函数的单调与曲线的凹凸实用教案

1、函数函数(hnsh)的单调性的单调性曲线曲线(qxin)的上升的上升和下降和下降函数的凹凸性函数的凹凸性曲线的弯曲方向曲线的弯曲方向用用一阶一阶导数研究导数研究用用二阶二阶导数研究导数研究第1页/共23页第一页，共24页。yoxyf (x)若函数若函数 yf (x) 在在a, b上单调上单调(dndio)增增加，加，则它的图形是一条则它的图形是一条(y tio)沿沿x轴正向上升轴正向上升的曲线。的曲线。ab则曲线上各点处切线的斜率则曲线上各点处切线的斜率是非负是非负的，的，即即若函数若函数 yf (x) 在在a, b上上单调减少单调减少，则它的图形是一条沿则它的图形是一条沿x轴正向轴正向下降下

2、降的曲线的曲线。ab则曲线上各点处切线的斜率则曲线上各点处切线的斜率是非正是非正的，的，即即第2页/共23页第二页，共24页。反之，若函数在某区间反之，若函数在某区间(q jin)可导，能否用导数的符号来可导，能否用导数的符号来判定函数的单调性呢？判定函数的单调性呢？答案答案(d n)是肯定的。是肯定的。讨论讨论(toln)：设函数设函数f (x)在在a, b上连续，在上连续，在(a, b)上可导，上可导，在在a, b上任取两点上任取两点x1，x2 （不妨设（不妨设x1x2)由由Lagrange中值定理中值定理得到：得到：( )0fx若在若在(a, b)内导数始终内导数始终( ) 0f210

3、xx又 若在(a, b)内( )0fx则12 , ,xxa b有12( )()f xf xf (a)=0.例例 6 证明 当 x1 时 xx132 例6 证明(zhngmng) 第9页/共23页第九页，共24页。 因为当x1时 f (x)0 所以f(x)在1 )上f(x)单调(dndio)增加因此(ync)当x1时 f(x)f(1)=0 即第10页/共23页第十页，共24页。 函数函数(hnsh)(hnsh)曲线除了有升有降之外曲线除了有升有降之外, , 还有不同的弯曲还有不同的弯曲方向方向, , 如何根据函数如何根据函数(hnsh)(hnsh)本身判断函数本身判断函数(hnsh)(hnsh)

4、曲线的曲线的弯曲方向呢？弯曲方向呢？第11页/共23页第十一页，共24页。v曲线(qxin)的凹凸性定义 设f(x)在区间(q jin)I上连续 如果对I上任意两点x1 x2 恒有 那么(n me)称f(x)在I上的图形是凹的 那么称f(x)在I上的图形是凸的 如果恒有 观察与思考 观察切线斜率的变化与曲线凹凸性的关系第12页/共23页第十二页，共24页。v定理(dngl)2(曲线凹凸性的判定法) 设f(x)在a b上连续 在(a b)内具有二阶导数(do sh). 若在(a b)内f (x)0 则f(x)在a b上的图形是凹的 若在(a b)内f (x)0 则f(x)在a b上的图形是凹的

5、若在(a b)内f (x)0 则f(x)在a b上的图形是凸的 例7 判断(pndun)曲线yln x 的凹凸性 因为在函数 yln x 的定义域(0 )内 y0 所以曲线yln x是凸的 解 xy1 21xy 第15页/共23页第十五页，共24页。 例8 判断(pndun)曲线yx3的凹凸性 解 y3x 2 y6x 由y0 得x0. 因为当x0时 y0时 y0 所以曲线在0 )内是凹的 设f(x)在a b上连续 在(a b)内具有二阶导数(do sh). 若在(a b)内f (x)0 则f(x)在a b上的图形是凹的 若在(a b)内f (x)0 在区间( )内曲线(qxin)是凹的 因此曲线(qxin)无拐点 例 6 求曲线3xy的拐点 例12 解 二阶导数无零点; 当x0时, 二阶导数不存在(cnzi) 因