第7章_线性离散系统的分析与校正方法

1、(7-1)精选课件自动控制原理自动控制原理泰山学院物理与电子工程学院泰山学院物理与电子工程学院 自自 动动 控控 制制 原原 理理 课程课程 组组(7-2)精选课件7 线性离散系统的分析方法线性离散系统的分析方法 7.1 7.1 离散系统的基本概念离散系统的基本概念 7.2 7.2 信号采样与保持信号采样与保持 7.3 z7.3 z变换理论变换理论 7.4 7.4 离散系统的数学模型离散系统的数学模型 7.5 7.5 离散系统的稳定性与稳态误差离散系统的稳定性与稳态误差 7.6 7.6 离散系统的动态性能分析离散系统的动态性能分析 (7-3)精选课件本章主要内容本章主要内容本章在阐述了离散控本

2、章在阐述了离散控制系统相关基本概念制系统相关基本概念后，学习了采样过程后，学习了采样过程及采样定理、保持器及采样定理、保持器的作用和数学模型、的作用和数学模型、z z变换的定义和求法、变换的定义和求法、基本性质和基本性质和z z反变换的反变换的求法、线性差分方程求法、线性差分方程的建立及其解法、脉的建立及其解法、脉冲传递函数的概念及冲传递函数的概念及求取方法、离散系统求取方法、离散系统时 域 分 析 方 法 。时 域 分 析 方 法 。本章重点本章重点了解线性离散系统的基本概念和了解线性离散系统的基本概念和基本定理，把握线性连续系统与线基本定理，把握线性连续系统与线性离散系统的区别与联系；性离

3、散系统的区别与联系； 熟练掌握熟练掌握Z Z变换的定义、性质和变换的定义、性质和逆逆Z Z变换方法；变换方法； 了解差分方程的定义，掌握差分了解差分方程的定义，掌握差分方程的解法；方程的解法； 了解脉冲传递函数的定义，熟练了解脉冲传递函数的定义，熟练掌握开环与闭环系统脉冲传递函数掌握开环与闭环系统脉冲传递函数的计算方法；的计算方法； 掌握线性离散系统的分析方法和掌握线性离散系统的分析方法和原则。原则。(7-4)精选课件控制系统中有一个以上部件的输出信号是一串脉冲形式或是控制系统中有一个以上部件的输出信号是一串脉冲形式或是数数字（数码），由于信号在时间上是离散的，这类系统称数数字（数码），由于信

4、号在时间上是离散的，这类系统称为离散系统。为离散系统。两类离散系统：两类离散系统：（1）采样控制系统或脉冲控制系统）采样控制系统或脉冲控制系统 离散信号是脉冲序列（时间上离散）离散信号是脉冲序列（时间上离散）（2）数字控制系统或计算机控制系统）数字控制系统或计算机控制系统 离散信号是数字序列（时间上离散、幅值上整量化）离散信号是数字序列（时间上离散、幅值上整量化） 7-1 离散采样系统的基本概念离散采样系统的基本概念采样系统采样系统 时间离散，数值连续时间离散，数值连续数字系统数字系统 时间离散，数值量化时间离散，数值量化(7-5)精选课件炉温采样控制系统炉温采样控制系统(7-6)精选课件放大

5、器与执行放大器与执行电动机电动机炉炉燃料供应调燃料供应调节阀节阀sTKs1sesT 111炉温炉温炉温设炉温设定值定值D(z)G(s)D/A放大与伺服电放大与伺服电动机动机A/D温度检测与温度检测与变换变换计算机计算机温度设温度设定值定值炉温炉温炉温采样控制系统炉温采样控制系统炉温计算机（数字）控制系统炉温计算机（数字）控制系统 7-1 离散采样系统的基本概念离散采样系统的基本概念(7-7)精选课件(1)(1)控制计算由程序实现，便于修改，容易实现复杂的控制律；控制计算由程序实现，便于修改，容易实现复杂的控制律；(2)(2)抗干扰性强；抗干扰性强；(3)(3)一机多用，利用率高；一机多用，利用

6、率高；(4)(4)便于联网，实现生产过程的自动化和宏观管理。便于联网，实现生产过程的自动化和宏观管理。(1)(1)采样点间信息丢失，与相同条件下的连续系统相比，性能采样点间信息丢失，与相同条件下的连续系统相比，性能 会有所下降；会有所下降；(2)(2)需附加需附加A/D, D/AA/D, D/A转换装置。转换装置。脉冲控制系统的特点脉冲控制系统的特点：系统结构简单、投资少，适合于要求不高的场合。系统结构简单、投资少，适合于要求不高的场合。数字控制系统的特点数字控制系统的特点：（1 1） 在连续系统中的一处或几处设置采样开关，对被控对象进行断续控制；在连续系统中的一处或几处设置采样开关，对被控对

7、象进行断续控制； （2 2） 通常采样周期远小于被控对象的时间常数；通常采样周期远小于被控对象的时间常数；（3 3） 采样开关合上的时间远小于断开的时间；采样开关合上的时间远小于断开的时间；（4 4） 采样周期通常是相同的。采样周期通常是相同的。 (7-8)精选课件数字控制系统中的两个关键部件数字控制系统中的两个关键部件：A/DA/D转换器转换器：把连续的模拟信号转换为时间上离散的、幅值上整量化的数字把连续的模拟信号转换为时间上离散的、幅值上整量化的数字信号（二进制的整数），信号（二进制的整数），A/DA/D转换器可以认为采样周期为转换器可以认为采样周期为 TS TS 的理想采样开的理想采样开

