最新与圆有关的专题综合讲义六

1、精品文档与圆有关的专题综合讲义(六)例1 如图，半径为 4的O O中直径AB垂直弦CD于E,过C作O O的切线CP交AB的延长线于 P,连接DB并 延长交CP于F,连接AC, AD , PD, OF.(1) 求证：PD是O O的切线；(2) 若E为半径OB的中点，求线段 OF的长度.精品文档例2 如图甲，O O中AB是直径，C是O O上一点，/ ABC=45 °等腰直角 DCE中，/ DCE是直角，点 D在 线段AC 上.(1) 问B、C、E三点在一条直线上吗？为什么？(2) 若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，试求 的值；0M(3) 将厶DCE绕点C逆时针旋转a ( O

2、76;< aV 90°后，记为 DiCEl (图乙)，若Mi是线段BEi的中点，Ni是线段ADi的中点，U陛=.0M例3如图1,在平面直角坐标系中，半径为4的O O交坐标轴于A、B、C、D，点P为BC上一个动点(不与 B、C点重合)连AP、BC交于点G,连FG交0B于点E.(1) 请运用圆的定义证明 C、F、P、G在同一个圆上；(2) 当P为BC的中点时，求点G的坐标；(3) 如图2,连接PD，设 PAB的内切圆半径为r,求证：】丨厂I 例4 如图，已知 BC是O O的直径，P是O O上一点，A是'的中点，AD丄BC于点D, BP与AD相交于点E.(1) 当 BC=6

3、且/ ABC=60。时，求.的长；(2) 求证：AE=BE .(3) 过A点作AM / BP,求证：AM是O O的切线.例5 如图，在 ABC中，AB=BC .以AB为直径作圆O O交AC于点D，点E为O O上一点，连接 ED并延长 与BC的延长线交于点 F.连接AE、BE, / BAE=60 ° / F=15°解答下列问题.(1) 求证：直线FB是O O的切线；(2) 若 BE=cm，贝H AC= _ cm .例6 如图(1),直线y=kx+1与y轴正半轴交于 A，与x轴正半轴交于 B，以AB为边作正方形 ABCD .(1) 若C (3, m),求m的值；(2) 如图2,

4、连AC，作BM丄AC于M , E为AB上一点，CE交BM于F,若BE=BF，求证：AC+AE=2AB ;M - rQ(3) 经过B、C两点的O Oi交AC于S,交AB的延长线于T,当O Oi的大小发生变化时，的值变吗?BT若不变证明并求其值；若变化，请说明理由.例7如图，E点为x轴正半轴上一点，OE交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点,P点为劣弧：'上一个动点，且 A (- 1 , 0), E (1 , 0).(1) 如图1,求点C的坐标；(2) 如图2,连接PA, PC.若CQ平分/ PCD交PA于Q点，当P点在运动时，线段 AQ的长度是否发生变化; 若不变求出其值，若发生变化，求

5、出变化的范围；例8 如图，直线AB的解析式为y=kx - 2k (kv 0)与x轴、y轴分别交于 A、B两点，/ ABO=60 °经过A、 O两点的O O1与X轴的负半轴交于点 C,与直线 AB切于点A .(1) 求C点的坐标；(2) 如图，过O1作直线EF / y轴，在直线EF上是否存在一点 D，使得 DAB的周长最短，若存在，求出D 点坐标，不存在，说明理由；(3) 在(2)的条件下，连接 OO1与O O1交于点G,点P为劣弧GF上一个动点，连接 GP与EF的延长线交于H点，连接EP与OG交于I点，当P在劣弧GF运动时(不与 变，求其值，若发生变化，求出其值的变化范围.与圆有关的

6、专题综合讲义（六）参考答案与试题解析1如图，半径为 4的O O中直径AB垂直弦CD于E,过C作O O的切线CP交AB的延长线于 P,连接DB并延长交 CP 于 F,连接 AC , AD , PD, OF.（1）求证：PD是O O的切线;OF的长度.考点：切线的判定与性质；等边三角形的判定与性质.分析：（1）连接OD、OC.欲证PD是O O的切线，只需证明OD丄PD即可；通过全等三角形 COP DOP（ SAS） 的对应角/ OCP= / ODP=90。来证明该结论；（2） 利用等边三角形的判定知 ODB和厶PCD均为等边三角形，然后由等边三角形的三线合一 ”的性质、 勾股定理求得 OF的长度.

