静电场5-电势、电势差、场强和电势的关系

1、1一、电势一、电势0qWuaa000daaalEqAu 电势定义电势定义单位正电荷自该点单位正电荷自该点“势能零点势能零点”过程中电场力作的功。过程中电场力作的功。单位正电荷在该点具有的电势能单位正电荷在该点具有的电势能同一问题中，电势零参考点需同电势能零参考点一致。同一问题中，电势零参考点需同电势能零参考点一致。 负电荷电场中电势不一定为负；负电荷电场中电势不一定为负； 正电荷电场中电势不一定为正。正电荷电场中电势不一定为正。2021-12-16第十章第十章 - - 静电场静电场10.5 电势电势 电势差电势差（1）电势与试验电荷电势与试验电荷q0无关，仅取决于电场的性质。无关，仅取决于电场

2、的性质。（2）电势是位置坐标的单值函数，是标量。电势是位置坐标的单值函数，是标量。（3）电势是相对量，与参考点的选取有关。电势是相对量，与参考点的选取有关。2 电势差电势差单位正电荷自单位正电荷自ab 过程中电场力作的功。过程中电场力作的功。00ababWWuqq0dbabaAElq二、电势的叠加原理二、电势的叠加原理Pld1. 点电荷的电势点电荷的电势dPPuEl02014rrqE0 ddrrlrq（取无穷远处为参考点）（取无穷远处为参考点）20d4rqrr04qr（球对称）（球对称）2021-12-16第十章第十章 - - 静电场静电场10.5 电势电势 电势差电势差沿电场线方向为积分路径

3、沿电场线方向为积分路径R为参考零点为参考零点dRaauEl20d4brqrr011()4qrb30d iPiuElEE及，由由 得：得：0() diPiUEl注意：电势零点注意：电势零点P0必须是共同的。必须是共同的。 对点电荷系：对点电荷系：0 04iiqUUr， 对连续电荷分布：对连续电荷分布：0d 04qqUUr，0diPiEliiU2. 任意带电体的电势任意带电体的电势2021-12-16第十章第十章 - - 静电场静电场10.5 电势电势 电势差电势差4二、电势的计算二、电势的计算方法一：方法一： 已知电荷分布，根据电势叠加原理已知电荷分布，根据电势叠加原理0dd4Qquur已知场强

4、分布，根据电势定义已知场强分布，根据电势定义0dpplEu方法二：方法二：2021-12-16第十章第十章 - - 静电场静电场10.5 电势电势 电势差电势差（电势叠加法）电势叠加法）（场强积分法）场强积分法）5rqu04dd2204dxRl22200d4RlRx22042xRR均匀带电圆环半径为均匀带电圆环半径为 R，电荷线密度为，电荷线密度为 。解解建立如图坐标系，选取弧线元建立如图坐标系，选取弧线元 dl例例圆环轴线上一点的电势圆环轴线上一点的电势求求lqddRPOxdlr取无限远处为势能零参考点取无限远处为势能零参考点dpuu2021-12-16第十章第十章 - - 静电场静电场10

5、.5 电势电势 电势差电势差62021-12-16第十章第十章 - - 静电场静电场6例例均匀带电圆盘半径为均匀带电圆盘半径为R，电荷面密度为，电荷面密度为 。求求 圆盘轴线上一点的电势圆盘轴线上一点的电势rRrdxOxP解解d2dqr r 2201dd4quxr22012d4r rxr duu0220d2Rr rxr22002Rxr000 2Rxu0 4qxRux220()2xRx10.5 电势电势 电势差电势差7例例 计算电量为计算电量为 Q 的带电球面球心的电势的带电球面球心的电势0d4quRd 0d4QQquuRdRQ04RQo解解 在球面上任取一电荷元在球面上任取一电荷元qdqd则电

6、荷元在球心的电势为则电荷元在球心的电势为由电势叠加原理由电势叠加原理球面上电荷在球心的总电势球面上电荷在球心的总电势 思考：思考： 电量分布电量分布 均匀？均匀？圆环？圆环？ 圆弧？圆弧？2021-12-16第十章第十章 - - 静电场静电场10.5 电势电势 电势差电势差8半径为半径为R ，带电量为，带电量为q 的均匀带电球体的均匀带电球体解解 由高斯定理：由高斯定理：求求 带电球体的电势分布带电球体的电势分布例例+RrPRr 3014RqrERr 2024rqE对球外一点对球外一点P 对球内一点对球内一点P1 rEupd1内RRrrErEdd21)3 (82230rRRqrEupd2外rr

7、rq204drq04P12021-12-16第十章第十章 - - 静电场静电场10.5 电势电势 电势差电势差ruO电势分布曲线电势分布曲线04quR1urR92021-12-16第十章第十章 - - 静电场静电场同心的均匀带电薄球壳，半径为同心的均匀带电薄球壳，半径为R1，R2，带电，带电Q1，Q2例例电势分布电势分布求求Q2Q1R1R2解解 半径为半径为R1的球面的球面Q1产生的电场的电势分布为：产生的电场的电势分布为： 1rR1rR104Qr1u 1014QR半径为半径为R2的球面的球面Q2产生的电场的电势分布为：产生的电场的电势分布为： 2rR2rR204Qr2u 2024QR总的电势