8、关。关。D/AD/A转换器：转换器：把离散的数字信号转换为连续模拟信号。把离散的数字信号转换为连续模拟信号。 7-1 离散采样系统的基本概念离散采样系统的基本概念采样采样 时间上离散时间上离散量化量化 数值上离散数值上离散 零阶保持器零阶保持器 (ZOH)(ZOH)(7-9)精选课件离散采样系统的研究方法离散采样系统的研究方法（1 1）用）用Z Z变换法建立离散系统的数学模型后进行分析、综合。变换法建立离散系统的数学模型后进行分析、综合。（2 2）用离散系统的状态空间分析法对系统进行分析、设计。）用离散系统的状态空间分析法对系统进行分析、设计。 （略略）)(*teT0 7-1 离散采样系统的基

9、本概念离散采样系统的基本概念( )e t(7-10)精选课件 7-2 信号的采样与保持信号的采样与保持 1 1、采样过程、采样过程 2 2、理想采样过程的数学描述、理想采样过程的数学描述 3 3、采样信号的、采样信号的LaplaceLaplace变换变换 4 4、香农采样定理、香农采样定理 5 5、信号保持、信号保持(7-11)精选课件1、采样过程：、采样过程： 7-2 信号的采样与保持信号的采样与保持连续信号连续信号 采样器采样器 离散信号离散信号采样器的物理实现：采样器的物理实现：DAC(7-12)精选课件2、理想采样过程的数学描述、理想采样过程的数学描述)()()(*tteteT0)()

10、(nTnTtt00*)()()()()()()(nnTnTtnTenTttettete3、采样信号的、采样信号的Laplace变换变换000*)()()()()()()(nnTsnnenTenTtLnTenTtnTeLteLsE 7-2 信号的采样与保持信号的采样与保持(7-13)精选课件例例1 1 设设 ，求，求 的的L L变换变换 )(1)(tte)(*te)1(1111)()(20*TsTsTsTsTsTsnTseeeeeeenTesEateteat,0,)(例2 设 为常数，求 的L变换)(*te)1(11)()()(0)(0*TasaTTsTsTasnTasnnTsanTeeeeee

11、eesE 7-2 信号的采样与保持信号的采样与保持(7-14)精选课件如果采样器的如果采样器的 输入信号输入信号 具有有限带宽，各分量最高频率具有有限带宽，各分量最高频率为为 ，则只要采样周期满足以下条件：，则只要采样周期满足以下条件：)(teh)2(hs)(22sThs信号信号 即可从采样信号即可从采样信号 中恢复过来。中恢复过来。)(te)(*te 7-2 信号的采样与保持信号的采样与保持4、香农采样定理、香农采样定理工程上采样周期的选取原则工程上采样周期的选取原则满足香农采样定理前提下，采样周期尽量小；满足香农采样定理前提下，采样周期尽量小；满足采样周期尽量小和计算量、存储量的平衡；满足

12、采样周期尽量小和计算量、存储量的平衡；采用经验公式选择。采用经验公式选择。(7-15)精选课件hsT 22 香农香农(Shannon)(Shannon)采样定理采样定理 信号完全复现的必要条件信号完全复现的必要条件hsT 22 理想滤波器理想滤波器采样开关采样开关hs 2 hsT 22 hT (7-16)精选课件5、信号保持、信号保持D/AD/A转换器的输出信号是台阶型的，转换器的输出信号是台阶型的，在其内部是在其内部是“保持器保持器”在起作用。在起作用。信号保持器：实现数字信号与模拟信号的转换，数学实质是信号保持器：实现数字信号与模拟信号的转换，数学实质是解决采样点之间的差值问题（通过外推实

13、现）解决采样点之间的差值问题（通过外推实现） 7-2 信号的采样与保持信号的采样与保持一般外推公式：一般外推公式：(7-17)精选课件当给零阶保持器输入一个理想单位脉冲当给零阶保持器输入一个理想单位脉冲 ，则单位脉冲，则单位脉冲响应（输出）为：响应（输出）为：)(t)( 1)( 1)(Ttttgh对应的对应的L L变换变换sesesTttLtgLsGTsTshh11)( 1)( 1 )()( 7-2 信号的采样与保持信号的采样与保持5.1零阶保持器零阶保持器ZOH(7-18)精选课件)/(2/2/2/)/()/(sin22)(21)(sjsssjTjTjTjThejeeejejGTs/2零阶保

14、持器的特性：零阶保持器的特性：（1 1）低通特性）低通特性（2 2）相角迟后特性）相角迟后特性（3 3）时间迟后特性（平均迟）时间迟后特性（平均迟 后时间后时间 T/2T/2） 7-2 信号的采样与保持信号的采样与保持零阶保持器的频率特性零阶保持器的频率特性(7-19)精选课件零阶保持器对系统的影响零阶保持器对系统的影响sesGTsh 1)(2Tse 5.2一阶保持器一阶保持器(7-20)精选课件课程小结7.1 7.1 离散系统离散系统离散系统离散系统：系统中有一处或几处信号是脉冲串或数码系统中有一处或几处信号是脉冲串或数码系统类型系统类型采样系统采样系统 时间离散，数值连续时间离散，数值连续

