江苏2014立体几何高考专题复习学案

1、 立体几何专题复习高考动态2复习建议2专题一：立体几何中的概念和计算3考点一：立体几何中的概念3考点1.1：空间几何体的结构特征3考点1.2：点共线、点共面、线共面5考点1.3：异面直线及其判定7考点二：立体几何中的计算9考点2.1：几何体的表面积和体积9考点2.2：外接球与内切球12考点2.3：异面直线所成的角14考点2.4：线面之间的夹角16考点2.5：点到平面之间的距离18专题二：立体几何证明21考点一：空间中的平行关系21考点1.1：直线与平面平行判定21考点1.2：平面与平面平行判定25考点二：空间中的垂直关系27考点2.1：直线与直线、平面垂直判定27考点2.2：平面与平面垂直判定

2、33高考动态题号分值及比例考点201381619（11.9%）三棱锥和三棱柱的体积面面平行 + 线线垂直201271619（11.9%）四棱锥的体积面面垂直 + 线面平行20111614（8.75%）线面平行 + 面面垂直20101614（8.75%）线线垂直 + 点到平面的距离20098121624（15%）三棱锥的体积（类比推理）线、面位置关系的判定（命题）线面平行 + 面面垂直解读与预测从分值上来看，高考中立体几何部分所占分值介于14-24分之间，总占比8.75%-15%；从题型上来看，填空题不固定，但解答题第16题都是立体几何的证明题；从考点上来看，填空题部分主要考察的是立体几何中的概

3、念和计算，解答题中主要考察线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直中的两个；结合近五年的高考动态，预计2014年高考中立体几何将会有一道填空题、一道解答题，总分值19，占比11.9%；填空题的考点为棱锥体积的计算，解答题的考点为线面平行+面面垂直的证明。复习建议根据五年来高考中立体几何的考察形式和预测，给出复习建议如下：（1）重视立体几何中基本概念的理解；（2）加强立体几何中体积的计算；（3）重视线面、面面平行和垂直的证明方法的总结与归纳；（4）重视证明题中证明格式的规范书写。专题一：立体几何中的概念和计算考点一：立体几何中的概念柱、锥、台、球的定义与性质是基础，以它们为载体考查线线、

4、线面、面面的关系是重点，以上考点以填空题出现，难度不大2,2考点1.1：空间几何体的结构特征【例1】 给出下列四个命题：有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥侧面都是矩形的直四棱柱是长方体底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱其中不正确的命题为_【解析】对于，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故错；对于，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明(如图)，故错；对于，若底面不是矩形，则错；正确【答案】【点评与小结】 解决该类题目需准确理解几何体的定义，要真正把握几何体的结构特征，并且学会通过反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，设法举出一个反例即可

5、【例2】以下命题：以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台其中正确命题的个数是_【解析】命题错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥命题题，因这条腰必须是垂直于两底的腰命题对命题错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才行【答案】1【备选例题与习题】 1、设有以下四个命题：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；底面是矩形的平行六面体是长方体；直四棱柱是直平行六面体；棱台的相对侧棱延长后必交于一点其中真命题的序号是_【解析】命题符合平行六面体的定义，故命题是正确的底面

6、是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题是错误的因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题是错误的命题由棱台的定义知是正确的【答案】2在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的四个顶点，这些几何形体是_(写出所有正确结论的编号)矩形；不是矩形的平行四边形；有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；每个面都是等边三角形的四面体；每个面都是直角三角形的四面体【解析】显然可能；不可能；取一个顶点处的三条棱，连接各棱端点构成的四面体；取正方体中对面上的两条异面对角线的四个端点构成的几何体；正方体ABCD A1B1C1D1中，三棱锥D1DBC满足条件【答案】考点1.

7、2：点共线、点共面、线共面2,2【例1】如图在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点求证：(1)E、C、D1、F四点共面；(2)CE、D1F、DA三线共点【解析】(1)如图，连接EF，CD1，A1B.E、F分别是AB、AA1的中点，EFBA1.又A1BD1C，EFCD1，E、C、D1、F四点共面(2)EFCD1，EFCD1，CE与D1F必相交，设交点为P，则由PCE，CE平面ABCD，得P平面ABCD.同理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1DA，P直线DA，CE、D1F、DA三线共点【点评与小结】要证明点共线或线共点的问题，关键是转化为证明点在直线上，