8、分布：总的电势分布：12uuu2rR2104QQr12RrR1200244QQrR1rR12010244QQRR10.5 电势电势 电势差电势差10 例例 无限长均匀带电直线无限长均匀带电直线0drruErurr00 0 0r0 002Er r00ru 选选000d2rrrrr00d2rrrr00ln2rr2021-12-16第十章第十章 - - 静电场静电场10.5 电势电势 电势差电势差112021-12-16第十章第十章 - - 静电场静电场10.5 电势电势 电势差电势差OO“无限长无限长”均匀带电圆柱面均匀带电圆柱面, ,半径为半径为R, ,沿轴向单位长度带电为沿轴向单位长度带电为+

9、 解解 电场分布具有轴对称性电场分布具有轴对称性 例例电势分布电势分布求求rRrR202Er 10E 2dpuEr外0ln2rr无意义无意义无限大带电体，无限大带电体，势能零点一般势能零点一般选在有限远处一点。选在有限远处一点。取取P0(r =r0 )点为势能零点点为势能零点RPP0r0r122021-12-16第十章第十章 - - 静电场静电场10.5 电势电势 电势差电势差无限大带电体，无限大带电体，势能零点一般势能零点一般选在有限远处一点。选在有限远处一点。取取P0( (r =r0 )点为势能零点点为势能零点rR02drrEr00d2rrrr00ln2rrrrR012ddRrrRE rE

10、r000lnln22rr 00d2rRrr000lnln22Rr 02dPpuEr外0dPpuEr内13一、等势面一、等势面+（描绘电势的空间分布）（描绘电势的空间分布）（点电荷）（点电荷）（无限大平面）（无限大平面）（电偶极子）（电偶极子）1. 等势面等势面在电场中电势相等的点所连成的曲面。在电场中电势相等的点所连成的曲面。 规定：相邻等势面之间电势差相等。规定：相邻等势面之间电势差相等。2021-12-16第十章第十章 - - 静电场静电场10.6 等势面等势面 电场强度和电势的关系电场强度和电势的关系142. 等势面的性质等势面的性质等势面E(1) 沿等势面移动电荷沿等势面移动电荷q0，

11、静电力做功为零。，静电力做功为零。 0dbabaAq El0dbaqEl0()abq uu0(2) 等势面与电力线互相垂直。等势面与电力线互相垂直。 (3) 规定相邻两等势面的电势差相等。规定相邻两等势面的电势差相等。 等势面密集等势面密集电场较强；电场较强； 等势面稀疏等势面稀疏电场较弱；电场较弱； (4) 电场强度的方向总是指向电势降低的方向。电场强度的方向总是指向电势降低的方向。 2021-12-16第十章第十章 - - 静电场静电场8.6 等势面等势面 电场强度和电势的关系电场强度和电势的关系15二二. 电势与电场强度的微分关系电势与电场强度的微分关系uu+du取两个相邻的等势面，等势

12、面法线方向为取两个相邻的等势面，等势面法线方向为nqEdlqElEqAdcosdduquuuqAd)d(dnuEddunElEdddcosEndn把点电荷从把点电荷从 P 移到移到 Q ，电场力作功为：，电场力作功为：n，设，设E的方向与的方向与n相同，相同，PQld2021-12-16第十章第十章 - - 静电场静电场8.6 等势面等势面 电场强度和电势的关系电场强度和电势的关系16unElEdddcos另一种理解另一种理解ulElddluElddnldd nuludddd电势沿等势面法线方向的变化率最大。电势沿等势面法线方向的变化率最大。电场强度在电场强度在 l 方向的投影等于电势沿该方向

13、变化率的负值。方向的投影等于电势沿该方向变化率的负值。 任意一场点任意一场点 P 处电场强度的大小等于处电场强度的大小等于沿沿过该点等势面法线方向上电势的变化率过该点等势面法线方向上电势的变化率，负，负号表示电场强度的方向指向电势降低的方向。号表示电场强度的方向指向电势降低的方向。 nuEdd2021-12-16第十章第十章 - - 静电场静电场8.6 等势面等势面 电场强度和电势的关系电场强度和电势的关系17在直角坐标系中，在直角坐标系中，xuExyuEyzuEz 某点的电场强度等于该点某点的电场强度等于该点电势梯度的负值电势梯度的负值，这就是，这就是电势与电场强度的微分关系。电势与电场强度的微分关系。 )grad()(ukzujyuixuE分别将分别将x，y，z轴作为轴作为 l 的方向，的方向，电场强度沿电场强度沿x方向的投影等于电势沿方向的投影等于电势沿 x方向的变化率的负值方向的变化率的负值2021-12-16第十章第十章 - - 静电场静电场8.6 等势面等势面 电场强度和电势的关系电场强度和电势的关系18例例 利用场强与电势梯度的关系，利用场强与电势梯度的关系， 计算均匀带电细圆环轴线计算均匀带电细圆环轴线上一点的场强。上一点的场强