7、解答：（1）证明：连接OD、OC ./ OC=OD （O O的半径），AB是直径，直径 AB丄弦CD （已知）， OE是/ COD的平分线，/ COE= / DOE ;在厶COP和厶DOP中，rOC=OD，NC0F二ND0P,OP=OP （公共边） COP DOP （SAS）,/ OCP= / ODP （全等三角形的对应角相等）;又 CP是O O的切线，/ OCP=9O ° （切线的性质），/ ODP=90 ° （等量代换），/点 D 在O O 上, PD是O O的切线；（2）解：T CD丄AB，点E是OB的中点， OD=BD ;又 OB=OD , OB=OD=BD , B

8、OD是等边三角形，/ ODB=6O °,/ ODE= / BDE=30 ° （等腰三角形的 三线合一 ”的性质），/ OD=4 , DE=OD ?sin/ DOE= 2丽, CD=2DE=4 ：.； F-；/ ODP=90 °/ CDP=60 ° PC、PD是O O的两条切线， PC=PD, PCD是等边三角形(有一内角为60°的等腰三角形是等边三角形)， CD=PD,点F是PC的中点；在Rt CDF中，CD=4近，/ CDF=30 °贝U CF=2cD=2逅(30°角所对的直角边是斜边的一半)2在 Rt OCF 中，

9、76;F=|；-门 J| (勾股定理)点评：本题综合考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质有一内角为60。的等腰三角形是等边三角形.2. 如图甲，O O中AB是直径，C是O O上一点，/ ABC=45 °等腰直角 DCE中，/ DCE是直角，点 D在线段 AC 上.(1) 问B、C、E三点在一条直线上吗？为什么？(2) 若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，试求 的值；0H(3) 将厶DCE绕点C逆时针旋转a ( O°< aV 90°后，记为 DiCEl (图乙)，若Mi是线段BEi的中点，Ni是线 段ADi的中点U二-

10、=-._ _考点：圆周角定理；平行线的判定；等腰直角三角形；相似三角形的判定与性质.分析：(I)根据直径所对的圆周角为直角得到/ BCA=90 ° / DCE是直角，即可得到/ BCA+ / DCE=90 °90 °i80 °(2)连接 BD , AE , ON ,延长 BD 交 AE 于 F,先证明 Rt BCD 也 Rt ACE ,得到 BD=AE , / EBD= / CAE ,ON= BD ,2则/ CAE+ / ADF= / CBD+ / BDC=90 °,即BD丄AE，再利用三角形的中位线的性质得到OM= AE , ON / BD

11、, AE / OM，于是有 ON=OM , ON丄OM，即 ONM为等腰直角三角形，即可得到结论；(3) 根据(2)中证明方法，禾U用四边形内角和得出BDi丄AEi,进而求出即可.解答：解：（1 ）在一条直线上.理由如下：/ AB为O O直径，/ ACB=90 ° DCE为等腰直角三角形，/ ACE=90 °/ BCE=90 °+90°=180° B、C、E三点共线.（2）连接 BD , AE , ON ,/ ACB=90 ° / ABC=45 ° BC=AC ,在 BCD和 ACE中， rAC=BCZACE二ZBCD ,l

12、EC=CD BCD ACE , AE=BD，/ DBE= / EAC,/ AEB+ / EBD=90 ° BD 丄 AE ,TO, N为中点， ON / BD , ON=丄BD ,2同理：OM / AE , OM=丄AE,2 OM 丄 ON , OM=ON , MN=VOM ,ON（3）成立.理由如下：连接 BD 1, AEi, ON 1,延长BDi交AE于点F, 和（2） 一样，易证得 BCDiA ACEi,./ EiAC= / FBC , / BDiC= / AEiC,/ EiFB+ / AEiC+Z DiBC+90 °+Z DiCB=360 ° （四边形内角

13、和定理）， 又/ AEiC+Z DiBC+ / DiCB=i80 °/ EiFB+90 °i80 °360 °Z EiFB=90 ° BDi 丄 AEi ,可得 ONiM i为等腰直角三角形， 从而有 Min iWOM i.故答案为：UE.点评：此题考查了直径所对的圆周角为直角和三角形中位线的性质；也考查了三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及旋转的性质.3. 如图1在平面直角坐标系中，半径为4的O O交坐标轴于A、B、C、D，点P为BC上一个动点(不与 B、C点重合)连AP、BC交于点G,连FG交0B于点E.(1) 请运用圆的定义证

14、明 C、F、P、G在同一个圆上；(2) 当P为BC的中点时，求点G的坐标；(3) 如图2,连接PD，设 PAB的内切圆半径为r,求证：二二考点：圆的综合题.分析：(1)取FG的中点M，连CM , PM ,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证明CM=GM=PM=FM即可；(2) 如图1,连PC.由三角形垂心的定义推知 FE丄AB .首先由全等三角形( ACG AEG )的性质知 对应边AC=AE=4"E；然后根据圆心角、弧、弦间的关系，勾股定理，等腰三角形的判定与性质求得 BE=EG=8 -4.则易求点G的坐标；(3) 如图2,作/ ABP的角平分线 BQ交PD于点Q,过点Q作