15、数字系统数字系统 时间离散，数值离散时间离散，数值离散7.2 7.2 信号采样与保持信号采样与保持A/D: t Tt T字长足够字长足够等效为理想采样开关等效为理想采样开关)()()(*tteteT D/A: 用用 ZOH ZOH 实现实现ShannonShannon定理定理hsT 22 hT 或或(7-21)精选课件7.3 Z变换理论 0*)()(nnTsenTesE)( 1)(tte 例例1 1 ，求，求 )(*sE 0*1)(nnTsesE解解 TsTsee21aTTsTsTaseeee )(11atete )(例例2 2 ，求，求 )(*sE 0*)(nnTsanTeesE解解 111

16、 TsTsTseee 0)(nnTase(7-22)精选课件 0*)()()()(nnezznTesEtezETs注：注：一、一、 z z变换定义变换定义 *() : ( ) : Ezet象 函 数原 函 数)()()()()(*teZsEZsEZtezE z z 变换只对离散信号而言变换只对离散信号而言E(z) E(z) 只对应惟一的只对应惟一的e e* *(t)(t)，不对应惟一的，不对应惟一的e (t)e (t)二、二、 z z变换方法变换方法 级数求和法（定义法）级数求和法（定义法）查表法（部分分式展开法）查表法（部分分式展开法）7.3 z变换理论变换理论(7-23)精选课件Ttate

17、 )(例例4例例3 3 azzzazazEnnn 1011)( tjtjeejtte 21sin)( 021)(nnnTjnTjzeejzE 011)()(21nnTjnTjzezej 11111121zezejTjTj TjTjezzezzj 211)()(212 zeezeezjTjTjTjTj 1cos2sin2 zTzTz 7.3 z变换理论变换理论(7-24)精选课件tte )(例例5 5 321032)(zzzTzTnzEnn 43232zzzTz 321zdzdzdzdzdzdTz 321zzzdzdTz 2111zzzdzdTz 1111zzdzdTz解解. . 11zdzdT

18、z2)1( zTz7.3 z变换理论变换理论采样函数的采样函数的z z变换是变量变换是变量z z的幂级数的幂级数。(7-25)精选课件)(1)(bsassE 例例6 6 asbsbabsasbsasbasE111)()()(1)( tatbeebate 1)(解解. . , ,求求E(z)=? nnnTanTbzeebazE 01)( nnTannTbzezeba)()(11010 1111111zezebaaTbT aTbTezzezzba17.3 z变换理论变换理论(7-26)精选课件常见函数的常见函数的z变换变换 )(te)(zE Tta)()( 1)(tttT tt cossintaT

19、e 1)1( zz)1( zz2)1( zTz)(azz )(aTezz )1cos2(sin2 TzTz )1cos2()cos(2 TzTzz 7.3 z变换理论变换理论(7-27)精选课件 )()()()(21*2*1zEbzEatebteaZ 1.1. 线性性质线性性质 )()(zEznTteZn 三、三、 z z变换的基本定理变换的基本定理 2.2. 实位移定理（时移定理）实位移定理（时移定理） 延迟定理延迟定理 0)(kkznTkTe左左证：证： njnjzjTe)()( 0)(jjnzjTez右右 )( zEznnkj 7.3 z变换理论变换理论(7-28)精选课件 10)()(

20、)(nkknzkTezEznTteZ2.2. 实位移定理实位移定理 超前定理超前定理证：证： 0)(kkznTkTe左左 njjnzjTez)( 100)()(njjjjnzjTezjTez 0)()(knknznTkTeznkj 右右 )()(10 nkknzkTezEz7.3 z变换理论变换理论(7-29)精选课件 aTtaezEeteZ )(3.3. 复位移定理复位移定理 aTette )( 22111)1()()1()(1 aTaTezzezezTzTztZzEaT证：证： 0)(nnnTazenTe左左 01)(knznTenTaezz 1 0)(nnnTaeznTe)(1zE 右右

21、 nTaezE例例72)(aTaTezeTz 7.3 z变换理论变换理论(7-30)精选课件)(lim)(lim0zEnTezn 4.4. 初值定理初值定理 0)()(nnznTezE证：证： 321)3()2()1()0(zezezee)0()(limezEz )(lim)0(zEez 例例8208. 0416. 0)1(792. 0)(22 zzzzzE0 7.3 z变换理论变换理论(7-31)精选课件)()1(lim)(lim1zEznTezn 5.5. 终值定理终值定理 )()1(lim)(1zEzTez 例例9208. 0416. 0)1(792. 0)(22 zzzzzE1 208

22、. 0416. 0792. 0lim221 zzzz )()0()()()(zEezEzteTteZ 证：证： )0()()1(ezzEz 011)()1()0(lim)()1(limnnzzznTeTneezzEz )()()0()()1(teTteZezzEz )2()3()1()2()0()1()0(eeeeeee)( Te 7.3 z变换理论变换理论(7-32)精选课件6.6. 卷积定理卷积定理 0*)()()(*)()(kTkngkTetgtetc设：设： )()()(zGzEzC 则：则： 四、四、 Z 反变换反变换幂级数法（长除法）幂级数法（长除法）查表法（部分分式展开法）查表法

23、（部分分式展开法）留数法（反演积分法：略）留数法（反演积分法：略）zzE)(以以 的形式展开的形式展开 1)(Res)( nzzEnTe7.3 z变换理论变换理论00dtrgdrtgtc)()()()()(线性定常系统，输入输出关系可用卷积分表示(7-33)精选课件2310)(2 zzzzE)2)(1(10)( zzzzE例例1010 ，分别用三种方法求，分别用三种方法求 e*(t)。 4321150703010zzzz )4(150)3(70)2(30)(10)(*TtTtTtTtte 解法解法I: :( (长除法长除法) ) 110 zz1010203010 zzz210609030 zz

