ,即y ；由周长为m,m,满足要求的(x, y)应是两个函数图象在第 象限内交 点的坐标.(2)画出函数图象

5、一，4一一_ 一一一m,一一一，,，一，函数y (x>0)的图象如图所不，而函数 y x 的图象可由直线函数 y=-x平移得x2到，请在同一直角坐标系中直接画出直线y=-x .y>.(3)平移直线y=-x ,观察函数图象4当直线平移到与函数 y (x>0)的图象有唯一交点(2, 2)时，周长m的值为在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长m的取值范围.(4)得出结论若能生产出面积为 4的矩形模具，则周长 m的取值范围为 【答案】(1) 一(3)80个交点时，0 m 8；两个交点时，m 8(4) m 86. (2014年20题9分)如图，在直角梯形 O

6、ABC中，BC/AO , /AOC=90 °,点A, B的k . 一坐标分别为(5, 0), (2, 6),点D为AB上一点，且BD=2AD ,双曲线y (k 0)经 x过点D,交BC于点E.(1)求双曲线的解析式；(2)求四边形 ODBE的面积.解：(1)作BM仪轴于M,作BN/k轴于N,如图, /点A, B的坐标分别为(5, 0), (2, 6), /BC=OM=5 , BM=OC=6 , AM=3 ,/DN /BM ,/ ADN / ABM ,/尊地义日”幽皿工函研杷6 3 3/DN=2 , AN=1 ,/ON=OA - AN=4 ,ID点坐标为(4, 2),把D (4, 2)

7、代入丫=上得k=2M=8,反比例函数解析式为 y=-;x(2) S 四边形 ODBE =S 梯形 OABC S/OCE - S /OAD=Jx (2+5)4-斗8|-X5X2【冲刺模拟】1.如图，已知直线 y=x+b与y轴交于点B (0, -3),与反比例函数 y= k (x>0)的2x图象交于点 A ,与x轴交于点C, BC = 3AC(1)求反比例函数的解析式;k(2)若P是y轴上一动点，M是直线AB上万的反比例函数 y= (x>0)的图象上一 x动点，直线 MN，x轴交直线AB于点N,求APMN面积的最大值.一一 1.解：(1) .直线y x b与y轴交于点B (0, -3)

8、, 23,b= - 3 直线为 y = - x -2作 AD，x轴于 D, AD / OB,AD ACOB BCAD 1 点 B (0, - 3), BC=3AC,- - , AD =1,把 y= 1 代入 y= 1x 3得，1= 1x 3,解得 x=8, A (8, 1), 22 反比例函数y= - (x>0)的图象经过点 A, k=8Xl= 8,x 反比例函数的解析式为 y= 8； x(2)设 M (x,),则 N (x, x - 3) , MN = x +3,x2x 2.o 181SAPMN = x 3 x2x212c/ 1 / f2250,x 2x 4 (x 3),444. PM

9、N面积的最大值是2542.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y = ax+b的图象与反比例函数k .y= (k为吊数, xkD的图象交于二、四象限内的A、B两点，与y轴交于C点.点A的坐标为(m, 3),1点B与点A关于y = x成轴对称，tan/ AOC =3(1)求k的值；(2)直接写出点B的坐标，并求直线 AB的解析式;(3) P是y轴上一点，且 S咛bc=2S3ob,求点P的坐标.解：（1）作 AD，y 轴于 D, 点 A 的坐标为（m, 3） , OD = 3,1AD 1AD 1. tan / AOC = - . /. 一，即 -,.AD= 1, .A （- 1, 3）,3OD 33

10、3k .在反比例函数 y= - （k为常数，kwo）的图象上，k=- 1X3= -3; x（2） .点B与点A关于y=x成轴对称，B （3, -1）,a b 3 a 1A、B在一次函数y = ax+b的图象上，解得3kbi b 2直线AB的解析式为y=- x+2；(3)连接OC,由直线AB为y= - x+2可知，C (0, 2),S-C+S"V"*1* 4,.P是 y 轴上一点，设 P （0, t）,Sapbc= 1 |t- 2| X= 3 |t- 2|,Sapbc=2Saaob,3|t-2| = 2X4,t= 22 或 t=-,233，P点的坐标为（0,空）或（0,-）.

