F(二章4讲)薛定谔方程

1、光电信息学院 李小飞第二章：波函数与第二章：波函数与Schrdinger方程方程第第四四讲：讲：Schrdinger方程方程话分二支：话分二支：德布罗意物质波假说（ 1923年）被玻恩进行了统计解释，并发展出量子测量理论后，量子力学的发展分成二大支：第一支：玻恩的学生海森堡海森堡进一步发展老师玻恩的统计观和量子测量理论，用矩阵描述微观体系的量子态，于1925年建立量子力学之矩阵力学第二支：薛定谔薛定谔横空出世，他不认同统计解释，直接从德布罗意物质波假说出发，于1926年提出波动方程，建立波动力学会师： 1926年，薛定谔证明矩阵力学和波动力学的等价性；狄拉克狄拉克提出了普遍的变换理论，使两者进

2、一步统一，并于1927提出相对论量子力学之狄拉克方程，量子力学建立！量子力学建立！微观粒子具有波粒二象性，其状态用波函数完全描述既然粒子有波动性既然粒子有波动性那总得有个波动方程吧？那总得有个波动方程吧？- -德拜德拜. .1925年引入引入瑞士苏黎世大学每两周会举办一场物理学术研讨会。有一次，老讲师薛定谔正在讲他的研究工作气体动力学问题，彼得德拜看大家都不感兴趣，就说要不你向大家介绍一下德布罗意有关物质波的博士论文吧。DearDear Debye，I I findfind one one- -薛定谔薛定谔两周后两周后但是，我不明白，为什么要用但是，我不明白，为什么要用“i i”去操作才行去操

3、作才行对于自由粒子平面单色波ii/, eetEtptA k rp rr上式对时间、空间求微商：(1)iEti ()ijkxyzp222i022pEt 22i,2ppttt rr(3)得方程：222(2)22p 202pETV梯度算符 方程的建立：方程的建立：()/()/ i p rEti p rEtAeiEAetiEiEt 细节细节(1)+(2) 根据态叠加原理：一般性的波函数可展开到平面波基函数上 i/33/21,ed2Ettcp p rrp i/33/21ied2EtcEpt p rp对它求微商，一样可以得到： 22i/233/21() ed222Etpcp p rp 22i/233/21

4、ied0222EtpcEpt p rp所以22i,2ttt rr即：这个方程对于一般性的波函数也是成立的如果粒子处于势场 中，其能量为： U r 22pETVUr以前得到的第二个式要变一下：这就是薛定谔方程，简称波动方程22222p 222( )( )22pU rU r iEt22i,( ),2tU rtt rr(2)同理可得：对于多粒子体系，其能量为：212,.,2iNiipEUr rr一样可求得对应的薛定谔方程：221212i( ,., )() ( ,., )2niniir rr tUr rr tt (3) 检验这个方程对不对最简单的方法是，用此方程求解氢原子光谱，看能不能得出与玻尔模型一

5、样的结果， 结论是：对的，是一样的！薛定谔把这个方程以论文的形式发表出去了。普朗克：我一阅读完毕整篇论文，就像被一个迷语困惑多时渴慕知道答案的孩童，现在终于听到了解答！爱因斯坦：这著作的灵感如同泉水般源自一位真正的天才！检验其正确性：检验其正确性：埃尔温埃尔温薛定谔薛定谔 Erwin Schrdinger，1887年8月12日1961年1月4日，生于维也纳。奥地利理论物理学家，量子力学的奠基人之一。 薛天才,通灵的人, 1926年提出薛定谔方程薛定谔方程，获1933年诺贝尔物理学奖诺贝尔物理学奖； 1935年提出的著名的“薛定谔的猫”悖论问题，至今还是“养猫人”的猫王；1943年写的生命是什生

