材料力学--第5章

1、第五章第五章 轴向拉压轴向拉压内容提要l轴向拉压杆的内力l轴向拉压杆的应力l圣维南原理 应力集中l轴向拉压杆的变形 变形能l轴向拉压超静定问题 稳定应力 装配应力l构件受惯性力作用时的应力计算5.1 5.1 轴向拉压杆的内力轴向拉压杆的内力l定义：定义：受到外力或其合力作用线与杆轴线重合，沿轴线方向将发生伸长或缩短变形，这种变形称为轴线拉伸或压缩，也叫轴向拉压轴向拉压。l受力特点受力特点: 在杆的每一个截面上,仅存在轴向内力一个分量。若为直杆,外力的合力必须沿杆轴线作用；l如果两个力是一对离开端截面的力，则将使杆发生纵向伸长，这样的力称为轴向拉力; 如果是一对指向端截面的力，则将使杆发生纵向缩

2、短，称为轴向压力； l变形特点：变形特点：轴向伸长(拉)或缩短(压),并伴随横向收缩或膨胀。即纵伸横缩，纵缩横伸。l主要变形是纵向伸长或缩短 ；5.2 5.2 轴向拉压杆的应力轴向拉压杆的应力l平面假设：平面假设：受轴向力作用的杆件，其横截面变形前是平面，假设变形后仍为平面 ，只是两截面的距离发生了改变，称为。 特点：特点：杆变形后两横截面沿杆轴线作相对平移，纵向线段的伸长都相同，即拉杆在其任意两个横截面之间的伸长变形是均匀的。 由于假设材料是均匀的，杆分布内力集度又与杆的变形程度有关，所以拉杆在横截面上的分布内力也是均匀分布。于是，横截面上各点处的正应力都相等。l应力公式应力公式: 式中，F

3、为轴力，为杆的横截面面积。例子例子5-1 5-2 p715-1 5-2 p71页页l1、受力分析l2、列平衡方程分段求轴力l3、用正应力在截面分布公式求拉压应力l圣维南原理：圣维南原理：外力作用会对杆端附近各截面的应力分布产生影响，对远离杆远离杆端的各个截面影响甚小或者没有影响端的各个截面影响甚小或者没有影响，这一规律称为；l应力分布不均匀：应力分布不均匀：l应力集中：应力集中：在外力作用下，弹性体形状或截面尺寸发生突变的局部区域应力急剧增大，这种现象称为；l理论应力集中因数理论应力集中因数k： 其中：分子表示截面最大应力分母表示同一截面上的平均应力；5.3 5.3 圣维南原理圣维南原理 应力

4、集中应力集中l轴向变形轴向变形l原长为l，伸长后为l1；则伸长量为l= l- l1 ；l由公式：l求积分： 轴向拉压杆的轴向变形公式l由于A和FN均相等，则： EA为杆的抗拉刚度5.4 5.4 轴向拉压杆的变形轴向拉压杆的变形 变形能变形能l横向变形：横向变形： 各向同性材料： 式中负号表示：当沿轴向（x轴）伸长变形时，沿横向（y、z轴）缩短变形，反之，沿横向伸长变形。l变形能：变形能： 例题：例题：5-3 p765-3 p76l例：例：一实心圆截面锥形杆，左右两端的直径分布为d1和d2，如不计杆件的自重，试求轴向拉力F作用下杆件的变形。解：设距左端解：设距左端x x的横截面的直径设为的横截面

5、的直径设为D D（x x），由三角形相似得：），由三角形相似得：5.5 5.5 轴向拉压超静定问题轴向拉压超静定问题 温度应力温度应力 装配应力装配应力. 温度应力温度应力装配应力装配应力.综合问题综合问题.超静定问题及其解法超静定问题及其解法l静定问题静定问题（SDP） : 结构(杆件或杆系)的内力和支反力仅用静力学平衡条件就能就能 唯一确定的问题。相应的结构叫静定结构静定结构（SDS）; ;l超静定问题超静定问题（SIP） :结构(杆件或杆系)的内力和支反力仅用静力学平衡条件不能不能唯一确定的问题，或称静不定问题静不定问题。相应的结构叫超静定结构超静定结构（SIS）; ;l实例:如图：如图

6、：.超静定问题及其解法超静定问题及其解法l由上可见,超静定问题超静定问题的未知力个数超过了独立的平衡方程的个数。其差值叫超静定次数超静定次数（静不定次数静不定次数) )。解SIP需补充方程才补充方程才能唯一确定未知力。能唯一确定未知力。l这些补充方程补充方程一般是根据一般是根据变形后变形后, ,约束条件不被破坏约束条件不被破坏来建立的来建立的。由于约束条件的限制,各杆件之间的变形必存在一些联系变变形协调条件形协调条件构件体系的变形协调原则:杆件不破坏杆件不破坏, ,彼此不彼此不相分离相分离, ,结构的一部分对另一部分不发生未预见的、影响结构形结构的一部分对另一部分不发生未预见的、影响结构形状的