11、333、如图，在直角坐标系中，矩形 OABC的顶点O与坐标原点重合，A、C分别在坐标轴上，点B的坐标为(4, 2),直线y1- 3交AB, BC分别于点M, N,反比例函数2ky 一的图象经过点m , N.0(1)求反比例函数的解析式;(2)若点P在y轴上，且4OPM的面积与四边形 BMON的面积相等，求点 P的坐标.(1) -.-B (4, 2),四边形 OABC 是矩形，OA=BC=2.将y=2代入y1 八-33 得：-=2 , -.-M (2, 2).2把M的坐标代入ky -得:k=4;反比例函数的解析式是(2)S9边形 BMONS矩形OABCSAOM S CON4 4.,- OPM勺面

12、积与四边形 BMON的面积相等,1- OP AM24.(0, -4).- AM=2, .OP=4.点 P 的坐标是(0, 4)或4 .如图，将一矩形 OABC放在直角坐标系中，O为坐标原点，点 A在y轴正半轴上，点 E是边AB上的一个动点（不与点A、B重合），过点E的反比例函数 yk ,(x 0)的图象 x与边BC交于点F1若VOAE的面积为2 若 OA 2, OC4 ,反比例函数yk(x xOC上,0）的图象与边AB、求k的值.边BC交于点E和F,当VBEF沿EF折叠，点B恰好落在【答案】解：1设E a,b ,则OAAEkQ点E在反比仞Bi数y (x x1 ,QVAOE的面积为1,-k20)

13、上,1, k2;答：k的值为：2.2过E作ED OC ,垂足为D, VBEF沿EF折叠，点B恰好落在OC上白B B',SD B c xQOA 2,OC4,点E、F在反比例函数的图象上,EB EB'EB'FFB'CQ EDBkBF B'F 2 -490B'FCEB'D FB'C90 , EB'D90 ,EBFB/ k4 -22 k4B'FC ,B'FC 90 VEB'FsVB'CF,可得：BCDE DB EBFC2, QDE 2,B F 12 /k2k、21(一)(2 ),解得：k 3,44A

14、 (m, 4)和点 B (8,在RtVB'FC中，由勾股定理得:答：k的值为：3.85 .直线y=kx+b与反比例函数 y 一(x>0)的图象分别交于点 xn),与坐标轴分别交于点C和点D.(1)求直线AB的解析式；(2)观察图象，当x>0时，直接写出kx b 8的解集；x(3)若点P是x轴上一动点，当 COD与4ADP相似时，求点P的坐标.【答案】解：(1)二点A (m,4)和点B (8,n)在y 8图象上， x8 c8/rl m 2, n 1 ,即 A (2, 4), B (8, 1)48把A (2, 4), B (8, 1)两点代入y kx b得2k b解得:8k b

15、12 ,所以直线AB的解析式为:b 56(2)由图象可得，当 x>0时，kx b 一的解集为2Vx<8.y+1(3)由(1)得直线AB的斛析式为y x 5,当x=0时，y=5,当y=0时，x=10 ,即 2C点坐标为（0, 5）, D点坐标为（10, 0）.OC=5, OD=10, cd Joc2 od2 J52 102 5卡.AD . 10 2 2 424.5设P点坐标为（a, 0）,由题可以，点 P在点D左侧，则PD=10-a由/ CDO = Z ADP可得当空 _PD 时 codsapd,此时 AP/CO, 4（510 a ,解得 a=2,CD OD5,510故点P坐标为（2

16、, 0）10 a -L，解得 a=0,5 5AD PD4 5当 时， CODs PAD,即OD CD10即点P的坐标为（0, 0）COD 与 ADP因此，点P的坐标为（2, 0）或（0, 0）时，x 2 八6.参照学习函数的过程方法，探究函数y x 0的图像与性质，因为xx 222 .2y 1 ，即y 1,所以我们对比函数 y一来探究列表：x xxxx-4-3-2-1121212342 yx1223124-4-2-12312x 2 yx3253235-3-201312相应的函数值为纵坐描点：在平面直角坐标系中以自变量x的取值为横坐标，以 y标，描出相应的点如图所示:(1)请把y轴左边各点和右边

17、各点分别用一条光滑曲线，顺次连接起来;(2)观察图象并分析表格，回答下列问题:当x 0时，y随x的增大而；(“增大”或“减小”) x 22y 的图象是由y 的图象向 平移 个单位而得到的;图象关于点 中心对称.(填点的坐标)x 2一 .(3)函数y 与直线y 2x 1交于点A, B ,求 AOB的面积.x(1)如图所示:(2)二,由图像可知：当 x0时，y随x的增大而增大，故答案为：增大;x 22由表格数据及图像可知,y x的图象是由y -的图象向上平移1个单位而得到 的，故答案为：上，1；;由图像可知图像关于点(0,1)中心对称(3) V x ,解得:y 2x 1，A点坐标为（-1,3）, B点坐标为（1,-1）设直线y 2x 1与y轴交于点C,当x=0时，y=1,所以C点坐标为（0,1）,如图所示,Sa AOB = SaAOC+ SaBOC= OC XA21 “11OC xB=- 1 1 - 1 1=1222所以4AOB的面积为1.7.如图，反比例函数 y= k （x>0）和一次函数y=mx+n的图象过格点（网格线的交点） xB、P.（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）观察图象，直接写出一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围是： .（3）在图中用直尺和 2B铅笔画出两个矩形（不写画法），要求每个矩形均需