第三章导数的应用

1、第三章 导数的应用 3.1 中值定理 这里所讲的中值定理是微分学中值定理，它是微积分学得重要理论基础。中值定理包括三个定理两个推论。x0yAB 如右图中的一个在区间内可导的函数的图像，它是一条光滑曲线。这条曲线的两个端点A、B的纵坐标相等，即，可以看到，曲线上存在着这样的具有水平切线的点，也就是说函数在这样的点处导数等于零。一般地，有如下定理：² 定理3.1（罗尔Rolle定理）如果函数满足条件：在上连续；在内可导；，则在区间内至少存在一点，使。证明：因为在上连续，由闭区间上连续函数的性质，可知在上必有最大值和最小值。于是，有两种可能情况。 ，此时在上恒为常数，则在内处处有。 ，由于

2、，与中至少有一个不等于端点的函数值，我们不妨假定，就是说最大值不在两个端点处取值，则内至少有一点，使得。我们可以证明。 因为是函数在内的最大值，所以总有，当时，有，又因为在内可导，所以在点处可导，即存在，由极限的保号性，有 同理，当时，有，于是 由可知，。下面通过一个例子来证明罗尔定理。设，在区间显然满足罗尔定理前两个条件，且，即第三个条件也成立，这时按照罗尔定理得结论，一定能在内找到，使。令，解得。取，有。x0yAB如果取消罗尔定理得第三个条件并改变相应得结论，就得到更一般的拉格朗日定理。² 定理3.2（拉格朗日定理）如果函数满足条件：在上连续；在内可导；则在区间内至少有一点，使得

3、。从几何上看，拉格朗日定理的意义是明显的，如上图所示，平移经过曲线两个端点的直线，移至与曲线只有一个交点处，如图中的的对应点处，在处的切线的斜率即为，因为两条直线平行，所以与直线的斜率相等。而，于是有，就是满足定理结论的点。拉格朗日定理还有下面两个推论：² 推论1 如果函数在区间内任一点的导数都等于零，则在内是一个常数。证明：在区间上取定一点及。显然，函数在或上满足微分中值定理得条件。根据微分中值定理，有，在与之间。 已知，从而或。 设，即，有。例1.证明: 证明: 已知,有. 由推论1,其中是常数.为了确定常数,令,有,即.² 推论2 如果函数与函数在区间内的导数处处相等

4、，即，则与在区间内只相差一个常数，即。证明: ,有。由推论1 ，有或，其中是常数。例2.证明不等式.证明: 令,因为是初等函数,所以在其定义域上连续,因而在上连续.由可知在内可导,则在区间上满足拉格朗日定理条件,所以至少存在一点,使得.而,由知,即.又,当时,由式可得,于是,有,即.对于更一般的情况,还有下面的柯西定理.² 定理3.3（柯西定理）如果与都在上连续,都在内可导,而且在内,则在内至少存在一点,使得.在上式中,如果,就变成拉格朗日定理,所以拉格朗日定理是柯西定理的特例.3.2 洛比达法则我们在第一章中曾经介绍过利用极限的运算法则,函数的连续性和两个重要极限求极限的方法,本节

5、将介绍一种借助于导数来求极限的新方法,即用洛比达法则求极限的方法.在求极限的过程中,常常遇到这样的情形,即在同一变化过程中分子、分母同时趋于零或同时趋于无穷大的情形,这时分式的极限可能存在也可能不存在(例如,而不存在),通常分别称这两类极限为“”型或“”型未定式.对于成可利用极限运算法则或重要极限计算的形式,这种变形没有一般方法,需视具体情况而定,有时很难把握, 所能解决问题有限.下面我们介绍的洛比达法则将提供一种简便、可行、具有一般的求未定式极限的方法.洛比达法则 “”型若函数与满足条件:与在点的某个邻域内(点可除外)可导,且(或).则(或).洛比达法则 “”型若函数与满足条件:与在点的某个