7、相对位移状的相对位移。由此可建立相应的变形几何方程变形几何方程l在线弹性范围内，由胡克定律将变形与杆件的内力联系将变形与杆件的内力联系，得到变形几何方程变形几何方程补充方程补充方程,然后与静力学平衡方程一起求解与静力学平衡方程一起求解，即可求出结构的所有未知力。l思路：思路： 力学方面力学方面+ +变形方面变形方面+ +物理方面物理方面l力学方面力学方面即建立静力学平衡方程静力学平衡方程；变形方面变形方面即建立变形协调方程变形协调方程；物理方面物理方面即变形与力之间的关系式变形与力之间的关系式。l理论和实践证明:无论超静定次数为多少，总能找到相应数量的补无论超静定次数为多少，总能找到相应数量的

8、补充方程来求解充方程来求解 。l例子：例子：p78 5-4p78 5-4；5-55-5例例 图(a)所示为两端固定的钢杆,已知l1=1.0m,l2=0.5m,A=20cm2,P=300kN,E=200GPa，试求钢杆各段应力和变形。解：解：1、列静力平衡方程 以整根杆为研究对象,画出受力图如图(b),静力平衡方程为：RA+RB=P (a) 2、建立补充方程 (杆受力后,C截面下移至C1截面,结果AC段伸长 l1,而CB段缩短 l2,杆两端固定总长不变,即 l0 。因此,有:l1| l2| 这就是本例的几何方程几何方程。变形和内力有关。用截面法求得两段内力分别为:N1=RA, N2=RB(压)

9、。l温度要引起物体的膨胀或收缩；l静定结构，杆件可以自由变形，当温度均匀变化时，构件不会引起应力；但对超静定结构，构件变形受部分或全部约束，温度变化时要引起应力；l温度应力：温度应力：由温度变化所引起的应力，称为；. 温度应力温度应力 装配应力装配应力.（1）.（2）l例：例：刚性梁固定在3根钢和铝圆杆的顶端如图所示，初始杆高250mm，初始温度为t1=20 ，且各杆中无初应力，然后在梁上作用150kN/m的均布载荷且温度升高到t2=80 ，求各杆横截面上的应力。已知钢和铝的弹性模量及线膨胀系数分别为E1=200Gpa，a1=12*10-6/； E2=70Gpa，a2=23*10-6 /. 解

10、：解：.（1）.（2）.（3）.（4）将（将（4）代入（）代入（3），再利用（），再利用（2）得到：）得到：.（5）l由（由（1）和（）和（5）解得：）解得：l两根杆上的应力为：两根杆上的应力为：l装配应力：装配应力：对超静定结构，加工误差在构件内引起应力，这种由装配而引起的应力称为；该应力是构件在载荷作用前具有的，称为初应力初应力；l静定问题静定问题: :因杆件尺寸误差,会使结构空间形状与原设计相比发生偏差，但不会引起应力不会引起应力；l超静定问题超静定问题: :因杆件尺寸误差,不仅会使空间结构、形状与原设计相比发生偏差，而且会在构件内引起应力构件内引起应力；l静定结构静定结构的杆件尺寸误差

11、各杆的刚体位移位移；l超静定结构超静定结构的杆件尺寸误差各杆的刚体位移刚体位移+ +变形位移变形位移；.（1）.（2）P81 5-16图图得到初应力很大，所以：保证足够加工精度来降低有害的装配应力。得到初应力很大，所以：保证足够加工精度来降低有害的装配应力。l动应力：动应力：在动载荷作用下，构件内的应力称为l(1) 构件作匀加速直线运动匀加速直线运动时的应力： 例：例：P83 5-6l(2) 构件作匀速转动时匀速转动时的动应力： 例：例：P85 5-75.6 5.6 构件受惯性力作用时的应力计算构件受惯性力作用时的应力计算qd表示线分布集度表示线分布集度小 结l轴向受力特点轴向受力特点: :荷载与支反力的合力沿杆轴作用,横截面上内力仅为轴力N。l应力分布应力分布: :应力在横截面上均匀分布(仅在外力作用点附近或杆的截面突变处附近,应力才成非均匀分布)。 l拉拉( (压压) )胡克定律胡克定律: :这个定律建立了杆件受