闫伟杰_20121014305_矩阵对角化的方法及相关应用

1、河南科技学院 2016届本科毕业论文论文题目：矩阵对角化的方法及相关应用学生姓名： 闫伟杰 所在院系： 数学科学学院 所学专业： 数学与应用数学 导师姓名： 李巧萍 完成时间： 2016年5月10日 摘 要在古代，著名的著作九章算术中已经有类似于矩阵的运用，虽然没有给出具体的定义但这种思想极大地推动了我国数学的发展，使我国古代数学在数学发展史上占有一席之地。如今，矩阵作为数学学科中的基础理论,其理论的重要性不言而喻，在实际生活中也是必不可少的工具。对角矩阵作为较简单的矩阵之一，无论是探索矩阵本身还是实际应用都有很深的研究价值。考虑到本文的阅读对象，因此在理论上不做过多的推导，而是侧重于介绍三对

2、角矩阵、分块对角矩阵的应用以及矩阵对角化的方法及其应用。文章通过结合理论与实际来展开阐述，通过讲述追赶法求解三对角方程组、利用矩阵的特征值、特征向量求解矩阵和在工业与环境等方面应用的例子来表明矩阵对角化的重要性。关键词：对角矩阵,三对角矩阵，矩阵对角化,特征值,特征向量AbstractIn ancient times, there existing similar using of matrix in the famous work,“Nine Chapters On The mathematical Art” although it didnt give a concrete definit

3、ion , this kind of thought has greatly promoted the development of mathematics in our nation, which made the ancient mathematics had a place in the history of mathematics development. Nowadays, matrix, as the fundamental theory in mathematics, the importance of the theory is self-evident,and it is a

4、lso a indispensable tool in actual life.Diagonal matrix,as one of the simple matrix, which has a deep research and practical application value.Considering the reading object of this article, therefor,it has no too much derivation in theory,but focuses on introduction of tridiagonal matrix ,the appli

5、cation of block diagonal matrix and matrix diagonalization method and its application.By combining theory with practice to give discussion, by telling chase-after method to solve tridiagonal equations, based on the matrix eigenvalue and eigenvector of solving matrix and application in industrial and

6、 environmental aspects such as examples to show the importance of matrix diagonalization.Keywords：Diagonal matrix, Tridiagonal matrix, Matrix diagonalization,Eigenvalue,Eigenvector I目 录摘要.IAbstract.II目录.III1引言.12对角矩阵.12.1 对角矩阵.12.2 对角矩阵运算及性质.22.3 对角矩阵的简单应用.33矩阵对角化的条件与方法.6 3.1常用的充要条件.63.2最小多项式法.64矩阵对

7、角化方法的应用.74.1矩阵的相关计算.74.2探究矩阵性质.94.3利用矩阵对角化求数列的通项公式.104.4矩阵对角化在其他方面的应用.13总结与展望.15参考文献.16致谢.17II1引言在中学课程中，我们都已经接触到二元一次方程、三元一次方程的解的问题，并对它们有详细的学习，但是当我们遇到一个未知量比较多，或者未知量的个数大于方程的个数的时候我们似乎就无能为力了。正是基于这样的问题，就产生了矩阵的雏形,随后经过一代又一代的数学人不停的探索，最终借助于矩阵将一个多元线性方程组的解的情况，以及不同解之间的关系等一系列理论上的问题，得到彻底的解决。如今，随着科学计算的迅猛发展，特别是计算机的

8、发展，使得矩阵在数学中逐步进入核心地位。通常情况下,我们都会从最简单的东西入手,由易到难,由浅入深循序渐进的来展开对某一问题或某一类问题的研究,而对角矩阵作为矩阵中较简单的矩阵之一，有着极大的研究价值。对对角矩阵的研究无论是在理论上还是在实践中都有着非常重要的意义,借助对角矩阵的理论和性质,可以帮助我们来更好地研究矩阵。将普通的矩阵转化为对角矩阵，即矩阵对角化。所谓矩阵可对角化指的是矩阵与对角阵相似。通常意义下的矩阵与对角矩阵有什么关系？能否将任意的矩阵转化为对角矩阵？能转化为对角矩阵的矩阵应该具备什么样的条件或性质？这些理论在我们的实际生活中有怎样的应用？这都是我们要思考的。本文主要的目的就