24、z102030 zz216070 zz32114021070 zzz32140150 zz232 zz230 z370 z4150 z7.3 z变换理论变换理论(7-34)精选课件 0*)()()(nnTtnTete 解法解法II: (: (查表法查表法 部分分式展开法部分分式展开法) ) 2310)(2 zzzzE)2)(1(10 zz112110 zz1210)( zzzzzE 0)()12(10nnnTt 1210)(TtTtte )2)(1(10)( zzzzE例例1010 ，分别用三种方法求，分别用三种方法求 e*(t)。7.3 z变换理论变换理论(7-35)精选课件)2)(1(10

25、)( zzzzE例例1010 ，分别用三种方法求，分别用三种方法求 e*(t)。 0*)()()(nnTtnTete 解法解法III: (: (留数法留数法 反演积分法反演积分法) ) 0)()12(10nnnTt 2310)(2 zzzzE 1)(Res)( nzzEnTe )2)(1(10)2(lim)2)(1(10)1(lim1211zzzzzzzzzznznz 110lim210lim21zzzznznzn21010 )12(10 n)2)(1(10 zzz 1)(Res)( nzzEnTe7.3 z变换理论变换理论(7-36)精选课件)1 . 0)(8 . 0()(2 zzzzE例例

26、1111 ，分别用查表法、留数法求，分别用查表法、留数法求e*(t)。 0*)(7/ )1 . 08 . 08()(nnnnTtte 查表法：查表法：)1 . 0)(8 . 0()( zzzzzE78)1 . 0(lim8 . 01 zzCz7/ )1 . 08 . 08()(nnnTe )1 . 0()8 . 0(21 zCzC71)8 . 0(lim1 . 02 zzCz)1 . 0(71)8 . 0(78 zz)1 . 0(71)8 . 0(78)( zzzzzE7/ )1 . 08 . 08()(TtTtte 7.3 z变换理论变换理论(7-37)精选课件 0*)()1 . 0718

27、. 078()(nnnnTtte 留数法：留数法：7 . 01 . 07 . 08 . 011 nn 1)(Res)( nzzEnTe )1 . 0)(8 . 0()8 . 0(lim)(128 . 0zzzzznTenz )1 . 0)(8 . 0()1 . 0(lim121 . 0zzzzznz)1 . 0)(8 . 0()(2 zzzzE例例1111 ，分别用查表法、留数法求，分别用查表法、留数法求e*(t)。7.3 z变换理论变换理论(7-38)精选课件2)(5)(azzE 例例1212 ，用留数法求，用留数法求e*(t)。 02*)()1(5)(nnnTtante 解解. . 121

28、)(5Res)(Res)(naznzazzzEnTe 212)(5)(lim)!12(1)(azzazdzdnTenaz 15lim nazzdzd 2)1(lim5 nazzn2)1(5 nan7.3 z变换理论变换理论(7-39)精选课件五、五、 Z 变换的局限性变换的局限性（1 1）只反映采样点上的信息；）只反映采样点上的信息；（2）以下条件不满足时，连续以下条件不满足时，连续 信号在采样点处会有跳变。信号在采样点处会有跳变。0)(lim sGs+零阶保持器零阶保持器 12mnmn7.3 z变换理论变换理论(7-40)精选课件7.3小结 0*)()()()(nnezznTesEtezET

29、s7.3.2 常见函数的常见函数的z变换变换 )(te)(zETta)()(1)(tttT tt cossintaTe 1)1( zz)1( zz2)1( zTz)(azz )(aTezz )1cos2(sin2 TzTz )1cos2()cos(2 TzTzz 7.3.1 z z变换定义变换定义 (7-41)精选课件7.3小结 )()()()(21*2*1zEbzEatebteaZ 1.1.线性性质线性性质 )()(zEznTteZn 7.3.3 z7.3.3 z变换的基本定理变换的基本定理 2.2.实位移定理实位移定理 延迟定理延迟定理 aTtaezEeteZ )(3.3.复位移定理复位移

30、定理 10)()()(nkknzkTezEznTteZ超前定理超前定理)(lim)(lim0zEnTezn 4.4.初值定理初值定理 )()1(lim)(lim1zEznTezn 5.5.终值定理终值定理 6.6.卷积定理卷积定理 )(*)()(*tgtetc )()()(zGzEzC (7-42)精选课件7.3小结7.3.4 7.3.4 Z 反变换反变换幂级数法（长除法）幂级数法（长除法）查表法（部分分式展开法）查表法（部分分式展开法）留数法（反演积分法）留数法（反演积分法）zzE)(以以 的形式展开的形式展开 1)(Res)( nzzEnTe本次课程作业本次课程作业P346：7 2, 3（

31、1），），4，5(7-43)精选课件一、离散系统的数学定义一、离散系统的数学定义二、差分方程及其解法二、差分方程及其解法三、脉冲传递函数的定义和推导三、脉冲传递函数的定义和推导四、开环系统脉冲传递函数四、开环系统脉冲传递函数五、闭环系统脉冲传递函数五、闭环系统脉冲传递函数 7-4 离散系统的数学模型离散系统的数学模型(7-44)精选课件数学模型：差分方程、脉冲传递函数、离散状态空间表达式数学模型：差分方程、脉冲传递函数、离散状态空间表达式 图形化：结构图图形化：结构图一、离散系统的数学定义一、离散系统的数学定义 将输入序列将输入序列 r r( (n n) ) 变换为输出序列变换为输出序列c c