8、也就是利用平面的基本性质2，即证点在两个平面的交线上或者选择其中两点确定一直线，然后证明另一点也在此直线上【例2】如图，M是正方体ABCDA1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列四个命题：过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都相交；过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都垂直；过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都相交；过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都平行其中真命题是_(填写序号)【解析】采用反证法：若不能作一条线，则两相交线确定一平面，从而证明AB，B1C1共面与它们异面矛盾，从而假设不正确，正确，也是同样的方法【答案】【备选例题与习题】1、l1，l2，l3是空

9、间三条不同的直线，给出下列四个命题：l1l2，l2l3l1l3；l1l2，l2l3l1l3；l1l2l3l1，l2，l3共面；l1，l2，l3共点l1，l2，l3共面其中正确命题的序号是_【解析】在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故错；两平行线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故错【答案】2、如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，BADFAB90°，BCAD，BEFA，G、H分别为FA、FD的中点(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；

10、(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？【解析】(1)证明由已知FGGA，FHHD，可得GH AD.又BCAD，GHBC，四边形BCHG为平行四边形(2)解法一由BEAF，G为FA中点知，BEFG，四边形BEFG为平行四边形，EFBG.由(1)知BGCH，EFCH，EF与CH共面又DFH，C、D、F、E四点共面法二如图所示，延长FE，DC分别与AB交于点M，M，BEAF，B为MA中点BCAD，B为MA中点，M与M重合，即FE与DC交于点M(M)，C、D、F、E四点共面考点1.3：异面直线及其判定2,2【例1】 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点

11、问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由【解析】(1)不是异面直线理由如下：连接MN、A1C1、AC.M、N分别是A1B1、B1C1的中点，MNA1C1.又A1AC1C，A1ACC1为平行四边形，A1C1AC，MNAC，A、M、N、C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线(2)是异面直线证明如下：ABCDA1B1C1D1是正方体，B、C、C1、D1不共面假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面，使D1B平面，CC1平面，D1，B、C、C1，与ABCDA1B1C1D1是正方体矛盾假设不成立，即D1B与CC1是异面直线【点评与小结】证明两直线为异

12、面直线的方法：(1)定义法(不易操作)(2)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面【例2】 如图，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号)【解析】图(1)中，直线GHMN；图(2)中，G、H、N三点共面，但M面GHN，因此直线GH与MN异面；图(3)中，连接MG，GMHN，因此GH与MN共面；图(4)中，G、M、N共面，但H面GMN，因此直线GH与MN异面所以图(2)、(4)中直线GH与MN异面【答案】(2)、(4)【备选例题与

13、习题】1、若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则给出四个命题：过点P有且仅有一条直线与l，m都平行；过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直；过点P有且仅有一条直线与l，m都相交；过点P有且仅有一条直线与l，m都异面；上述命题中正确的是_(填序号)【解析】对于，若过点P有直线n与l，m都平行，则lm，这与l，m异面矛盾对于，过点P与l、m都垂直的直线，即过P且与l、m的公垂线段平行的那一条直线对于，过点P与l、m都相交的直线有一条或零条对于，过点P与l、m都异面的直线可能有无数条【答案】2、在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点，则以下结论：EF与CC1垂直；EF

14、与BD垂直；EF与A1C1异面；EF与AD1异面，其中不成立的序号是_【解析】连结A1B，在A1BC1中，EFA1C1，所以，正确，错【答案】考点二：立体几何中的计算简单几何体的表面积和体积多以常见几何体考查，主要考查空间想象能力、逻辑推理能力和计算能力在近几年的高考题中频繁出现2,5考点2.1：几何体的表面积和体积【例1】如图所示，四棱锥PABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径，ABD60°，BDC45°，ADP BAD.(1)求线段PD的长；(2)若PCR，求三棱锥PABC的体积【解析】(1)BD是圆的直径，BAD90°，又ADP

15、BAD，DP3R.DP的长为3R.(2)在RtBCD中，CDBDcos 45°R，PD2CD29R22R211R2PC2，PDCD，又PDA90°，ADCDD，PD底面ABCD，则SABCAB·BCsin(60°45°)R·RR2.所以三棱锥PABC的体积为VPABC·SABC·PD·R2·3RR3.【点评与小结】求几何体的体积问题，可以多角度、全方位地考虑问题，常采用的方法有“换底法”、“分割法”、“补体法”等，尤其是“等积转化”的数学思想方法应高度重视【例2】一个正三棱台的上、下底面边长分别

