机械振动5多自由度系统10-11有阻尼

1、2021-12-16振动力学12021-12-16振动力学2任何实际的机械系统都不可避免的存在着阻尼因素任何实际的机械系统都不可避免的存在着阻尼因素材料的结构阻尼，介质的粘性阻尼等材料的结构阻尼，介质的粘性阻尼等 由于各种阻尼力机理复杂，难以给出恰当的数学表达。由于各种阻尼力机理复杂，难以给出恰当的数学表达。 在阻尼力较小时，或激励远离系统的固有频率时，可以忽略在阻尼力较小时，或激励远离系统的固有频率时，可以忽略阻尼力的存在，近似地当作无阻尼系统。阻尼力的存在，近似地当作无阻尼系统。 当激励的频率接近系统的固有频率，激励时间又不是很短暂当激励的频率接近系统的固有频率，激励时间又不是很短暂的情况

2、下，阻尼的影响是不能忽略的。的情况下，阻尼的影响是不能忽略的。 一般情况下，可将各种类型的阻尼化作等效粘性阻尼。一般情况下，可将各种类型的阻尼化作等效粘性阻尼。 2021-12-16振动力学3有阻尼的有阻尼的 n 自由度系统的强迫振动方程为：自由度系统的强迫振动方程为： nRq阻尼矩阵阻尼矩阵元素元素 cij 阻尼影响系数阻尼影响系数物理意义：是使系统仅在第物理意义：是使系统仅在第 j 个广义坐标上产生单位速度而个广义坐标上产生单位速度而相应于第相应于第 i 个坐标上所需施加的力个坐标上所需施加的力 阻尼力为广义速度的线性函数阻尼力为广义速度的线性函数 表示为：表示为： jnjijdiqcQ1

3、阻尼矩阵一般是正定或半正定的对称矩阵阻尼矩阵一般是正定或半正定的对称矩阵 )(tFqKqCqM 2021-12-16振动力学4有阻尼的有阻尼的 n 自由度系统的强迫振动方程为：自由度系统的强迫振动方程为： )(tFqKqCqM nRq假定无阻尼系统下的正则模态矩阵假定无阻尼系统下的正则模态矩阵u及其模态刚度矩阵及其模态刚度矩阵作坐标变换：作坐标变换：uq )(tTTTTFuuKuuCuuMu有：有：即：即：)(tpNC uCuCTp其中：其中：模态阻尼矩阵模态阻尼矩阵虽然模态质量矩阵与模态刚度矩阵是对角阵，但虽然模态质量矩阵与模态刚度矩阵是对角阵，但模态模态阻尼矩阻尼矩阵一般非对角阵，因而正则

4、坐标阵一般非对角阵，因而正则坐标 下的强迫振动方程仍然存下的强迫振动方程仍然存在耦合。在耦合。 2021-12-16振动力学5111102111u 00000000cCcccccccccTPuCuCmmm000000MmmmT300020006uMukkkkkkk30203KkkkT1200060006uKu 非对角矩阵非对角矩阵 例如：三自由度系统例如：三自由度系统c2kmmmk2kkx1x2x32021-12-16振动力学6若若 非对角，则前面在无阻尼系统中介绍的主坐标方法或非对角，则前面在无阻尼系统中介绍的主坐标方法或正则坐标方法都不再适用，振动分析将变得十分复杂。正则坐标方法都不再适用

5、，振动分析将变得十分复杂。PC为了能沿用无阻尼系统中的分析方法，工程中常采用下列为了能沿用无阻尼系统中的分析方法，工程中常采用下列近似处理方法近似处理方法 。（1） 将矩阵将矩阵 C 假设为比例阻尼假设为比例阻尼 假定假定 C 有下列形式：有下列形式： KMCbaa, b：为常数：为常数 代入代入uCuCTp中中IuKMuCbabaTp)(对角阵对角阵 nitNciiPi1),(2 或运动方程变为：运动方程变为： )(tpNC 2iPibac2021-12-16振动力学7iiipiibac222得：得：令：令：iipic2称称 i 为为振型比例阻尼振型比例阻尼。若若a=0, 有：有：iib2意