32、 ( (n n) ) 的一种变换关系的一种变换关系, ,称为离散系统称为离散系统. )()(nrFnc 线性离散系统线性离散系统 离散系统满足叠加原理离散系统满足叠加原理, ,则称为线性离散系统。则称为线性离散系统。 线性定常（线性定常（LTILTI）离散系统）离散系统 输入与输出关系不随时间而改变的线性离散系统输入与输出关系不随时间而改变的线性离散系统 7-4 离散系统的数学模型离散系统的数学模型(7-45)精选课件二、差分方程及其解法二、差分方程及其解法(1)(1)差分的概念差分的概念差分与连续函数的微分相对应。差分与连续函数的微分相对应。不同的是差分有前向差分和后向不同的是差分有前向差分

33、和后向差分之别。见右图。差分之别。见右图。连续函数连续函数f f( (t t) )，经采样后为经采样后为f f* *( (t t) )，在在kTkT时刻，其采样值为时刻，其采样值为f f( (kTkT) )，常，常写作写作f f( (k k) )。两个采样点信息之间的微商即称为两个采样点信息之间的微商即称为差分差分。TTnrnTrrn) 1()(r( )r(1)nn 7-4 离散系统的数学模型离散系统的数学模型(7-46)精选课件 一阶前向差分的定义一阶前向差分的定义： 二阶前向差分的定义：二阶前向差分的定义： n阶前向差分的定义：阶前向差分的定义： 7-4 离散系统的数学模型离散系统的数学模

34、型(7-47)精选课件一阶后向差分的定义为：一阶后向差分的定义为：二阶后向差分的定义为：二阶后向差分的定义为：n阶后向差分的定义为：阶后向差分的定义为： 7-4 离散系统的数学模型离散系统的数学模型(7-48)精选课件(2)(2)差分方程差分方程若方程的变量除了含有若方程的变量除了含有f f( (k k) )本身外，还有本身外，还有f f( (k k) )的各阶差分的各阶差分f f( (k k) )、2f f( (k k) )、nfnf( (k k) )，则此方程称为差分方程。，则此方程称为差分方程。描述描述LTILTI离散系统动态过程的差分方程一般形式：离散系统动态过程的差分方程一般形式：

35、连续时间系统 r(t) c(t) 离散时间系统 r(nT) c(nT) 微分方程 差分方程 R(s) C(s) R(z) C(z) G(s) G(z) 7-4 离散系统的数学模型离散系统的数学模型(7-49)精选课件 例例1 1 已知一阶差分方程为：已知一阶差分方程为：设输入为阶跃信号设输入为阶跃信号u u( (kTkT)=)=A A，初始条件，初始条件y y(0)=0(0)=0，试求响应，试求响应y y( (kTkT) )。 7-4 离散系统的数学模型离散系统的数学模型解解 将差分方程两端取将差分方程两端取z z变换，得：变换，得：(3) 差分方程解法：差分方程解法：经典法、迭代法、经典法、

36、迭代法、z变换法变换法(7-50)精选课件 代入初始条件，求得输出的代入初始条件，求得输出的z z变换为：变换为： 为求得时域响应为求得时域响应y y( (kTkT) )，需对，需对Y Y( (z z) )进行反变换，先将进行反变换，先将Y Y( (z z)/)/z z展成部分分式：展成部分分式： 7-4 离散系统的数学模型离散系统的数学模型查变换表，求得上式的反变换为：查变换表，求得上式的反变换为：(7-51)精选课件三、脉冲传递函数三、脉冲传递函数(1)(1)脉冲传递函数的定义脉冲传递函数的定义 7-4 离散系统的数学模型离散系统的数学模型离散过程的结构图离散过程的结构图在零初始条件下在零

37、初始条件下:nnznTrznTczRzCzG)()()(/ )()()()()()(11*zRzGZzCZtc(7-52)精选课件G(s)(zG)(tr)(tc)(*tr)(*tc)(zR)(zC在输出端增设虚拟采样开关，在输出端增设虚拟采样开关，输出的单位脉冲响应：输出的单位脉冲响应：0*)()()()(nnTtnTgtgtc 7-4 离散系统的数学模型离散系统的数学模型0*)()()(nnTsenTgtgLsG)()()()(ln/ 1*sGZsGzGzTs0()nng nT z(7-53)精选课件 7-4 离散系统的数学模型离散系统的数学模型（2 2） 脉冲传递函数的推导脉冲传递函数的推

38、导 (1) (1) 由单位脉冲响应推出由单位脉冲响应推出 (2) (2) 由拉氏变换求出由拉氏变换求出 (3)(3) 由差分方程求出由差分方程求出连续系统的传递函数连续系统的传递函数G(s) G(s) 脉冲响应函数脉冲响应函数g(t)g(t) 周期离散化周期离散化g g* *(t) Z(t) Z变换变换 G(z)G(z) (7-54)精选课件例例2 2 求以下差分方程所示系统的脉冲传递函数。求以下差分方程所示系统的脉冲传递函数。)()(TknrnTckkzzGzRzzC)(,)()(解：由实数位移定理：解：由实数位移定理： 7-4 离散系统的数学模型离散系统的数学模型例例3 3 )()(ass