16、是3 cm和6 cm，高是 cm.(1)求三棱台的斜高；(2)求三棱台的侧面积和表面积【解析】 (1)设O1、O分别为正三棱台ABCA1B1C1的上、下底面正三角形的中心，如图所示，则O1O，过O1作O1D1B1C1，ODBC，则D1D为三棱台的斜高；过D1作D1EAD于E，则D1EO1O，因O1D1×3，OD×6，则DEODO1D1.在RtD1DE中，D1D(cm)(2)设c、c分别为上、下底的周长，h为斜高，S侧(cc)h(3×33×6)×(cm2)，S表S侧S上S下×32×62(cm2)故三棱台斜高为 cm，侧面积为

17、cm2，表面积为 cm2.【备选例题与习题】1、如图，在三棱柱中，分别是的中点，设三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则 【解析】三棱锥与三棱锥的相似比为1：2，故体积之比为1：8又因三棱锥与三棱柱的体积之比为1：3所以，三棱锥与三棱柱的体积之比为1：242、如图，在长方体中，则四棱锥的体积为 cm3【解析】长方体底面是正方形，中 cm，边上的高是cm（它也是中上的高）。 四棱锥的体积为。3、在三棱锥SABC中，面SAB，SBC，SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形，且ABBCCA2，则三棱锥SABC的表面积是_【解析】设侧棱长为a，则a2，a，侧面积为3××a23，底面积

18、为×22，表面积为3.4、如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是_【解析】由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为，连接顶点和底面中心即为高，可求得高为，所以体积V×1×1×.5、某四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a，则该四面体体积的最大值为_【解析】如图所示，在四面体ABCD中，若ABBCCDACBDa，ADx，取AD的中点P，BC的中点E，连结BP，EP，CP，易证AD平面BPC，所以VABCDSBPC·AD××a×

19、83;xa·a·a3，当且仅当x2a2，即xa时取等号考点2.2：外接球与内切球2,2【例1】 (1)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为_(2)已知矩形ABCD的面积为8，当矩形周长最小时，沿对角线AC把ACD折起，则三棱锥DABC的外接球的表面积等于_【解析】(1)由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a.如图，设O，O1分别为下、上底面中心，且球心O2为O1O的中点，又ADa，AOa，OO2，设球的半径为R，则R2AOa2a2a2.所以S球4R24×a2a2.(2)由题意知：当矩形为正方形时，其周

20、长最小，其正方形边长为2，折起后，三棱锥DABC的外接球的半径为正方形对角线的一半，即R2，所以表面积为16.【答案】(1)a2(2)16【点评与小结】 解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的【例2】 (1)已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O 的直径，且SC2，则此棱锥的体积为_(2)设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C

21、，若圆C的面积等于，则球O的表面积等于_【解析】(1)设ABC外接圆的圆心为O1，则|OO1| .三棱锥SABC的高为2|OO1|.所以三棱锥SABC的体积V××.(2)如图，设O为截面圆的圆心，设球的半径为R，则OM，又OMO45°，OOR.在RtOOB中，OB2OO2OB2，R2，R22，S球4R28.【答案】(1)(2)8【备选例题与习题】1已知点P，A，B，C是球O表面上的四个点，且PA、PB、PC两两成60°角，PAPBPC1 cm，则球的表面积为_cm2.【解析】如图，取AB的中点M，连接PM、CM，过P作棱锥的高PN，则垂足N必在CM上，连

22、接AN.棱锥的四个侧面都是边长为1的正三角形，故可得CMPM，从而CNCM，在RtPCN中，可求得PN，连接AO，则ANCN，设AOPOR，则在RtOAN中，有R222，解得R.球的表面积S4R2(cm2)【答案】2已知正三棱锥PABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上若PA，PB，PC两两相互垂直，则球心到截面ABC的距离为_【解析】如图所示：将正三棱锥内接于正方体中球心为正方体的对角线的交点O，则(2R)2PA2PB2PC2，PAPBPC，R，PA2.设PO与平面ABC交于H点，正方体中PO平面ABC，利用等体积可求PH.则OH为球心到平面ABC的距离，OHPOPH.PO，PH，OH.【

23、答案】考点2.3：异面直线所成的角2,2【例1】如图，三棱锥PABC中，PA平面ABC，BAC60°，PAABAC2，E是PC的中点(1)求异面直线AE和PB所成的角的余弦值；(2)求三棱锥AEBC的体积【解析】(1)取BC的中点F，连结EF，AF，则EFPB，所以AEF就是异面直线AE和PB所成角或其补角BAC60°，PAABAC2，PA平面ABC，AF，AE，EF，cosAEF.(2)因为E是PC中点，所以E到平面ABC的距离为PA1，VAEBCVEABC××4×1.【点评与小结】求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种