6、命是什么么一书，被誉为“唤起生物革命的小册子”，是近100年来最具影响力的科学著作，至今已有6位诺贝尔奖得主声称它是灵感之来源。 薛定谔：他玉树临风，英俊潇洒，风流倜傥，人见人爱，花见花开，车见车栽， 情人无数，江湖人称“段正淳”犹太格言：犹太格言： 如女儿嫁学者，变卖全部家当也值得；如娶学者女儿为妻，如女儿嫁学者，变卖全部家当也值得；如娶学者女儿为妻，付出所有财产也在所不惜付出所有财产也在所不惜dpFdt薛定谔方程是量子力学基本方程基本方程，其地位相当于经典物理学中的牛顿第二定律22i,( ),2tU rtt rr量子力学的进一步发展表明：方程的地位：方程的地位：因为它描述了波函数随时间的演

7、化规律。我们知道波函数描述的是体系的量子态，所以此方程描述体系的量子态随时间的变化情况。14Chemistry is nothing but an application of Schrdinger EquationPaul Adrien Dirac 1902 1984关于为什么要用关于为什么要用“i i”操作波函数：操作波函数： 今天我们已知道了，按玻恩的说法，德布罗意波是今天我们已知道了，按玻恩的说法，德布罗意波是概率波并不对应什么物理实在，不能被测量，所以是复函数，概率波并不对应什么物理实在，不能被测量，所以是复函数，因此要用因此要用“i i”去操作；去操作； 薛定谔最后无奈地说：“如果

8、这个该死的量子跃迁必须保留的话，我真后悔竟然和量子理论搅在了一起!”玻尔笑眯眯地答复他：“但是，我们都很感谢你和它搅在了一起，你的波动力学把量子理论推进了关键性的一步。 早在薛定谔方程提出之前，玻恩就对波函数做出了早在薛定谔方程提出之前，玻恩就对波函数做出了统计解释统计解释，其其学生学生海森堡海森堡依据这个解释发展起依据这个解释发展起矩阵量子矩阵量子力学。力学。薛定谔不同意统计解释，也不同意量子力学的测薛定谔不同意统计解释，也不同意量子力学的测量理论，所以拿了自己的论文去找玻尔，与其展开了一量理论，所以拿了自己的论文去找玻尔，与其展开了一场旷世的讨论，并设计了场旷世的讨论，并设计了“猫猫”问题

9、。更有意思的是他问题。更有意思的是他也不同意玻尔的也不同意玻尔的量子跃量子跃迁假说假说后记：后记：关于波动力学与矩阵力学：关于波动力学与矩阵力学：一年后，薛定谔证明波动力学与矩阵力学具有一年后，薛定谔证明波动力学与矩阵力学具有等效性等效性维也纳：金色大厅,贝多芬, 莫扎特,舒柏特,.车尔尼, 李斯特,海顿;薛定谔,阿尔卑斯山,多瑙河,希特勒SalzburgInnsbruckhallstatt人类发展指数HDI（Human Development Index)中国 排在 101名 （2012）有关对薛定谔方程的讨论：有关对薛定谔方程的讨论：（1 1） 算符：算符作用于波函数，可得到相应的物理学量

10、算符：算符作用于波函数，可得到相应的物理学量iEti ()xyzpiEti p薛定谔竟然发现了波函数的一个具有决定性意义的用途！222T 22+( )( )2HT U rU r 22i( )2U rHEt 第三章要具体学习算符！（2 2）薛定谔方程含有守恒定律）薛定谔方程含有守恒定律 粒子的空间几率密度及其变化率进一步计算变化率这是某个矢量的散度这是某个矢量的散度计算细节：计算细节：(1)*12 pp代回原方程，可得概率变化率的微分表达式上式具有连续性方程形式，如在任意空间区域 V内积分,由 Gauss 定理,可得它的积分表达式ddddVSt JS(2) 定义这个矢量定义这个矢量 ：说明：单位

11、时间内体系V中增加的概率大小等于穿过V的边界面S进入V内的概率。所以 是概率流密度，（1）（2）式分别是概率守恒定律的微分和积分形式。Jd d0dt 全(3)即:整个空间找到粒子的概率不随时间发生变化，也就是说归一化是不随时间变化的. 在上式中,让 (全空间),得 23d,d0dtrt全r物理意义：粒子既未产生也未湮没. 概率守恒定律就是粒子数守恒定律在守恒方程中若定义如下质量密度和质量流密度2*| ,()2iJJ 可得质量守恒定律：0Jt(4)若定义如下电荷密度和电流密度2*| ,()2eei eeeJeJ 可得电荷守恒定律：0eeJt(5)（3 3）薛定谔方程对波函数的要求）薛定谔方程对波

