2018版高中数学苏教版选修2-2学案：1.5.3微积分基本定理

1、 1.5.3 微积分基本定理 学习目标】1直观了解并掌握微积分基本定理的含义 2 会利用微积分基本定理求函数的积 分. 问题导学 知识点一微积分基本定理(牛顿一莱布尼茨公式) 思考 1 已知函数 f(x)= 2x+ 1, F(x)= x2 + X,则?J(2x + 1)dx 与 F(1) F(0)有什么关系？ 思考 2 对一个连续函数 f(x)来说，是否存在唯一的 F(x),使得 F (x)= f(x)? 1 .微积分基本定理 对于被积函数 f(x),如果 F (x)= f(x)，那么？?f(x)dx = _ ，即?aF (x)dx= _ 知识点二 定积分和曲边梯形面积的关系 思考 定积分与曲

2、边梯形的面积一定相等吗?新知探究点点落实 b x a (7)?aa dx= (a0 且 a 丰 (ba0). 设曲边梯形在x轴上方的面积为 S上，在 x轴下方的面积为 S下，则 (1) 当曲边梯形在 (2) 当曲边梯形在 当曲边梯形在 x轴上方、x 轴下方均存在时，如图，则 ？!f(x)dx = _ .特别地, 若 S 上=S下，则？f(x)dx= _ 题型探究 反思与感悟 (1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数, 当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解; (2)被积函数会有绝对值号，可先求函数的零点，结合积分区间、分段求解. 跟踪训练 1 (1)计算定积

3、分？1(X2+ sin x)dx= 1 + 2x, 0w x 1, X2, 1xw 2, 类型二利用定积分求参数 例 2 已知 2 ?1(kx+ l)dxw 4,则实数 k 的取值范围为 _ . 设函数 f(x)= ax2 + c(az 0) 若?of(x)dx= f(xo), 0 xw 1，则 xo 的值为 _ . 反思与感悟 (1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积 分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提. (2)计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数 f(x)、积分上限与积分下限、 区间与函数 F(x)等概念. 2 2 (2)?o|1 x |

4、dx= _ 2 ？2X* 2+ X+ 1 x cos xdx = 重点难点个个击破 已知 f(x)= 求?0f(x)dx. 积分 x 轴上方时，如图，则 x 轴下方时，如图，则 跟踪训练 2 (1)已知 x (0,1 , f(x)= ?(1 - 2x+ 2t)dt，则 f(x)的值域是 _ 已知?)(3ax+ 1)(x+ b)dx = 0, a, b R，试求 ab 的取值范围. 类型三利用微积分基本定理求面积 例 3 求由曲线= x, y= 2-x, y=- x所围成图形的面积. 33.已知 f(x) = ax2 + bx+ c(a丰 0)，且 f( 1) = 2, f (0) = 0, ?

5、of(x)dx= 2.求 a, b, c 的值. 回 特录 91 淘傑(www.91 , iVt 名师箱 i#课程 微积分基本定理 交点的坐标，定出积分上、下限，若积分变量选 x 运算较繁琐，则积分变量可选 y,同时要 更换积分上、下限. 跟踪训练 3 (1)如图，阴影部分由曲线 y= -, y2= x 与直线 x= 2, y= 0 所围成，则其面积为 X 求由曲线 y= x2，直线 y= 2x 和 y = x 围成的图形的面积. 达标检测 当堂检测巩固反谯 a i 1.若？i(2x+ -)dx= 3 + In 2，贝 U a = _ x 反思与感悟 两条或定要确定图形范围，通过解方程组求出

6、回 3.已知 f(x) = ax2 + bx+ c(a丰 0)，且 f( 1) = 2, f (0) = 0, ?of(x)dx= 2.求 a, b, c 的值. - n 4x 2 n 0 xw 2， 4.已知 f(x)= 计算？of(x)dx. n cos x, 2 0 恒成立时，定积分与曲边梯形的面积相等，若被积函数 f(x) 0 不 恒成立，则不相等. (1)S 上(2) S 下 (3)S 上 S 下 0 题型探究 例 1 (1)e (2)2 (3)4+ In 2 sin 2 + sin 1 解析 (1)?0(2x+ ex)dx= (x2 + ex)|0= (1 + e) 1 = e. 1 x2, 0 w x 1, = 2 x2 1, 1x 2. ?2|1 x2|dx= ?o(1 x2)dx + ?1(x2 1)dx 2 2 =(x + x+ In x sin x)h =6 + In 2 sin 2 (2 sin 1) =4 + In 2 sin 2+ sin 1. 2 跟踪训练 1 (1)3 答案精析 (2)|1 x2| = 2 7 =3+31=2 2 2x + x+ 1 x =?2(2x + 1 +1 - cos