八年级数学下册三角形的证明实用教案

1、上册第一章复习上册第一章复习 知识知识(zh shi)归纳归纳知识(zh shi)归纳1等腰三角形的性质等腰三角形的性质性质性质(1)：等腰三角形的两个底角：等腰三角形的两个底角 .性质性质(2)：等腰三角形顶角的：等腰三角形顶角的 、底边上的、底边上的 、底边上的高互、底边上的高互相重合相重合2等腰三角形的判定等腰三角形的判定(pndng)(1)定义：有两条边定义：有两条边 的三角形是等腰三角形的三角形是等腰三角形(2)等角对等边：有两个角等角对等边：有两个角 的三角形是等腰三角形的三角形是等腰三角形相等相等平分线平分线中线中线相等相等相等相等第1页/共43页第一页，共44页。上册第一章复习

2、上册第一章复习 知识知识(zh shi)归纳归纳3用反证法证明的一般步骤用反证法证明的一般步骤(1)假设命题的结论假设命题的结论(jiln)不成立；不成立；(2)从这个假设出发，应用正确的推论方法，得出与定义、公理、从这个假设出发，应用正确的推论方法，得出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果；已证定理或已知条件相矛盾的结果；(3)由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题的结论由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题的结论(jiln)正正确确4等边三角形的判定等边三角形的判定(1)有一个角等于有一个角等于60的的 三角形是等边三角形；三角形是等边三角形；等腰等腰第2页/共43页第二页，共

3、44页。上册第一章复习上册第一章复习 知识知识(zh shi)归类归类(2)三边相等三边相等(xingdng)的三角形叫做等边三角形；的三角形叫做等边三角形；(3)三个角相等三个角相等(xingdng)的三角形是等边三角形；的三角形是等边三角形；(4)有两个角等于有两个角等于60的三角形是等边三角形的三角形是等边三角形5直角三角形的性质直角三角形的性质在直角三角形中，如果一个锐角等于在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于，那么它所对的直角边等于斜边的斜边的 .6勾股定理及其逆定理勾股定理及其逆定理勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的勾股定理：直角三角形两条直角

4、边的平方和等于斜边的 .一半一半(ybn)平方平方第3页/共43页第三页，共44页。上册第一章复习上册第一章复习 知识知识(zh shi)归类归类逆定理逆定理(dngl)：如果三角形两边的平方和等于第三边的平：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是方，那么这个三角形是 三角形三角形7线段的垂直平分线的性质定理线段的垂直平分线的性质定理(dngl)及判定定理及判定定理(dngl)性质定理性质定理(dngl)：线段的垂直平分线上的点到这条线段两：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离个端点的距离 .判定定理判定定理(dngl)：到一条线段两个端点距离相等的点，在：到一条线

5、段两个端点距离相等的点，在这条线段的这条线段的 上上点拨点拨 线段的垂直平分线可以看作和线段两个端点距离相线段的垂直平分线可以看作和线段两个端点距离相等的所有点的集合等的所有点的集合直角直角(zhjio)相等相等垂直平分线垂直平分线第4页/共43页第四页，共44页。上册第一章复习上册第一章复习 知识知识(zh shi)归类归类8三线三线(sn xin)共点共点三角形三条边的垂直平分线相交于三角形三条边的垂直平分线相交于 ，并且这一点到三，并且这一点到三角形三个顶点的距离角形三个顶点的距离 .9角平分线的性质定理及判定定理角平分线的性质定理及判定定理性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离性质

6、定理：角平分线上的点到这个角两边的距离 .判定定理：在一个角的内部，且到角的两边判定定理：在一个角的内部，且到角的两边 相等的点，相等的点，在这个角的平分线上在这个角的平分线上相等相等(xingdng)相等相等距离距离一点一点第5页/共43页第五页，共44页。上册第一章复习上册第一章复习(fx) 知识归类知识归类注意注意 角的平分线是在角的内部角的平分线是在角的内部(nib)的一条射线，所以它的逆定的一条射线，所以它的逆定理必须加上理必须加上“在角的内部在角的内部(nib)”这个条件这个条件10三角形三条角平分线的性质三角形三条角平分线的性质三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的

7、距离三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离 .相等相等(xingdng)第6页/共43页第六页，共44页。 考点考点(ko din)(ko din)一线段垂直平分线的性质的应用一线段垂直平分线的性质的应用上册第一章复习上册第一章复习 考点考点(ko din)攻略攻略考点(ko din)攻略 例例1如图如图S11，在，在ABC中，中，DE垂直平分垂直平分AC交交AB于于E，A30，ACB80，则，则BCE_.5050 第7页/共43页第七页，共44页。上册第一章复习上册第一章复习 考点考点(ko din)攻略攻略解析解析 根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点根据线段垂