9、是阐述矩阵可对角化的条件以及如何应用可对角化的相关性质将矩阵化为对角形，同时给出它在相关方面的运用来凸显其重要性。2对角矩阵对角矩阵虽是矩阵中最简单的一种,但仍有很大的研究价值。本节将给出一般的对角矩阵和特殊对角矩阵(三对角矩阵和分块对角矩阵)的定义以及常用的特性，但并不做过多的证明。2.1 一般的对角矩阵对角矩阵的定义：我们把形如的矩阵称为对角矩阵，记：1。例如： 等都为对角矩阵。特殊对角矩阵:除了以上所定义的简单对角矩阵外,我们在实际问题中还会遇到稍微复杂的三对角矩阵、准对角矩阵。下面就给出三对角矩阵和分块对角矩阵的定义，还会给出三对角矩阵和准对角矩阵的应用。三对角矩阵的定义: 若矩阵的非

10、零项位于由主对角线及其之上的一条对角线与其之下的一条对角线组成的带内，如下式：则称矩阵为三对角矩阵此时有 ()2。准对角矩阵的定义： 形如：的矩阵，其中是矩阵，通常称为准对角矩阵，当然准对角矩阵包括对角矩阵作为特殊情形3。2.2 对角矩阵运算及性质2.2.1 对角矩阵的运算1为对角矩阵,则矩阵的一些线性运算运算如下:(1) 矩阵加法(减法)为对角线上对应元素相加(相减):(2) 矩阵乘法为对角线元素对应相乘：(3) 准对角矩阵的加法（减法）： 若矩阵与矩阵为同级的分块对角矩阵则： ， 他们仍为对角矩阵。2.2.2 对角矩阵的性质对角矩阵有如下的性质：(1) 对角矩阵的和、差、积仍为对角矩阵1。

11、(2) 对角矩阵为阶方阵。(3) 对角矩阵的秩等于对角线上非零元素的个数。(4) 若矩阵为对角矩阵，即，且，则矩阵存在逆矩阵1。(5) 若矩阵为对角矩阵，即，则矩阵的特征值为对角线上的元素，并且特征向量为单位向量1。(6) 若矩阵，其中当，则与可交换的矩阵只能是对角矩阵4。(7) 若矩阵为对角矩阵,则有5。(8) 若矩阵为可逆矩阵，那么矩阵的逆矩阵为4。2.3 对角矩阵的简单应用2.3.1 利用分块对角矩阵求解矩阵的逆4例2.1 ，其中与都可逆，求。证明：由及容易得到,。例2.2 ，设可逆，可逆，试证明存在，并求。证明：由而右端仍可逆，故存在。再由例2.1可知:例 2.3设，其中当,是级单位矩

12、阵，证明：与可交换的矩阵只能是准对角矩阵，其中是级矩阵。证明：设与可交换，其中与分块方式相同，则有由于互异，比较比较非对角块元素得，即，于是因此与可交换的矩阵是对角矩阵。同时在性质6作为本例的特殊形式可以采用同样的方法证明。2.3.2 求解三对角方程组三对角矩阵在线性代数、计算数学、组合数学以及应用数学中有广泛的应用,所以三对角矩阵的研究一直受到人们的关注，有很多关于它的研究，这里将介绍采用追赶法求解三对角矩阵方程组。追赶法：给定 （三对角方程组）且按照严格对角占优：利用高斯消去法，经过次消元，可将它化简为同解的方程组易知 ， 。再利用会代过程求出方程组的各变量， ，这一逆序求变量的过程（即回

13、代过程）称为赶6。例2.4 用追赶法求解方程组 7。解：采用追赶法最后可得到， 。3矩阵对角化条件矩阵对角化在整个高等代数的学习中有非常广泛的应用，并且在实际工程中也有较多的应用。因此判断矩阵是否可以对角化以及研究矩阵对角化的条件就显得额外重要，那么本节就介绍一些常用的矩阵对角化的充要条件和方法。论文以大家已经掌握必要理论为基础，所以不再对结论性问题作出证明。 3.1 常用的充要条件矩阵可对角化的条件：(1) 矩阵可以转化为对角矩阵当且仅当有个线性无关的特征向量;(2) 矩阵可以转化为对角矩阵当且仅当的特征子空间的维数为;(3) 矩阵可以转化为对角矩阵当且仅当的初等因子全是一次的8;(4) 矩