24、类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行【例2】 已知A是BCD平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点，(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若ACBD，ACBD，求EF与BD所成的角【解析】(1)证明假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A、B、C、D在同一平面内，这与A是BCD平面外的一点相矛盾故直线EF与BD是异面直线(2)解取CD的中点G，连接EG、FG，则EGBD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角在RtEGF中，

25、由EGFGAC，求得FEG45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.【备选例题与习题】1、如图是正四面体的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中，GH与EF平行；BD与MN为异面直线；GH与MN成60°角；DE与MN垂直以上四个命题中，正确命题的序号是_【解析】还原成正四面体知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DEMN.【答案】2、如图(1)，在RtABC中，ACB90°，ACBC4，D是AB的中点，E是AC的中点，现将ABC沿CD翻折成直二面角ADCB，如图(2)(1

26、)求异面直线AB与DE所成的角；(2)若M、N分别为棱AC、BC上的动点，求DMN周长的平方的最小值【解析】(1)如图，取BC的中点F，连结EF、DF，则ABEF，AB与DE所成的角即为EF与DE所成的角ADBD2，ADB90°，AB4.EF2.又DEDF2，异面直线AB与DE所成的角为60°.(2)如图是以C为顶点沿CD展开的侧面展开图，依题意即求DD1的长ACDBCD145°，ACBCAB，ACB60°.DCD1150°，CDCD12.DD(2)2(2)22×2×2·cos 150°168.考点2.4

27、：线面之间的夹角2,3【例1】如图，二面角l的大小是60°，线段AB，Bl，AB与l所成的角为30°，则AB与平面所成的角的正弦值是_【解析】如图，过点A作AO平面于点O，作OCl于点C，连接AC，则ACl，ACO为平面与平面所成二面角的平面角，且ACO60°，则AC，AOAC，在RtACB中，AB2AC，在RtABO中，AB与平面所成的角ABO的正弦值sinABO.【例2】已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是A=60°、边长为a的菱形，又PD底ABCD，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点（1）证明：DN平面PMB；（2）证明：平面PMB平

28、面PAD；（3）求直线PB与平面BD的夹角 【备选例题与习题】1 四棱锥P - ABCD 的底面ABCD是边长为2的正方形，PA底面ABCD且PA = 4，则PC与底面ABCD所成角的正切值为 【答案】2、已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于_【解析】(1)方法一取A1C1的中点E，连接AE，B1E，如图由题意知B1E平面ACC1A1，则B1AE为AB1与侧面ACC1A1所成的角设正三棱柱侧棱长与底面边长为1，则sinB1AE3、已知四面体ABCD的六条棱长都是1，则直线AD与平面ABC的夹角的余弦值为 考点2.5：点到平面之间的距

29、离2,2【例1】已知直二面角l，点A，ACl，C为垂足，B，BDl，D为垂足则AB2，ACBD1，则D到平面ABC的距离等于_【解析】如图，连接BC，AD，AB，ACl，AC，ACBC，BC，CD.设D到平面ABC的距离为h，VABDCVDABC，×1××1××××1×h，h.【例2】如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，ABE为等腰三角形，AE=BE，平面ABCD平面ABE，点F在CE上，且BF平面ACE（）证明：平面ADE平面BCE；（）求点D到平面ACE的距离 【备选例题与习题】1、正方形ABCD的边长为a

30、，MA平面ABCD，且MA=a，试求：（1）点M到BD的距离；（2）AD到平面MBC的距离 2、如图，ABCD是边长为1的正方形，DE平面ABCD，AFDE，DE=2AF（）求证：AC平面BDE；（）求点F到平面BDE的距离专题二：立体几何证明立体几何证明部分主要包括：直线与平面平行、平面与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定和性质，以及综合运用。在高考中主要出现在大题中，形式为证明题，运用平行及垂直的性质及定理。3,3考点一：空间中的平行关系考点1.1：直线与平面平行判定利用直线与平面平行的判定定理，找到平行直线，或者利用平面与平面平行的性质，证明直线与平面平行，注意解题步骤。方法