12、函数的要求单值性连续性有限性空间某点的概率应唯一概率密度和概率流是连续的，这也是波的一般特性 概率密度和概率流在空间是有限的（）定态问题）定态问题 若势函数不显含时间 ,Ut时间和坐标可变量分离，设方程的特解为： , rrtf t(2)代入式(),得 22id1d2fUEf ttrrr (3)22i,( ),2tU rtt rr(1) didfEf tt 222EEUErrr i/ eEtf t此波函数 称为定态波函数，对应方程（4）称为定态薛定谔方程。(4)波函数 （2） 描述的态具有确定的能量E，称为定态， EEECrr而波函数 描述的态具多个能量，称为非定态 i/,eEtEtf trrr

13、(2)在上方程中，定义哈密顿算符： 222HTUUr 得定态薛定谔方程的哈密顿形式：HE(5)象（5）这样，具有：形式的方程称为该算符的本征方程，常数称为该算符的本征值，波函数称为该算符的属于该本征值的本征函数。本征函数描述的态称为本征态 222EEUErrr （）本征值问题）本征值问题能量具有确定值的态，也称为能量本征态 定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数及其对应的本征能量 ；因此，求解能量本征方程（5）以求定态波函数的问题可归结为求解“定态方程（4）+定解条件”构成的能量本征能量本征值问题值问题: E22( )( )( )2EEU rrEr +定解条件本征能量值谱：12,nEEE12

14、( ),( ),( ),nEEErrr本征函数系： 本征函数： ,nnniE tEEr tr e 根据态叠加原理，能量本征态是体系的一整套“完备基函数”，比如 .那么这个体系处于任一状态的波函数都可以在这个完备集上展开：nE ( , ),nnniE tnEnEnnr tcr tcr e如果能量本征值问题能量本征值问题得解： 对以上体系进行能量的量子测量，测得的能量只能是本征能量谱：中的一个；测得能量为的概率为；并且测量后，波函数塌缩到本征态并处于这个态上。12E ,E ,.,E ,.nEn2|ncEn 1、证明如果 和 都是薛定谔方程的解，则它们的线性组合 也是薛定谔方程的解2. 求下列两定态

15、波函数的概率流密度1212ab1211,ikrikreerr作业：3. 试述什么是定态，写出定态波函数的基本形式()/()/222222222./( / )22i p rEti p rEtAeAipeipip ppp ()/()/1. i p r Eti p r EtAeiEAetiEiEt 返回返回222223.( )211( )( )22iU rtiU rU rtii 2*2*2*2*14.( )21()( ) 21( )21( )2iU rtiiU rtiiU rtiiU rti *2*2*22*5.()() 返回返回总结：1. 什么是定态；定态的性质：什么是定态；定态的性质： 势函数不

16、显含时间，能量取确定值的态称为定态。性质：定态的概率密度和概率流密度都不随时间改变。2. 波函数统计解释及物理意义波函数统计解释及物理意义 描述粒子的德布罗意波是概率波，波函数在某空间点的强度，即其振幅绝对值的平方与在这一点找到该粒子的概率成比例 。物理意义：指明波函数只一种概率幅，它不仅在经典力学中没有对应的物理量,而且自身也没有直接的物理意义。3. 态叠加原理及物理意义态叠加原理及物理意义 若 和 是体系的可能状态，则其线性叠加态 也是体系的可能状态。物理意义：通过波函数的叠加，体现物质的波粒二象性，并表明波函数满足线性方程。21122cc1.波函数及其物理内涵波函数及其物理内涵 波函数把物质的粒子性和波动性统一起来，完全描述体系的量子态。它并不代表什么物理实在，它在空间某点的模方和在该点找到粒子的概率成比例。因此，它具有单值，有限和连续的特点。. .薛定谔方程薛定谔方程 描述势场 中微观粒子量子态的波函数 随时间的演化满足薛定谔方程： 如果势场不显含时间，则体系