39、asGassassasG11)()()(1()1 (111)(aTaTaTezzezezzzzassZzG(7-55)精选课件四、开环离散系统的脉冲传递函数四、开环离散系统的脉冲传递函数1 1、采样、采样L L变换的两个重要性质：变换的两个重要性质：（1 1）采样函数的）采样函数的L L变换具有周期性变换具有周期性( (系统脉冲传递函数与系统脉冲传递函数与采样周期大小有关采样周期大小有关) )()(*sjksGsG 7-4 离散系统的数学模型离散系统的数学模型（2）若采样函数的拉氏变换与连续函数的拉氏变换相乘若采样函数的拉氏变换与连续函数的拉氏变换相乘（串联），则其乘积的离散化等于两者离散化后

40、再相乘。（串联），则其乘积的离散化等于两者离散化后再相乘。)()()()(*sEsGsEsG(7-56)精选课件nsjnsGTtgLsG)(1)()(*ntjnTTtjnTnntjnntjnnTssssetgTtgTdtetTceTect)(1)(1)(11)(*2/2/其中)()(1)(1)(*sGjmsGTknjsGTjksGnsnss 7-4 离散系统的数学模型离散系统的数学模型(7-57)精选课件2、具有串联环节的开环脉冲传递函数、具有串联环节的开环脉冲传递函数串联形式（串联形式（1 1）G2(s)(tc)(*tc)(zCG1(s)(tr)(*tr)(zR)(zG)(td 7-4 离散

41、系统的数学模型离散系统的数学模型连续对象的输出：连续对象的输出：)()()()(*21sRsGsGsC0*)()()(nnTsenTrtrLsR其中：其中：对输出的离散化：对输出的离散化：)()()()()()()()()(*21*21*21*sRsGGsRsGsGsRsGsGsC)()()()(21*21*21zGGsGGsGsG注意：注意：)()()(2121zGGzGzG)()(/ )()(21zGGzRzCzG(7-58)精选课件G2(s)(2zG)(tc)(*tc)(zC)(zDG1(s)(1zG)(tr)(td)(*tr)(*td)(zR)(zG串联形式（串联形式（2 2）)()(

42、)(2zDzGzC)()()(1zRzGzD)()()()()()(212zRzGzGzDzGzC)()()(/ )()(21zGzGzRzCzG 7-4 离散系统的数学模型离散系统的数学模型(7-59)精选课件3 3 带有零阶保持器的开环脉冲传递函数带有零阶保持器的开环脉冲传递函数)()(1)(1)(*sRsGsesGssCpTsp)(trGp(s)(tc)(*tc)(*trsesGTsh1)(Gp(s)/s)(tc)(*tc)(*tr1Tse)(tr1111( ) ( )( ) (z)1( )( )/ ( ) (1) ( )TspppzeC zZG sz ZG sRssG zC z R z

43、zZG ss )()(1)(1)(*sRsGsesGssCpTsp离散化：离散化： 7-4 离散系统的数学模型离散系统的数学模型(7-60)精选课件例例4 4：设对象传递函数：设对象传递函数求带零阶保持器后系统的脉冲传递函数：求带零阶保持器后系统的脉冲传递函数：)()(assasGp)(1)1 ()(/ )()(1sGsZzzRzCzGp)() 1()1 () 1(/1)/1 (1)/1 () 1(/1/11)(1)(1222aTaTaTaTaTpezzeaTezaTeaezzazzazTzasasasZassasZsGsZ 7-4 离散系统的数学模型离散系统的数学模型解：解：(7-61)精选

44、课件21(1/ ) (1)(1)(1) ()(1/ )(1)(1)(1)()aTaTaTaTaTaTaTaTza z eaTzaTeezzzeaeaTzaTeezze)(1)1 ()(/ )()(1sGsZzzRzCzGp 7-4 离散系统的数学模型离散系统的数学模型当当 为为 s s的有理分式函数时，的有理分式函数时， 的的Z Z变换变换 也必然是也必然是s s的有理分式函数。的有理分式函数。)(sGp/ )(ssGZp( )spGs(7-62)精选课件五、离散系统闭环脉冲传递函数五、离散系统闭环脉冲传递函数)()()(*sEsGsC* ( )( )( )( )( )( )( )( )( )

45、( )( )EsR sH s C sR sH s G s EsRsHGs Es连续输出信号的连续输出信号的L L变换变换)()(1)()()()(*sRsGHsGsEsGsC)()(11)(*sRsGHsEG(s)(tc)(*tcH(s)(tr)(*tr)(z)(tb)(*tb)(*te)(te 7-4 离散系统的数学模型离散系统的数学模型(7-63)精选课件)(zGH0)(1)(zGHzD对应的对应的Z Z变换为变换为)()(11)(zRzGHzE)()(1)()(zRzGHzGzC)(1)()()()(zGHzGzRzCz闭环系统的输出对于输入的脉冲传递函数：闭环系统的输出对于输入的脉冲传

46、递函数：)(11)()()(zGHzRzEze系统误差对于输入的脉冲传递函数：系统误差对于输入的脉冲传递函数：闭环系统的特征方程：闭环系统的特征方程：开环脉冲传递函数开环脉冲传递函数注意：离散系统闭环脉冲传递注意：离散系统闭环脉冲传递函数不能从对应的连续系统函数不能从对应的连续系统传递函数的传递函数的Z Z变换直接得到。变换直接得到。( )( )( )( )eezZszZs 7-4 离散系统的数学模型离散系统的数学模型(7-64)精选课件例例5 5 闭环系统中具有两个以上采样开关时的闭环脉冲传递函数？闭环系统中具有两个以上采样开关时的闭环脉冲传递函数？)()()(*1*2*sEsGsC)()(