6、邻域内(点可除外)可导,且(或).则(或).对于法则(一)和法则(二),把改为,仍然成立.例1. 求 解：当时，有和，这是“”型未定式，由洛比达法则 例2. 求 解：当时，有和，这是“”型未定式，由洛比达法则 “”型 例3.求 解：当时，有和，这是“”型未定式， 由洛比达法则 “”型 例4.求解：当时，有和，这是“”型未定式，由洛比达法则 例5.求 “”型解：当时，有和，这是“”型未定式，由洛比达法则 例6.求解：当时，有和，这是“”型未定式，由洛比达法则 （利用重要极限）洛比达法则不但可以用来求“”和“”型未定式的极限,还可以用来求 “”, “”,“”, “ ”, “”型未定式的极限.求这几

7、种未定式极限的基本方法就是设法将它们化为“”或“”型.后面三种类型做起来比较复杂,我们只举例前两种类型的解法.例7.求 (“”型)解:例8.求 (“”型) 解: (转化为“”型) 例9.求 (“”型) 解: 其中, 有例10.求 (“ ”型)解: 其中,有.例11.求 (“”型)解: 其中, 有例12.求解: 这是“”型型未定式,但极限不存在,即不满足洛比达法则的第三个条件,所以不能使用洛比达法则.事实上,原极限可由下面的方法求出: . 从上面的例子可以看出,洛比达法则虽然是求出未定式极限的一种有效的方法,但它不是王能的,有时会失效.不能用洛比达法则求出的极限不一定不存在.3.3 函数的单调性

8、 一个函数在某个区间的单调增减性变化规律,是我们研究函数图形时首先要考虑的.第1章里已经给出了单调性的定义,现在介绍利用导数判定函数单调性的方法. 先从几何直观上分析,容易看到,左下图中的曲线是上升的,其上每一点处的切线与轴正向的夹角都是锐角,切线的斜率大于零,也就是说在相应点处的导数大于零.相反地,右下图中的曲线是下降的,其上每一点处的切线与轴正向的夹角都是钝角,切线的斜率小于零,也就是说在相应点处的导数小于零.xy0xy0一般地,有判定定理: ² 定理3.4 设函数在区间内可导. 如果在内,那么函数在内(严格)单调增加; 如果在内,那么函数在内(严格)单调减少.证明: 在区间内任

9、取两点,设.由于在内可导,所以在闭区间上连续,在开区间内可导,满足拉格朗日定理条件,因此有 .因为,若,则,即.由定义知,在内单调增加;若,同理可证, 在内单调减少. 特别说明:这个判定定理只是函数在区间内单调增加(减少)的充分条件.例1. 确定函数的单调区间.解:. 解方程,得.它们将定义域分成4个子区间.由于导数在区间内部不再变号,我们只要分析在每个区间的符号即可. 为了方便,我们列表分析在各个区间的符号,表中第一行是自变量被导数等于零的点分成的几个子区间，下面是导数的几个因子在各区间内的符号，然后是导数在各区间的符号，最后一行是函数在各区间的单调性。x-0+-0+0-0-0+从上表中容易

10、看出，在区间和内单调减少，在区间和内单调减少。例2. 确定函数的单调区间.解： 由，求得。这三个点将函数定义域分为四个子区间，于是列表分析如下：x-0+-+-0+-0+0-0+从上表中容易得到：在区间和内单调减少，在区间和内单调增加。总结：讨论可导函数的单调区间可按下列步骤进行： 确定函数的定义域；求导函数的零点（或方程的根）；用零点将定义域分成若干开区间；判别导函数在每个开区间的符号。根据定理3.4，确定函数的增加或减少。函数不等式是函数之间的大小关系，应用函数单调性的判别法可证明一些函数的不等式。例3. 证明：，有不等式.证明:分别证明这两个不等式: 左端不等式 设. ,有,从而,函数在单

11、调增加,且.于是, ,有,即,有.右端不等式 设.,有.从而,函数在单调增加,.于是, ,有,即,有.综上所证, ,有不等式.3.4 函数的极值3.4.1函数的极值从上节例2中看到,从的左边邻近变到右边邻近时,由单调减少变为单调增加,即点是函数由减少到增加的转折点,因此,在的左右邻近恒有.相反地,是函数由增加到减少的转折点,因此,在的左右邻近恒有.像这样的单调区间的转折点在应用上具有特殊的意义,我们定义如下: 定义3.1：设函数在点的某个邻域内有定义.如果对于该邻域内任意的总有,则称为函数的极大值,并且称点是的极大值点.如果对于该邻域内任意的总有,则称为函数的极小值,并且称点是的极小值点.函数