15、QM丄AP , QN丄BP,垂足分别为点 M、N 通过圆周角定理，圆周角、弧、弦间的关系推知点Q上卩为 APB的内心根据内心的定义以及正方形的判定推知四边形 MQNP为正方形，易得 PQ=&QM=r;然后根据 BPQ的外交定理，等腰三角形的 判定求得DQ=DB=4 伍，所以PD=PQ+QD=近叶4迈=逅(4+r).解答： 解：(1)如图1,取FG的中点M，连CM , PM ./ AB是O O的直径，/ ACB= / APB=90 °/ BCF= / FPB=90 ° CM=GM=PM=FM= EG，即点C、F、P、G到点M的距离相等,2根据圆的定义：圆是到定点的距离

16、等于定长的点的集合.点C、F、P、G在以点M为圆心，MC长为半径的圆上.(2)如图1,连PC.点P为弧BC的中点， POPB,/ BAP= / CAP .又 AP丄 BF , BC丄 AF , AP、BC 交于点 G,点G为厶ABF的垂心， FG 丄 AB，即 GE 丄 AB .在 ACG和厶AEG中，Nacg二ZAEG=9' ZCAGZEAG ,L AG=AG ACG 也厶 AEG (AAS ). AC=AE ./ AO 丄 OC , AO=OC=4 , AC=4 近, AE=4 . OE=AE - AO=4 - 4, BE=OB - OE=8 - 4血./ 1 = / CAB=45

17、 ° / =Z 2=45° EG=BE=8 - 4也,点G的坐标是：(4近-4, 8 -42)；(3) 证明：如图2,作/ ABP的角平分线 BQ交PD于点Q,过点Q作QM丄AP, QN丄BP,垂足分别为 点 M、N .页=盒, / 1 = / 2=45°又 BQ 平分/ ABP ,点Q即为 PAB的内心， QM=QN=r，又/ QMP= / QNP= / MPN=90 °四边形 MQNP为正方形，易得 PQ2QM2r,/ BPQ 的外角/ 5=/2+ / 3=45°+ / 3，/ DBQ= / DBO+ / 4=45 ° / 4，又

18、/ 3= / 4, / 5= / DBQ , DQ=DB=4 近, PD=PQ+QD=近+4 近=嵌 (4+r).点评：本题考查了圆的综合题其中涉及到的知识点有圆周角定理，圆的定义，圆周角、弧、弦间的关系以及全等三角形的判定与性质等注意(3)中辅助线的作法.4. 如图，已知 BC是O O的直径，P是O O上一点，A是丨的中点，AD丄BC于点D, BP与AD相交于点E.(1) 当 BC=6 且/ ABC=60。时，求二，的长；(2) 求证：AE=BE .(3) 过A点作AM / BP,求证：AM是O O的切线.切线的判定；圆周角定理；弧长的计算. ABC是直角三角(1) 首先连接OA , AB，

19、由BC是O O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可得形，又由BC=6，/ ABC=60 °即可求得O O的半径OB的长，继而求得 AB的长;" *(2) 由A是卜的中点，即可求得 K_.j-,又由在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，即可得/ ABP= / ACB，又由/ BAC=90 ° AD丄BC,易证得/ BAD= / C,则问题得证；(3) 由A是卜的中点，由垂径定理的知识，即可求得OA丄BP,又由AM / BP,即可证得 AM是O O的 切线.解答:(本题满分6分)(1) 解：连接 OA , AB ,/ BC是O O的直径，/ BAC=90 

20、6;/ ABC=60 °/ ACB=30 °/ AOB=60 °又 OB= BC= >6=3 ,2 2 AB弧的长为：匸= n(2) 证明：点 A是卜的中点,，亠，/ C=Z ABP ./ BC为O O的直径，/ BAC=90 °即/ BAD+ / CAD=90 °又 AD 丄 BC ,/ ADC=90 °/ BAD= / C ,/ ABP= / BAD , AE=BE ;(3)证明：T A是一命的中点, AO丄BP,/ AM / BP, AM 丄AO,点评：此题考查了圆的切线的判定，垂径定理，圆周角的性质以及直角三角形的性质等

21、知识此题综合性较强, 难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用.5. 如图，在 ABC中，AB=BC .以AB为直径作圆O O交AC于点D,点E为O O上一点，连接 ED并延长与BC 的延长线交于点 F.连接AE、BE，/ BAE=60 ° / F=15 °解答下列问题.(1) 求证：直线FB是O O的切线；(2) 若 BE=fjcm , 贝H AC= _2cm.考点：切线的判定. 专题：压轴题. 分析：解答:(1)证明：T AB是O O的直径,(1) 欲证明直线 FB是O O的切线，只需证明 AB丄FB;(2) 通过解直角 AEB求得AB的长度；然后在等腰直角 ABC