31、总结：中位线、平行四边形、平面与平面平行性质【例1】如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱，证明FO/平面CDE；【解析】证明：取CD中点M，连结OM，在矩形ABCD中又，则连结EM，于是四边形EFOM为平行四边形FO/EM又FO平面CDE，且EM平面CDEFO/平面CDE【点评与小结】（1）本题主要考查直线与平面平行的判定定理；（2）利用三角形中位线定理是证明线面平行的重要方法之一；（3）当题目中出现等腰三角形时，作其底边中线是常见的辅助线做法。【例2】如图，正方形ABCD与等边三角形ABE所的平面互相垂直，M、N分别是DE、AB的中点。证明

32、：MN平面BCE；【解析】证明：取的中点，连结、由题意可得：，又平面，平面平面同理可证平面 平面平面，又，平面 【点评与小结】（1）本题主要考查两个平面平行的判定和性质定理；（2）利用面面平行的性质是证明线面平行的又一方法；当在已知的平面内不易找到与已知直线平行的直线时，常用该方法；【例3】正方形与正方形所在平面相交于，在、上各有一点、，且，求证：平面【解析】证法一：如图（1），作PMAB交BE于M，作QNAB交BC于N,连接MN,因为面ABCD面ABEF=AB,则AE=DB.又AP=DQPE=QB又PMABQN,.PMQN即四边形PMNQ为平行四边形.PQMN.又MN面BCE，PQ面BCEP

33、Q面BCE.证法二：如图 (2)，连结AQ并延长交BC或BC的延长线于点K，连结EKADBC.又正方形ABCD与正方形ABEF有公共边AB，且AP=DQ，则PQEKEK面BCE，PQ面BCEPQ面BCE.【点评与小结】证明直线和平面平行的方法有：利用定义采用反证法；判定定理；利用面面平行，证线面平行.其中主要方法是、两法，在使用判定定理时关键是确定出面内的与面外直线平行的直线。备选例题与习题：ABCC1A1B1FED1如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC，点D为BC中点，点E为BD中点，点F在AC1上，且AC1=4AF，求证：平面ADF平面BCC1B1；【解析】连结CF延长交AA

34、1于点G，连结GB ABCC1A1B1FEDG因为AC1=4AF，AA1/CC1所以CF=3FG， 又因为D为BC中点，点E为BD中点所以CE=3EB， 所以EF/GB， 而EFË平面ABBA1，GB Ì平面ABBA1， 所以EF /平面ABBA1 2如图，在四棱柱中，已知平面平面且，若为棱的中点，求证：平面【解析】在三角形中，因为且为中点，所以， 又因为在四边形中， 所以，所以所以， 因为平面，平面所以平面3如图，在四棱锥中，平面，于，设为线段上一点，若，求证：平面【解析】，和为平面内 两相交直线平面， 连接，平面， 平面，平面， 又共面， 又平面，平面平面考点1.2：平

35、面与平面平行判定APBCDEF1,1 利用平面与平面平行的判定定理，找到两组相交的平行线，注意步骤。【例1】如图，在三棱锥P-ABC中，PA=3，AC=AB=4，PB=PC=BC=5，D、E分别是BC、AC的中点，F为PC上的一点，且PF:FC=3:1，试在PC上确定一点G，使平面ABG平面DEF；【解析】如图所示取PC的中点G，连结AG，BG，PF:FC=3:1F为GC的中点又D、E分别为BC、AC的中点AGEF，BGFD又AGGB=G，EFFD=F 面ABG面DEF即PC上的中点G为所求的点 【点评与小结】（1）本题主要考查平面与平面平行的判定定理；直线与平面垂直的判定与性质；（2）构造三

36、角形的中位线是证明平行问题的重要方法，本题将面面平行问题转化为线线平行问题也体现了数学中的化归思想；（3）本题属于结论开放型问题，有一定的灵活性，作题时应注意特殊点的选取。备选例题与习题：1如图，已知BC是半径为1的半圆O的直径，A是半圆周上不同于B，C的点，F为的中点梯形ACDE中，DEAC，且AC2DE，平面ACDE平面ABC求证：FEOACBD（1）平面ABE平面ACDE；（2）平面OFD平面BAE【解析】（1）因为平面ACDE平面ABC，平面ACDE平面ABC所以AB平面ACDE因为ABÌ平面ABE，所以平面ABE平面ACDE（2）设线段AC与OF交于点M，连结MD因为F为的