12、的极大值与极小值统称为函数的极值,极大值点与极小值点统称为极值点.特别指出: 函数的极值是一个局部概念,它只是与极值点邻近的点的函数值相比是较大或较小，而不意味着它在函数的整个定义域区间内为最大或最小。如上图所示的函数，它在点和点各取得极大值，在点和点各取得极小值。从图中可以看到，极大值甚至小于极小值，还可以看到，这些极大值都不是函数在区间上的最大值，极小值也不是定义区间上的最小值。图中还可能显示出，极值点处如果有切线的话，一定是水平方向的。但是，有水平切线的点不一定是极值点。如曲线在点处的切线是水平的，却不是极值点。在上述几何直观的基础上，我们给出下面的定理：² 定理3.5（极值存

13、在的必要条件）如果在点处取得极值且在点处可导，则。证：不妨假定点是极大值点，则存在的某个邻域，在此邻域内总有，于是，当时，由于存在，所以；当时，由于存在，所以； 故只能有 关于这个定理需要说明两点：只是在点处取得极值的必要条件，而不是充分条件。事实上，我们熟悉的函数在时，导数等于零，但在该点并不取得极值。定理的条件之一是函数在点可导，而导数不存在（但连续）的点也有可能取得极值，例如，显然不存在，但在处却取得极小值。如图所示通常把使导数为零的点称为驻点。函数的极值点只能在驻点和导数不存在的点中产生，但是驻点和导数不存在的点又不一定时极值点，下面给出判断极值的两个充分条件。² 定理3.6

14、 （极值判别法）设函数在点的邻域内连续且可导（允许不存在），当由小增大经过点时，若由正变负，则是极大值点；由负变正，则是极小值点；不改变符号，则不是极值点。把必要条件和充分条件结合起来，就可以求函数的极值了。例1. 求函数的极值.解： 令,解得三个驻点: 0,3,5;三个驻点将函数的定义域分为四个区间: ,列表分析如下: x-0-0+-0+0+0-0+不是极值点极大点极小点因为,不会影响导数的符号,故我们列表时略去这个因子. 由表可见函数的极大值点是3,极大值是;极小值点是5,极小值是.² 定理3.7 （极值判别法）设函数在点处有二阶导数，且存在.若,则函数在点处取得极大值.若,则函

15、数在点处取得极小值.若,则不能判断是否是极值.说明: 对于的情形,可能是极大值,可能是极小值,也可能不是极值.例如,是极大值;, ,是极小值; ,但不是极值.因此,当时,第二判别法失效,只能用第一判别法判断.例2. 求函数的极值.解: 求,解得. 求,并用判别法判断. ,所以是极大值点.的极大值为.,所以是极小值点.极小值为.我们把求函数极值的步骤归纳如下: 求的导数;解方程,求出在定义域内的所有驻点;找出在定义域内所有导数不存在的点;分别考察每一个驻点或导数不存在的点是否为极值点,是极大值点还是极小值点;求出各极值点的函数值.在经济分析中,经常遇到利润最大、成本最低、投资最省等问题，在数学上

16、就是函数的最大值和最小值问题。3.4.2函数的最大值与最小值 对于一个闭区间上的连续函数，它的最大值、最小值只能在极值点或端点上取得。因此，只要求出函数的所有极值和端点值，它们之中最大的就是最大值，最小的就是最小值。最大、最小值与极大、极小值是不同的。极值是局部性的概念，在一个区间内可能有多个数值不同的极大值或极小值，有的极小值也可能大于某个极大值，而最大值和最小值是整体的概念，是所考察的闭区间上全部函数值的最大者或最小者。函数在区间上取得最大值的点可能不只一个，但最大值只有一个；取得最小值的点也可能不只一个，但最小值也只有一个。根据最大值和最小值的概念，我们得出它们的求法如下：求出在内的所有