47、)(*1*1sEsGsE)()()()()()()()()()()()()(*1*2*12*sEsGsHGsRsEsGsGsHsRsCsHsRsE)()()()(*1*2*sEsGsGsC)()(11)()()(*1*2*sGsHGsRsEseG2(s)(*sC)(zCG1(s)(sR)(1sE)(*sE)(*1sEH(s)(sE 7-4 离散系统的数学模型离散系统的数学模型(7-65)精选课件)()()(1)()()(*1*2*1*2*sRsGsHGsGsGsC)()(1)()()(/ )()(*1*2*1*2*sGsHGsGsGsRsCs)()(11)()()(12zGzHGzRzEze对

48、应的闭环系统脉冲传递函数对应的闭环系统脉冲传递函数)()(1)()()(1212zGzHGzGzGz 7-4 离散系统的数学模型离散系统的数学模型(7-66)精选课件)()()()()()()()()()(*sCsHsGsRsGsCsHsRsGsC系统输出系统输出G(s)(tc)(*tcH(s)(tr)(tb)(te)(*tc)()()()(*sCsGHsGRsC)(1/ )()(*sGHsGRsC)(1)()(zGHzGRzCP312 P312 表表7-3 7-3 典型闭环离散系统及输出的典型闭环离散系统及输出的Z Z变换函数变换函数 7-4 离散系统的数学模型离散系统的数学模型闭环系统中采

49、样开关的位置不同，闭环系统中采样开关的位置不同，有可能有可能不能不能获得闭环脉冲传递函数获得闭环脉冲传递函数(7-67)精选课件闭环系统脉冲传递函数的简易计算方法闭环系统脉冲传递函数的简易计算方法假设把离散系统中的采样开关去掉，求出对应连续系统的输假设把离散系统中的采样开关去掉，求出对应连续系统的输出表达式；出表达式；表达式中各环节乘积项需逐个决定其表达式中各环节乘积项需逐个决定其“* *”号。方法是：乘积号。方法是：乘积项中某项与其余相乘项两两比较，当且仅当该项与其中任一相项中某项与其余相乘项两两比较，当且仅当该项与其中任一相乘乘项均被采样开关分隔时，该项才能打项均被采样开关分隔时，该项才能

50、打“* *”号。否则需相乘后才号。否则需相乘后才打打“* *”号。号。取取Z Z变换，把有变换，把有“* *”号的单项中的号的单项中的s s变换为变换为z z，多项相乘后仅，多项相乘后仅有一个有一个“* *”号的其号的其Z Z变换等于各项传递函数乘积的变换等于各项传递函数乘积的Z Z变换。变换。 7-4 离散系统的数学模型离散系统的数学模型(7-68)精选课件11)(ssGZ Z变换的局限性：变换的局限性：（1 1） Z Z变换的推导是建立在理想采样序列的基础上。而实际变换的推导是建立在理想采样序列的基础上。而实际采样脉冲序列具有一定的宽度，只有当脉冲宽度与系统最大采样脉冲序列具有一定的宽度，

51、只有当脉冲宽度与系统最大时间常数相比很小时，时间常数相比很小时，Z Z变换才能成立。变换才能成立。（2 2）C(z)C(z)只能反映只能反映c(t)c(t)在采样时刻的数值，不能反映在采样时刻的数值，不能反映c(t)c(t)在在采样间隔中的信息。采样间隔中的信息。（3 3）用）用Z Z变换方法分析离散系统，要求连续部分的传递函数变换方法分析离散系统，要求连续部分的传递函数的分母阶次比分子的阶次至少高的分母阶次比分子的阶次至少高2 2次，这时用次，这时用Z Z变换方法得到变换方法得到的结果是正确的。的结果是正确的。 例如：设例如：设 R-C R-C 电路如图，输入电路如图，输入相当于是脉冲序列相

52、当于是脉冲序列)(tr1)(tcF1 7-4 离散系统的数学模型离散系统的数学模型(7-69)精选课件1111)(/1)(zzzzRssR1368. 011368. 0)(zzzezzsGT设输入信号为单位阶跃函数设输入信号为单位阶跃函数)1)(368. 01 (1)()()(11zzzRzGzC3212155. 15 . 1368. 11368. 0368. 111)(zzzzzzC)3(55. 1)2(5 . 1) 1(368. 1)()(*tttttc)(tT但实际上，电路的实际输出是但实际上，电路的实际输出是 作用下的输出，作用下的输出，c(t)c(t)表表现为充放电过程。现为充放电过

53、程。采样周期采样周期 T=1T=1秒，对应的秒，对应的Z Z变换：变换： 7-4 离散系统的数学模型离散系统的数学模型(7-70)精选课件 一一. 采样系统的稳定性分析采样系统的稳定性分析 s s域到域到Z Z域的映射域的映射 离散系统稳定的充要条件离散系统稳定的充要条件 离散系统的稳定判据离散系统的稳定判据 开环增益与采样周期对稳定性的影响开环增益与采样周期对稳定性的影响 二二. 采样控制系统的稳态误差采样控制系统的稳态误差 离散系统稳态误差的影响因素离散系统稳态误差的影响因素 离散系统的型与静态误差系数离散系统的型与静态误差系数 7-5 离散系统的稳定性与稳态误差离散系统的稳定性与稳态误差