6、味着各个意味着各个振型振动中，阻尼正比于该振型对应的固有频率振型振动中，阻尼正比于该振型对应的固有频率。若若b=0, 有：有：iia2意味着各个意味着各个振型振动中，阻尼反比于该振型对应的固有频率振型振动中，阻尼反比于该振型对应的固有频率。nitNciiPi1),(2 2iPibac2021-12-16振动力学8pnpPcc1C则n 自由度系统运动方程变为：自由度系统运动方程变为： iiPic2并令：这一方法有很大的实用价值 ，一般适用于振型比例阻尼 i 不大于0.2的弱阻尼系统。若系统阻尼较大，不能用振型矩阵使方程解耦，即阻尼矩阵不能对角化，有其它方法解决，但超出本课程范围。(2) 当阻尼比

7、较小的时候，忽略当阻尼比较小的时候，忽略 矩阵中的全部非对角元素矩阵中的全部非对角元素 PCnitNiiiiiii1),(22 2021-12-16振动力学9假设粘性阻尼系统的微分方程中的阻尼矩阵C可以对角化， 5.11 有阻尼系统对任意激励的响应有阻尼系统对任意激励的响应 振型叠加法振型叠加法pnpPcc1C则n 自由度系统运动方程变为：自由度系统运动方程变为： iiPic2并令：), 2 , 1(2)()(niiiTiiCuu其中，), 2 , 1()()()(nittNTiiFunitNiiiiiii1),(22 下面对几种激励分别讨论 2021-12-16振动力学10假设激励为 )1(

8、,202nieNtiiiiiiii 1. 有阻尼系统对简谐激励的响应有阻尼系统对简谐激励的响应ttsin)(0FF将运动方程写成复数形式：运动方程写成复数形式： ), 2 , 1()(0niNTii0Fu式中，则正则坐标的稳态响应： )1(,)()()(20nieHNtitiiiii,)2()1 (1)(222iiiiH式中，,12arctan2iiii,ii正则坐标的放大因子 相位角 频率比 2021-12-16振动力学11正弦激励下正则坐标的稳态响应： )(20)(Im)(itiiiiieHNt)sin()2()1 (22220iiiiiitN原广义坐标的稳态响应： niiitt1)()(

9、)(uqniiiiiiTiit122220)()()sin()2()1 (Fuu的振幅会很大。时接近当激励频率可以看出iii, 1,尼系统类似。共振现象与单自由度阻个共振频率，但有n个共振现象。共有n2021-12-16振动力学12假设各坐标上作用的激励周期相同，则 )1(, )sincos(2)(10nitjbtjaatNjijijii2. 有阻尼系统对周期激励的响应有阻尼系统对周期激励的响应节公式计算。可由第式中，7 . 3,0ijijibaa把激励各简谐分量所引起的系统稳态响应分别求出，再叠加： 102)sin()cos( )(21)(jijijijijijiiitjbtjajHat,)

10、2()1 (1)(2222iiiijjjjH式中，,12arctan22iiiijjj,ii的周期也相同。)(tiN进行傅里叶级数展开：将)(tiN2021-12-16振动力学13原坐标的系统稳态响应： )()(1)(ttiiinuqnijijijijijijiiitjbtjajHa1102)()sin()cos( )(2u从i表达式可以看出，任意阶正则坐标的响应是由各个不同 频率激励引起的响应叠加而成，因而就一般周期性激励函数 而言，产生共振的可能性要比简谐激励大得多，很难预料各 阶振型中哪阶振型将受到激励的强烈影响而共振。 但当激励函数展开成傅里叶级数后，可以将每个激励频率 j和每个固有频

11、率 i 相比较，从而预先推测出强烈振动所在。2021-12-16振动力学14对于外力是一般随时间变化的激励，解耦的微分方程为： 3. 有阻尼系统对任意激励的响应有阻尼系统对任意激励的响应ttetdidiiiiidiitiiisincos)(000,12iidi式中，,0)(0MquTiinitNtttiiiiiii1),()()(2)(2 得正则坐标的响应为： tditididteNii0)()(sin)(1对初始条件的响应 杜哈梅积分 .0)(0qMuTii原坐标的响应为： )()(1)(ttniiiuq2021-12-16振动力学15tFFqqkqqcqqmsin2112211210012

12、1212121 ,1mk111121mucq1q2mkmkkcctFsin1tFsin2,32mk2021-12-16振动力学16tFFFFmmkmcsin21300130012121212121 cq1q2mkmkkcctFsin1tFsin2)()(ttuq令111121mu3001002221mkpK30011111211211112mcmcCuuCTp)()(ttFuNTitFFmsin11112121tFFFFmsin2121212021-12-16振动力学17tFFFFmmkmcsin21300130012121212121 )(sin)/()(12)(122221211tmcmFFt21tanmkc其中，)(sin)/3()(12)(222222212tmcmFFt2233tanmkc2021-12-16振