17、驻点和一阶导数不存在的连续点，并计算各点的函数值（不必判断这些点是否取得极值，是极大值还是极小值）.求出端点的函数值和.比较前面求出的所有函数值,其中最大的就是在上的最大值,其中最小的就是在的最小值.例3. 求函数在上的最大值与最小值.解: 令,解得. 计算出;再计算出. 比较这三个函数值,得出在上的最大值为,最小值为.例4. 求函数在上的最大值与最小值.解: 令,解得. 计算出.再计算出.比较以上三个函数值得出在上的最大值为,最小值为.事实上,有,故是单调增加的,单调函数的最大值和最小值都发生在区间的端点处.特别值得指出的是:在一个区间(有限或无限,开或闭)内可导且只有一个驻点,并且这个驻点

18、是的唯一极值点,那么,当是极大值时,就是在该区间上的最大值,当是极小值时, 就是在该区间上的最小值.在应用问题中往往遇到这样的情形,这时可以当作极值问题来解决,不必与区间的端点值相比较.例5. 欲用长6米的铝合金材料加工一日字形窗框如右图所示,问它的长和宽分别为多少时,才能使窗户面积最大,最大面积是多少?解: 设窗框的宽为米,则长为米.为了保证窗框的 长度是正数,得到的取值范围在区间内,于是窗户 的面积, 令,求得驻点,因为,所以是极大值点.由于在区间内有唯一的极大值,则这个极大值就是最大值.于是得到,窗户的宽为1米,长为米时,窗户的面积最大,最大面积为.例6. 设有一个长,宽的矩形贴片,如图

19、所示,在每个角上剪去同样大小的正方形.问剪去正方形的边长多大,才能使剩下的铁片折起来做成开口盒子的容积为最大.解: 设剪去的正方形的边长为.于是,做成开口盒子的容积是的函数,即,其中.问题归结为求可导函数在的最大值. 3.4.3最大值与最小值在经济问题中的应用举例 令.解得驻点为,其中去掉,只有一个驻点.比较三个数,其中,最大.于是,剪去的正方形的边长为时,做成开口盒子的容积为最大,最大容积是.1. 最大利润问题利润是衡量企业经济效益的一个主要指标。在一定的设备条件下，如何安排生产才能获得最大利润，这是企业管理中的一个现实问题。例7. 某厂生产某种产品，其固定成本为3万元，每生产一百件产品，成

20、本增加2万元，其收入（单位：万元）是产量（单位：百件）的函数：，求达到最大利润时的产量。解：由题意，成本函数为，于是，例润函数 令，得百件 因，所以当时，函数取得极大值，因为是唯一的极值点，所以就是最大值点，即产量为300件时取得最大利润。2. 最小成本问题例8. 已知某个企业的成本函数为，其中表示成本（单位：千元），表示产量（单位：），求平均可变成本（单位：千元）的最小值。解：平均可变成本，。 令，得. ,所以时,取得极小值,由于是唯一的极值,所以就是最小值.千元.即产量为时,平均可变成本取得最小值9750元.3.5 函数在经济分析中的应用 本节向大家介绍导数概念在经济学中的两个应用-边际分

21、析和弹性分析3.5.1边际分析边际概念是经济学中的一个重要概念,一般指经济函数的变化率.利用导数研究经济变量的边际变化的方法,称作边际分析方法.1. 边际成本在经济学中，边际成本定义为产量增加一个单位时所增加的成本。设某产品产量为单位时所需的总成本为.由于(注解:参考本书55页)所以边际成本就是总成本函数关于产量的导数.2. 边际收入在经济学中,边际收入定义为多销售一个单位产品所增加的销售收入.设某产品的销售量为时的收入函数为,则收入函数关于销售量的导数就是该产量的边际收入.3. 边际利润设某产品的销售量为时的利润函数为,当可导时,称为销售量为时边际利润,它近似等于销售量为时再多销售一个单位产

22、品所增加(或减少) 的利润.由于利润函数为收入函数与总成本函数之差,即由导数运算法则可知.即边际利润为边际收入与边际成本之差.例1. 设某个产品产量为(单位:吨)时的总成本函数(单位:元)为 求 产量为100吨时的总成本;产量为100吨时的平均成本;产量从100吨增加到225吨时,总成本的平均变化率.产量为100吨时,总成本的变化率(边际成本).解: 产量为100吨时的总成本为 (元)产量为100吨时的平均成本为 (元/吨)产量从100吨增加到225吨时,总成本的平均变化率为: (元/吨)产量为100吨时,总成本的变化率(边际成本)为: (元) 这个结论的经济含义是: 当产量为100吨时,再多