54、(7-71)精选课件一、离散系统的稳定性的分析方法一、离散系统的稳定性的分析方法线性连续系统在线性连续系统在 s s平面上稳定性分析方法平面上稳定性分析方法1. s 域到域到 z 域的映射关系域的映射关系jTTjTTseeeez)(jsTzezT,域域zs 7-5 离散系统的稳定性与稳态误差离散系统的稳定性与稳态误差离散线性系统在离散线性系统在 z z平面上的稳定性分析。平面上的稳定性分析。(7-72)精选课件TzezT,Im1平面z0Re平面sj02s2s主频带主频带次频带次频带次频带次频带1)1)S S平面左半部分在平面左半部分在Z Z平面上的映射平面上的映射S S平面左半部分每一条宽度为

55、平面左半部分每一条宽度为s s的带状区域，映射到的带状区域，映射到Z Z平面平面上，都是单位圆内区域。上，都是单位圆内区域。2)2)S S平面右半部分在平面右半部分在Z Z平面上的映射平面上的映射因此，整个因此，整个S S平面右半部分在平面右半部分在Z Z平面上的映像是以原点为圆心平面上的映像是以原点为圆心的单位圆外部区域。的单位圆外部区域。 7-5 离散系统的稳定性与稳态误差离散系统的稳定性与稳态误差(7-73)精选课件0令（1）等线映射s s平面上的虚轴映射到平面上的虚轴映射到z z平面上的轨迹是以原点为圆心的单位圆，平面上的轨迹是以原点为圆心的单位圆，相位：相应的点沿单位圆变化无穷多圈相

56、位：相应的点沿单位圆变化无穷多圈. .Ts2Ts2zTzTzezT, 7-5 离散系统的稳定性与稳态误差离散系统的稳定性与稳态误差(7-74)精选课件j1121Te1Te2Te结论：结论：s s平面上虚轴（平面上虚轴（=0）映射为映射为z z平面上单位圆；平面上单位圆；等等线的左半平面线的左半平面（0）映射为映射为单位圆的外部单位圆的外部。 7-5 离散系统的稳定性与稳态误差离散系统的稳定性与稳态误差(7-75)精选课件（2 2）等）等线映射（略）线映射（略）（3 3）等）等线映射（略）线映射（略） 7-5 离散系统的稳定性与稳态误差离散系统的稳定性与稳态误差(7-76)精选课件（2)2)离散

57、系统稳定的充要条件离散系统稳定的充要条件：从离散系统的差分方程的齐从离散系统的差分方程的齐次解的收敛性，或者从次解的收敛性，或者从z z域中离散系统的特征方程的根的研域中离散系统的特征方程的根的研究得到结论。究得到结论。（1 1）离散系统的稳定性定义：）离散系统的稳定性定义：若离散系统在有界输入序列的若离散系统在有界输入序列的作用下，其输出序列也是有界，则称该离散系统是稳定的。作用下，其输出序列也是有界，则称该离散系统是稳定的。线性定常连续系统稳定的充要条件线性定常连续系统稳定的充要条件：系统齐次微分方程的解系统齐次微分方程的解是收敛的，或者系统特征方程根均具有负实部，即系统传递是收敛的，或者

58、系统特征方程根均具有负实部，即系统传递函数的极点严格均在左半函数的极点严格均在左半s s平面。平面。 7-5 离散系统的稳定性与稳态误差离散系统的稳定性与稳态误差2 2、离散系统稳定的充要条件、离散系统稳定的充要条件(7-77)精选课件（1）离散系统稳定的充要条件（时域）离散系统稳定的充要条件（时域）设：系统差分方程设：系统差分方程)() 1()()()2() 1()(01021mkrbkrbkrbnkcakcakcakcn系统齐次方程系统齐次方程0)()2() 1()(21nkcakcakcakcn设通解：设通解：kApkc)(02211nknkkkApaApaApaAp0)1 (2211n

59、nkpapapaAp012211nnpapapa02211nnnnapapap系统特征方程：系统特征方程： 7-5 离散系统的稳定性与稳态误差离散系统的稳定性与稳态误差(7-78)精选课件nppp,21设特征方程具有各不相同的特征根：设特征方程具有各不相同的特征根：0)(lim,2, 1, 1kcnipki若通解：通解：)2 , 1 , 0()(2211kpApApAkcknnkk系统稳定的充分必要条件：系统稳定的充分必要条件：当且仅当差分方程所有特征根的当且仅当差分方程所有特征根的模均小于模均小于1 1，则相应的线性定常离散系统是稳定的。即，则相应的线性定常离散系统是稳定的。即所有所有的闭环

60、极点均应分布在的闭环极点均应分布在Z Z平面的单位圆内平面的单位圆内。只要有一个在单。只要有一个在单位圆外，系统就不稳定；有一个在单位圆上时，系统处于稳位圆外，系统就不稳定；有一个在单位圆上时，系统处于稳定边界。定边界。 7-5 离散系统的稳定性与稳态误差离散系统的稳定性与稳态误差(7-79)精选课件（2）离散系统稳定的充要条件（离散系统稳定的充要条件（z域）域）G(s)(tc)(*tcH(s)(tr)(*tr)(z)(tb)(*tb)(*te)(te典型离散系统结构典型离散系统结构)(1)()()()(zGHzGzRzCz系统特征方程系统特征方程0)(1zGH假设特征方程的根（闭环极点）各不