平面与圆柱面的截线 4

1、复习平面的上正射影平行射影 ?.,.,/,有有什什么么关关系系与与的的长长有有什什么么关关系系的的长长与与有有什什么么关关系系与与、的的交交角角分分别别为为、与与设设于于交交于于交交、的的延延长长线线于于、交交、切切点点分分别别为为的的公公切切线线作作两两圆圆与与两两圆圆相相切切、两两个个等等圆圆的的直直径径是是、如如图图探探究究EGFGGGADADFGFGCDBCEFGBCGADFEDCBAFFEFBCADCDABCDAB212212212212132153ABCDFE1G2G1F2F1O2O53图图由切线长定理有由切线长定理有G2F1G2B，G2F2G2C，G2F1G2F2G2BG2CBC

2、AD又又G1G2G1F2F2G2由切线长定理知由切线长定理知G1F2G1D，F2G2G2C，G1G2G1DG2C连接连接F1O1，F2O2，容易证明，容易证明EF1O1 FF2O2EO1FO2ABCDFE1G2G1F2F1O2O53 图图又又O1AO2C，EAFC于是可证得于是可证得FCG2 EAG1G1AG2CG1G2G1DG1AAD在在RtG2EB中中EGFGEGBG21222cos G2F1=G2Ecos ABCDFE1G2G1F2F1O2O53 图图又又 =90 - G2F1=G2Ecos =G2Esin 由此得到结论由此得到结论:(1)G2F1+G2F2=AD(2)G1G2=AD s

3、incos3212EGFGABCDFE1G2G1F2F1O2O53 图图AEBDCF1F1O2O1G2G2F拓展到空间拓展到空间APBDC1F1O2O1G2G2F2K1KDandlin双球双球(丹迪林丹迪林)定理定理1.圆柱形物体的斜截口是椭圆圆柱形物体的斜截口是椭圆.将左图中的两个圆拓广为球面,将矩形ABCD看成是圆柱面的轴截面,将EB、DF拓广为两个平面、,EF拓广为平面,得到右图.你能猜想这个椭圆的两个焦点的位置吗?猜想:两个焦点为两个球与斜截面的切点上,即过球心O1、O2分别作斜截面的垂线，其垂足F1、F2就可能是焦点。对截口上任一点P，证明PF1+PF2=定值APBDC1F1O2O1

4、G2G2F2K1K 当点当点P与与G2重合时，有重合时，有G2F1G2F2AD 当点当点P不在端点时，连接不在端点时，连接PF1,PF2,则则PF1,PF2分别是两个球面的切线分别是两个球面的切线,切点为切点为F1,F2. 过过P作母线作母线,与两球面分别相与两球面分别相交于交于K1,K2,则则PK1,PK2分别是两分别是两球面的切线球面的切线,切点为切点为K1,K2PF1=PK1,PF2=PK2,PF1+PF2=PK1+PK2=ADAPBDC1F1O2O1G2G2F2K1K定理1圆柱形物体的斜截口是椭圆焦点F1、F2B1B2是F1F2的中垂线长轴短轴焦距A1A2B1B2F1F22a2b222

5、bac1A2A2B1B1F2FO73图图定值cos212EGFG特殊点特殊点G G2 2点点P P在椭圆的任意位置在椭圆的任意位置l1,l2与椭圆上的点有什么关系与椭圆上的点有什么关系?PQl,PK1 在在RtPK1Q,中中QPK1= 定值cos11PQPKPQPFABCD1O2O1F2F2G1GFEQP2K1K2l1l83图图12QPKEBG 椭圆上任意一点到焦点椭圆上任意一点到焦点F1的距离与到直线的距离与到直线l1的距离之比为定值的距离之比为定值cos . 同样同样,椭圆上任意一点到焦点椭圆上任意一点到焦点F2的距离与到的距离与到直线直线l2的距离之比为定值的距离之比为定值cos .l1

6、,l2椭圆的准线记e=cos椭圆的离心率e1ABCD1O2O1F2F2G1GFEQP2K1K2l1l83图图Dandelin(1794-1847) 丹德林，比利时人。丹德林，比利时人。出生于巴黎附近的布尔日出生于巴黎附近的布尔日, ,曾在列日、纳缪曾在列日、纳缪尔和柳基赫等地工作。他是比利时科学院尔和柳基赫等地工作。他是比利时科学院 院士。丹德林主要研究代数和几何。院士。丹德林主要研究代数和几何。 事迹事迹 : 1. : 1. 在代数方面，他于在代数方面，他于18261826年提出年提出 了一种求方程根的近似方法，与罗巴切夫了一种求方程根的近似方法，与罗巴切夫斯基、格雷菲提出的方法相似。斯基、格雷菲提出的方法相似。 2. 2. 在几何方面，他于在几何方面，他于18221822年证