线性代数课件：5-2 相似矩阵和矩阵的对角化

1、相似矩阵和矩阵的对角化 相似矩阵的概念 相似矩阵的性质 矩阵相似于对角矩阵的条件一、相似矩阵的概念111 ,n, ,B,.定义设都是 阶矩阵 若有 阶可逆矩阵使则称矩阵 与 相似, 记作。对 进行运算称为对 进行相似变换可逆矩阵 称为把 变成 的相似变换矩阵A BnPP APBABAAP APAPAB1. 相似变换是等价关系相似变换是等价关系二、相似变换的性质.本身相似本身相似与与AA.,相似相似与与则则相似相似与与若若ABBA.,相相似似与与则则相相似似与与相相似似与与若若CACBBA自反性)1()2(对称性对称性传递性传递性)3(证明证明相相似似与与BA PEPAPPEB 11 PEAP

2、1PEAP 1.EA BAPPP 1,使使得得可可逆逆阵阵., 1的特征值亦相同的特征值亦相同与与从而从而式相同式相同的特征多项的特征多项与与则则相似相似与与阶矩阵阶矩阵若若定理定理BABABAn推论：若推论：若A与与B相似，相似， 则必有则必有 |A| = |B| 且且 tr(A) = tr(B)2. 相似矩阵具有相同的特征多项式相似矩阵具有相同的特征多项式推论推论 若若 阶方阵阶方阵A A与对角阵与对角阵n n 21.,21个特征值个特征值的的即是即是则则相似相似nAn ., . 3为正整数为正整数相似相似与与则则相似相似与与若若mBABAmm,1PPBA 若若 Ak.1PBPk 则则PP

3、B1 PPB1 PPB1 PPB1 k个个,1为对角矩阵为对角矩阵使使若可逆矩阵若可逆矩阵特别地特别地 APPP, 1PPAkk 则则有有对于对角矩阵对于对角矩阵, ,21 knkkk利用对角矩阵计算矩阵多项式利用对角矩阵计算矩阵多项式nA利用上述结论可以很方便地计算矩阵176,9812121121.33AA-= L-L:例如，给定矩阵A=可以验即证1111()3( 2)2( 2)33( 2)23( 2)nnnnnnnAPPPP-+=+ - - -=- +-LL则., 1对角化对角化这就称为把方阵这就称为把方阵为对角阵为对角阵使使若可找到可逆矩阵若可找到可逆矩阵阶方阵阶方阵对对AAPPPAn

4、证明证明,1为为对对角角阵阵使使假假设设存存在在可可逆逆阵阵 APPP .,21npppPP 用用其其列列向向量量表表示示为为把把三、矩阵相似于对角矩阵的条件.)( 2个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量有有的充分必要条件是的充分必要条件是能对角化能对角化即即与对角矩阵相似与对角矩阵相似阶矩阵阶矩阵定理定理nAAAn nnnppppppA 212121,即即 .,2211nnppp nnApApAppppA,2121 ., 2 , 1nipApiii 于于是是有有()1 122,nnppplll=L,1 PAPAPP得得由由1,既然P为可逆矩阵，P的秩为n,所以p都线性无关。np ,可见

5、是 的特征值 而 的列向量就是的对应于特征值 的特征向量。iiiAPpA命题得证命题得证.11111 ,=,( , ,),nniiinnAnppppnPppPAPPdiagPAPlllll-=LL = L反之由于 有 个线性无关的特征向量设它们为对应的特征值分别为则有A由这 个特征向量构成矩阵（）。由于 可逆，且，其中所以说明说明 如果如果 阶矩阵阶矩阵 的的 个特征值互不相等，个特征值互不相等，则则 与对角阵相似与对角阵相似推论推论nAAn如果如果 的特征方程有重根，此时不一定有的特征方程有重根，此时不一定有 个线性无关的特征向量，从而矩阵个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能不一定能对角

6、化，但如果能找到对角化，但如果能找到 个线性无关的特征向量，个线性无关的特征向量， 还是能对角化还是能对角化AAnnA例例1 1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？判断下列实矩阵能否化为对角阵？ 242422221)1(A 201335212)2(A解解EA 由由)1( 722 0 242422221. 7, 2321 得得()1220,AE xlll=-=将代入得方程组 04420442022321321321xxxxxxxxx解之得基础解系解之得基础解系.110,10221 , 0, 73 xEA 由由对对求得基础解系求得基础解系 2 , 2 , 13T .,3 化化可对角可对角因而因而个线性

7、无关的特征向量个线性无关的特征向量有有即即AA,同理同理 201335212EA 31 201335212)2(A. 1321 的特征值为的特征值为所以所以A , 01 xEA 代入代入把把解之得基础解系解之得基础解系,) 1, 1 , 1 ( T 故故 不能化为对角矩阵不能化为对角矩阵.A 163053064A设设A能否对角化？若能对角能否对角化？若能对角,P则则求求出出可可逆逆矩矩阵阵化化例例2 2.1为为对对角角阵阵使使APP 解解 163053064EA 212 . 2, 1321 的全部特征值为的全部特征值为所以所以A 得方程组得方程组代入代入将将0121 xEA 063063063212121xxxxxx解之得基础解系解之得基础解系,0121 .1002 解解系系得得方方程程组组的的基基础础代代入入将将, 02 3 xEA .1 , 1 , 13 T .,321线线性性无无关关由由于于 110101102, 321 P令令.200010001 1 APP则则有有所以所以 可对角化可对角化.A注意注意 , ,213 P若令若令111 012 100. 1 APP则有则有00 00002 11即矩阵即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应要相互对应P111103021 ,2003APBAPP-=判断矩阵能否相似于矩阵B