14、阵可以转化为对角矩阵当且仅当的最小多项式没有重根9。3.2 最小多项式法9 一般情况下，我们可以判断矩阵是否有个线性无关的特征向量，但在实际应用中往往比较复杂。但利用最小多项式会将问题由难转易。 对于给定的矩阵,假如有多项式,使得是。我们就称以为根，为的零化多项式（一般取首项系数为1），其中，次数最低的零化多项式称为的最小多项式。我们最小多项式的有关结论：（1）任意的阶矩阵都存在最小多项式；（2）阶矩阵的任意零化多项式都可以被其最小多项式整除；（3）矩阵都存在最小多项式的根必是的特征值，反之，的特征值也是的最小多项式的根；（4）矩阵可以对角化的充要条件是的最小多项式没有重根。例3.1证明：如果

15、则相似于对角矩阵。证明:由,知为多项式的根,即.因的最小多项式,而没有重根,所以没有重根,故有上(3)可知:与矩阵相似。4矩阵对角化方法的应用可对角化矩阵具备很好的特性,并且矩阵对角化的方法在理论研究和实际应用中有着重要的意义。本节将给出矩阵对角化方法的一些应用。 4.1 矩阵的相关计算4.1.1 利用特征值求行列式的值 利用矩阵与对角阵相似可简化方阵的计算，或者利用特征值。例 4.1设是阶方阵的个特征值，为单位矩阵，求解。解：已知阶方阵有个互异的特征值，故存在可逆矩阵使得 例4.2 已知3阶矩阵的特征值为1，1，2，设矩阵 试求：，。解：因为矩阵有不同的特征值1，1，2，所以存在非奇异矩阵使

16、得；则：4.1.2 求方阵的高次幂一般来说，直接求方阵A的高次幂比较困难。此时对角化对矩阵的计算的简化作用就凸显出来了。实际上,若有,其中即有,故例4.3设,求。解:由,得的特征值，则特征值对应的特征向量为: ，,;所以=4.1.3 由特征值与特征向量反求矩阵例 4.4 已知矩阵的特征值为1，-1,0；对应的特征向量为,求。解:取,由知矩阵A有三个线性无关的特征向量,所以,则例4.设3阶实对称矩阵的特征值为对应于的特征向量为，试求矩阵。解：设对应于特征向量为,则由对称矩阵的性质可以得出：，可以求出,它们即是对应于的特征向量，他们彼此也是正交，再单位化得4.2 探究矩阵的性质矩阵相似：设与为数域

17、上的两个级矩阵，如果存在数域上的级非奇异矩阵，使得,则称相似于；记为。并称为相似变换矩阵10。1) 性质:a. 反身性 ，即任意矩阵与它自己相似；b. 对称性 若相似于，则也相似于；c. 传递性 若，则。2) 等价不变量：矩阵的秩和特征值。即相似变换不改变矩阵的秩和矩阵的特征多项式10。3) 等价类：全体级矩阵按照矩阵相似可以分为类,每一选取该类矩阵的标准型作为标准元4。4) 相似对角化的初等变换法如果矩阵有个线性无关的特征向量，则存在非奇异矩阵使得，而,于是,即将单位矩阵放在矩阵的下边构造分块矩阵，对分块矩阵进行相似变换(行列互逆的初等变换)，当上面的矩阵变为对角矩阵的时候，下面即是相似变换

18、矩阵，而上面的对角矩阵中对角线上的元素即是矩阵的特征值，矩阵的个列向量即是矩阵的的个线性无关的特征向量。例 4.8设矩阵有个不同的特征值,假如矩阵与特征值相同,求证。证明:由于矩阵的个特征值不相同,可以假设为,于是有可逆矩阵,使得;又也是的特征值,从而存在可逆矩阵,使得,则有,因此,令,则可逆且。例 4.9 分析下列矩阵是否相似:。解：解法一:由题意可知矩阵的特征值都是,其中已是对角矩阵,所以只需要判别能否对角化.由的特征值的特征征向量为,并且是二重特征根,但其只有一个特征向量,故矩阵不可以对角化。对于矩阵的特征值，对应的特征向量为：，而且这三个特征向量是线性无关的，所以矩阵可以对角化，所以与