37、中点所以OFAC，M为AC的中点因为ABAC，OFAC所以OFABFEOACBDM又OF平面BAE，ABÌ平面ABE，所以OF平面BAE因为M为AC的中点，且DEAC，AC2DE，所以DEAM，且DEAM所以四边形AMDE为平行四边形所以DMAE又DM平面BAE，AEÌ平面ABE，所以DM平面BAE 又OF平面BAE，MDOFM，MDÌ平面OFD，OFÌ平面OFD，所以平面OFD平面BAE 考点二：空间中的垂直关系考点2.1 直线与直线、平面垂直判定3,3利用直线与平面垂直的判定定理，在平面内找到两条相交直线与已知直线垂直，证明直线与平面垂直；直线与直线

38、的垂直则利用直线与平面垂直的性质定理。方法总结：直线与平面垂直性质（题目中给出正棱柱、直棱柱或直线与平面垂直条件）勾股定理（题目中给出数量关系或者线段长度等条件）等腰三角形、等边三角形（角平分线、中线、高线三线合一）圆（直径所对的圆周角是直角）正方形（对角线互相垂直、边垂直）菱形（对角线互相垂直）等【例1】如图，在四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点（1）证明CDAE；（2）证明PD平面ABE；【解析】（1）证明：在四棱锥中，因底面，平面故平面而平面（2）证明：由，可得是的中点由（1）知，且所以平面而平面底面在底

39、面内的射影是，又综上得平面【点评与小结】（1）本题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力；（2）要灵活掌握线线垂直与线面垂直的相互转化关系【例2】如图，为圆的直径，点、在圆上，矩形所在的平面和圆所在的平面互相垂直，且，.（1）求证：平面；（2）设的中点为，求证：平面；（3）设平面将几何体分成的两个锥体的体积分别为，求【解析】（1）证明：平面平面，平面平面=平面平面又为圆的直径平面（2）设的中点为，则，又则，为平行四边形，又平面，平面平面（3）过点作于，平面平面平面平面，【点评与小结】（1）本题考查面面垂直的性质；（2）利用面面垂直是证明线

40、面垂直的又一方法，注意该定理的使用条件；（2）要灵活掌握线面垂直与面面垂直的相互转化关系.【例3】在四棱锥PABCD中，ABCACD90°，BACCAD60°，PA平面ABCD，E为PD的中点，PA2AB2求证：PC【解析】在RtABC中，AB1，BAC60°BC，AC2取中点，连，则PAAC2PCPA平面ABCD，平面ABCD，PA，又ACD90°，即 PC【点评与小结】本题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的判定与性质以及三棱锥的体积计算等基础知识，考查空间相象能力与逻辑推理的能力备选例题与习题：1在如图的多面体中，平面，是的中

41、点(1) 求证：平面；(2) 求证：；【解析】(1)证明：，.又，是的中点，四边形是平行四边形 平面，平面，平面 (2)证明：平面，平面，又，平面平面 过作交于，则平面平面四边形平行四边形，又，四边形为正方形又平面，平面平面平面2如图，面ABEF面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，BAD=FAB=90°，BCAD，BEAF，G、H分别是FA、FD的中点。GHFEDCBA(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)设AB=BE，证明：平面ADE平面CDE.【解析】（1）由题意知，所以，又故所以四边形是平行四边形。（2）连结，由，及知是正方形，故。由题设知两两垂直故

42、平面，因此是在平面内的射影，又所以平面由（1）知所以平面。由（2）知平面，故平面得平面平面3如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱。（1）证明FO/平面CDE；（2）设，证明EO平面CDF【解析】（1）证明：取CD中点M，连结OM，在矩形ABCD中又，则连结EM，于是四边形EFOM为平行四边形FO/EM又FO平面CDE，且EM平面CDEFO/平面CDE（2）证明：连结FM，由（1）和已知条件，在等边中，CM=DM，EMCD且。因此平行四边形EFOM为菱形，从而EOFM CDOM，CDEM CD平面EOM，从而CDEO而FMCD=M，所以平面CDF考点2.2 平面与平面垂直判定2,5利用平面与平面垂直的判定定理，证明直线与平面垂直，重点就是找到垂直平面的直线。方法总结：平面与平面垂直的性质非常重要，常常通过垂直交线等条件可找到垂直平面的直线。DABCPMN【例1】如图，在四棱锥中，侧面是正三角形，且与底面垂直，底面是边长为2的菱形，是中点，过A、N、D三点的平面交于（1）求证：；（2）求证：平面平面 【解析】（1）依题意有，平面而平面平面， （或证AD平面PBC） （2）取AD中点E，连结、BD、如右图DABCEPM