22、中，根据勾股定理来求斜边 AC的长度即 可.AEB=90 °BAE=60 °ABE=30 °ADE= / ABE=30 °FDC= / ADE=30 ° F=15°,ACB= / F+ / FDC=45 °又在 ABC 中，AB=BC , / ACB= / CAB=45 ° / ABC=90 ° 即 AB 丄 FB .又 AB是直径，直线FB是O O的切线；/ AB= 丄 一 =2 (cm).sin60° V3(2)解：在直角 AEB 中，BE= ；cm，/ BAE=60 °在 ABC

23、 中，/ ABC=90 ° AB=BC , AB=2cm，贝U AC=VAB=2 血cm. 故答案是：2:.点评：本题考查了切线的判定、解直角三角形.要证某线是圆的切线， 已知此线过圆上某点，连接圆心与这点(即为半径)，再证垂直即可.6. 如图(1),直线y=kx+1与y轴正半轴交于 A，与x轴正半轴交于 B，以AB为边作正方形 ABCD .(1) 若C (3, m),求m的值；(2) 如图2,连AC，作BM丄AC于M , E为AB上一点，CE交BM于F,若BE=BF，求证：AC+AE=2AB ;A Q £(3) 经过B、C两点的O Oi交AC于S,交AB的延长线于T,当O

24、 Oi的大小发生变化时，的值变吗？若 不变证明并求其值；若变化，请说明理由.考点：一次函数综合题.专题：综合题.分析： (1)作CE丄x轴于E,可证 OAB EBC，再根据线段相互间的关系即可求出CE的长，即m的值;(2) 作GE丄x轴于G,可以通过先求出 AE与EB的关系，证明结论；酿-(3) 连接CT, ST , ST交BC于M ,可知的值为45 °余弦的倒数，从而求解.ET解答：怖M叮>解：(1)作CE丄x轴于E,易证 OAB EBC, OB=OE - BE=3 - OA=2 , CE=2，即 m=2 ;(2)作GE丄x轴于G,/ BE=BF ,/ 1 = / 2,/ 2

25、= / MFC，/ MFC+ / 3=90° / 4+/ 1=90 °/ 3= / 4, EG=GB,AE2EB , AC= >AB ,/ AE+EB=AB , AE= (2-竝 AB , AC+AE=2AB ;(3) 连接 CT, ST , ST 交 BC 于 M ,贝U AS=TS , SC=SM , / STA=45 ° AS - CS=MT , AAC S _丄1=历祈l BT COS45°MT故_ CS的值不变.BT点评：考查了一次函数综合题，考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理和三角函数 的知识，难度较大.7.

26、如图，E点为x轴正半轴上一点，O E交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，P点为劣弧I二上一个动点, 且 A (- 1 , 0), E (1, 0).(1)如图1,求点C的坐标;V*JA i 0E¥兀j丿圉1(2)如图2,连接PA, PC.若CQ平分/ PCD交PA于Q点，当P点在运动时，线段 AQ的长度是否发生变化; 若不变求出其值，若发生变化，求出变化的范围；(3) 如图3，连接PD，当P点在运动时(不与B、C两点重合)，给出下列两个结论：丄_丄的值不变，PAPO的值不变，其中有且只有一个是正确的，请你判断哪一个是正确的，并求其值.垂径定理；全等三角形的判定；勾股定理；圆周角定

27、理.动点型.(1)连接EC,则EC=EA=2，然后利用勾股定理就可求出0C的长，从而求出点 C的坐标;(2)不发生变化，连接 CB，利用等弧所对的圆周角相等可证明AQ=AC , AC是一个固定值，所以不发生变化再利用勾股定理就可求出AC的长即是AQ的长；(3) 要想知道哪个结论正确就要都证明一下，通过证明可知1正确.证明的时候利用三角形的全等来证明.解答： 解：(1)连接EC,则EC=EA=2 ,/ 0E=1 ,(2)不发生变化./ ACQ= / ACO+ / OCQ，/ AQC= / CPA+ / PCQ,/ CQ 平分/ PCD，则/ PCQ= / OCQ,贝ACQ= / AQC，得 AQ=AC=2 ;(3) 结论不变，在PD的延长线上截取 DM=PC，贝U PC+PD=PM , 连接 AM，可证 PAC MAD，得 MA=PA , / MAP= / DAC=120 ° 则厶PAM是以30°为底角的等腰三角形，点评：本题综合考查了圆的有知识，以及全等三角形的判定所以学生学习时一定要会把所学的知识灵活的运用 起来.&如图，直线AB的解析式为y=kx - 2k ( k v 0)与x轴、y轴分别交于 A、