19、相似。解法二:这里仅对矩阵与矩阵是否相似利用性质5)给出如下证明：因此矩阵与矩阵是否相似，并且为相似变换矩阵。4.3 利用矩阵对角化求数列的通项公式11设阶的线性循环数列,满足循环方程:其中为常数,且.方程组;可以表示为矩阵的形式:令则式可以写成有上式递推得。这样求就归结为求解,也就是求解.假设矩阵可以对角化,即存在可逆矩阵使得为对角矩阵,则:由于消去得到从最后一列展开可以得到又因为,因此的特征值一定非零,如果是的特征值,则方程的解向量就是相对应特征值的特征向量.所以,假如矩阵有个互异的特征值,由不同特征值对应的特征向量是线性无关的可知，由这个特征向量为列向量所组成的矩阵是可逆的,并且,对角线

20、上的元素为矩阵的特征值,所以就可以得出中的,进而可以求出,再由式求出,这样就求出线性循环方程的通项公式。例 4.11已知且数列的通项满足：求通项公式。解：由题意可得方程组如下：令由上式的递推关系可知：，由，解出则对应的特征向量分别为，记，那么： ，=所以可以得到：=。例 4.12 计算n阶行列式。解：由题意可知：,，则当时，按照第一列展开可以得到：,记,由。即，则对应的特征向量分别为记，那么由递推公式可得：。4.4 矩阵对角化在其他方面的应用4.4.1 在环境与工业方面的应用随着我国经济的高速发展，我国的建材消费，能源消费，空气污染排放，水污染排放都排在世界前列。我国正在构建社会主义和谐社会，

21、我们绝不能走西方国家“先污染，后治理”的老路，应该把环保放在一个重要位置。下面给出矩阵对角化在环境与工业中的应用。例 4.13某地区提出如下的增长模式，以四年为一个周期，令和为第个周期后的污染损耗和工业产值，则此增长模型为：如果目前的污染损耗为11亿元，工业产值为19亿元。试分析该地区怎样更好的处理环境与工业的关系。解：令，由增长模型可知：，所以有，的特征值为相对应的特征向量为，又有可得：当时，污染损耗，工业产值，不但经济出现负增长，照此发展下去，环境污染也会越来越严重。所以该地区在第3个增长周期后要改变现在的发展模式，采取新的增长模型。在MATLAB命令窗口输入以下命令：>>B=

22、8/3,-1/3;-2/3,7/3;format rat>>P,D=eigAMATLAB执行结果： P= 1 1 2 -1 D= 2 0 0 1在MATLAB命令窗口输入以下命令：>>syms n %定义符号变量>>P*2N,O;0,1*P(-1)*P*10;1MATLAB执行结果：Ans= 10*2n+3n 20*2n-3n4.4.2 在解常微分方程方面的应用例 4.14 求解线性微分方程组 。解：令 ，则方程的矩阵形式为若可对角化，即存在可逆矩退化矩阵使得：，令,其中，则可化为即所以所以：，经过积分可以得到代入求得微分方程组的解。 4.4.3 在线性空间

23、中的应用例4.15 设是维列向量空间，是阶复矩阵，是任意复数，令,则若相似于对角矩阵，有。证明：对任意,有和，所以，又因为相似于对角矩阵，由此可知与的解空间相同，所以即=0，所以。总结与展望对角矩阵作为代数学乃至各学科一种简单、基础、有效的计算证明工具，其应用非常广泛。本文在定义对角矩阵并说明其相关性质的基础上，介绍了一些矩阵对角化常用的充要条件，本文还介绍最小多项式法；有关矩阵对角化方法的应用，除了本文所提到矩阵对角化在求实递推式的通项，综合考虑环境与工业中的应用外，在微积分与信号处理等问题中也大量出现，如对角化方法在向量非线性积分微分方程Robin边值问题中的应用等。对于矩阵对角化方法及其使用，还有很多方向值得研究与学习，但是由于篇幅及知识结构的问题，并没有被纳入本文的讨论范围。以后如有机会，仍值得更为深入的学习与研究。参考文献1