23、生产一顿所增加的成本为9.5元.例2. 设某产品的需求函数为,求边际收入函数,以及和时的边际收入.解: 收入函数为(注解:参考本书32页) ,式中的销售价格需要从需求函数中反解出来,即,于是收入函数为,边际收入函数为 由所得结果可知,当销售量及需求量为20个单位时,再增加销售可使总收入增加,再多销售一个单位产品,总收入约增加12个单位;当销售量为50个单位时,再增加销售总收入不会再增加;当销售量为70个单位时,再多销售一个单位产品,反而使总收入大约减少8个单位.3.5.2弹性分析弹性分析也是经济分析中常用的一种方法，主要用于对生产、供给、需求等问题的研究.下面先给出弹性的一般概念.给定变量,它

24、在某处的改变量称为称为绝对改变量.给定改变量与变量在该处的值之比称为相对改变量.定义3.2：对于函数,如果极限存在, 则称为函数在点处的弹性,记作,即从定义可以看出函数的弹性是函数的相对改变量与自变量的相对改变量比值的极限,它是函数的相对变化率,或解释成当自变量变化百分之一时函数变化的百分数. 由需求函数可得需求弹性为根据经济理论，需求函数是单调减少函数，所以需求弹性一般取负值。利用供给函数，同样定义供给弹性例3. 设某商品的需求函数为，求价格为100时的需求弹性并解释其经济含义。解： 它的经济意义是：当价格为100时，若价格增加1%，则需求减少2%。3.6 利用导数研究函数3.6.1函数的凹

25、向与拐点 在研究函数图像的变化状况时，了解它上升和下降的规律是重要的，但是只了解这一点是不够的，上升和下降还不能完全反映图像的变化。有图所示函数的图像在区间内始终是上升的，但却有不同的弯曲状况。可以看到，从左端点开始，曲线先向上弯曲，通过点后改变了弯曲方向，变为向下弯曲。因此，研究函数图像时，考察它的弯曲方向以及改变弯曲方向的点是完全必要的。从图中还可以看出，曲线向上弯曲的弧段位于该弧段上任意一点的切线的上方；而向下弯曲的弧段则位于该段上任意一点的切线的下方。据此，我们给出如下定义： 定义3.3：如果在某个区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的上方，则称曲线在这个区间内是上凹的，如左图中函数；

26、如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的下方，则称曲线在这个区间内是下凹的，如左图中函数² 定理3.8 设函数在区间内存在二阶导数.若时,恒有,则曲线在内上凹;若时,恒有,则曲线在内下凹;因为时,单调增加,从小变大,由左上图中函数可见曲线上凹;反之,当时, 单调减少, 从大变小,由左上图函数可见曲线下凹.定义3.4：曲线上凹与下凹的分界点称为曲线的拐点.拐点既然是上凹与下凹的分界点,那么在拐点的左、右邻近必然异号，因而在拐点处有或不存在。 与驻点的情形类似，使的点只是可能的拐点，究竟是否为拐点，还要根据在该点的左右邻近是否异号来确定。于是，我们归纳出来求拐点的一般步骤：求函数的

27、二阶导数；令，解出全部根，并求出所有二阶导数不存在的点；对步骤求出的每一点，检查其左、右邻近的的符号，如果在两侧异号，点是拐点；如果在两侧同号，点不是拐点。例1.求曲线的凹向区间与拐点。解： 令，解得。 仿照3.4、3.5节的方法，列表来讨论曲线的凹向区间和拐点： 的凹向和拐点拐点拐点曲线在及两个区间上凹，在区间下凹，所以点和点是它的两个拐点。例2. 讨论函数的凹向区间与拐点.解: 函数的定义域是. 令,无解.列表如下: 显然,函数在与都是下凹的,没有拐点.例3. 求曲线的凹向区间与拐点.解: , 在内恒不为零,但时, 不存在. 在处连续,且,因此需要判断点是否为拐点. 在的左侧邻近时,在的右侧邻近时, .即在 两侧异号,所以点是曲线的拐点.实际上,从下图中不难看到, 点确实是曲线的拐点,只不过这点处的切线为铅垂方向的,故一阶导数、二阶导数都不存在。3.6.2函数的渐近线