8、直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离到线段两端点的距离(jl)相等，所以相等，所以EAEC，AACE30，又，又ACB80，故，故BCE803050.第8页/共43页第八页，共44页。上册第一章复习上册第一章复习 考点考点(ko din)攻略攻略第9页/共43页第九页，共44页。上册第一章复习上册第一章复习(fx) 考点攻略考点攻略 考点考点(ko din)(ko din)二全等三角形的证明二全等三角形的证明例例2如图如图S12，在，在ABC和和DEF中，中，B，E，C，F在同一在同一(tngy)直线上，下面有四个条件，请你从中选三个作为题设，余下的一直线上，下面有四个条件，

9、请你从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个正确的命题，并加以证明个作为结论，写出一个正确的命题，并加以证明ABDE，ACDF，ABCDEF，BECF.第10页/共43页第十页，共44页。上册第一章复习上册第一章复习 考点考点(ko din)攻略攻略解：答案不惟一，命题解：答案不惟一，命题(mng t)一：在一：在ABC和和DEF中，中，B，E，C，F在同一直线上，在同一直线上，ABDE，AC DF，BECF.求证：求证：ABCDEF. 命题命题(mng t)二：在二：在ABC和和DEF中，中，B，E，C，F在同一直线上，在同一直线上，ABDE，ABCDEF，BECF.求证：求证：AC

10、DF.下面证明命题下面证明命题(mng t)一：一：已知：如题图，在已知：如题图，在ABC和和DEF中，中，B，E，C，F在同一直线上，在同一直线上，ABDE，AC DF，BECF.求证：求证：ABCDEF.第11页/共43页第十一页，共44页。上册第一章复习上册第一章复习 考点考点(ko din)攻略攻略证明证明(zhngmng)：在：在ABC和和DEF中，中，BECF，BCEF.又又ABDE，ACDF，ABC DEF(SSS)ABCDEF.第12页/共43页第十二页，共44页。上册第一章复习上册第一章复习 考点考点(ko din)攻略攻略第13页/共43页第十三页，共44页。上册第一章复习

11、上册第一章复习(fx) 考点攻略考点攻略 考点三勾股定理考点三勾股定理(u dn l)(u dn l)的应用的应用 第14页/共43页第十四页，共44页。上册第一章复习上册第一章复习 考点考点(ko din)攻略攻略解析解析 这个有趣的问题是勾股定理的典型这个有趣的问题是勾股定理的典型(dinxng)应用，此应用，此问题看上去是一个曲面上的路线问题，但实际上能通过圆柱的侧面问题看上去是一个曲面上的路线问题，但实际上能通过圆柱的侧面展开而转化为平面上的路线问题，值得注意的是，在剪开圆柱侧面展开而转化为平面上的路线问题，值得注意的是，在剪开圆柱侧面时，要从时，要从A开始并垂直于开始并垂直于AB剪开

12、，这样展开的侧面才是个矩形，才剪开，这样展开的侧面才是个矩形，才能得到直角，再利用勾股定理解决此问题能得到直角，再利用勾股定理解决此问题第15页/共43页第十五页，共44页。上册第一章复习上册第一章复习(fx) 考点攻略考点攻略解：将圆柱解：将圆柱(yunzh)的侧面展开，如图的侧面展开，如图S14，圆柱，圆柱(yunzh)的底的底面周长为面周长为2r24，取其一半：，取其一半： 42，圆柱，圆柱(yunzh)的的高为高为2，根据勾股定理，得，根据勾股定理，得AC222228，所以，所以AC2 .第16页/共43页第十六页，共44页。上册第一章复习上册第一章复习(fx) 考点攻略考点攻略第17

13、页/共43页第十七页，共44页。上册第一章复习上册第一章复习(fx) 考点攻略考点攻略 考点考点(ko din)(ko din)四等腰三角形的判别四等腰三角形的判别 例例4已知：在已知：在ABC中，中，A90，ABAC，D为为BC的中的中点点(1)如图如图S14，E，F分别是分别是AB，AC上的点，且上的点，且BEAF，求证：，求证：DEF为等腰直角三角形；为等腰直角三角形；(2)若若E，F分别为分别为AB，CA延长线上的点，仍有延长线上的点，仍有BEAF，其他条，其他条件不变，那么件不变，那么(n me)，DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论论第18页

14、/共43页第十八页，共44页。上册第一章复习上册第一章复习(fx) 考点攻略考点攻略解析解析 要证明要证明DEF为等腰三角形，需要证为等腰三角形，需要证DEDF.连接连接(linji)AD，利用全等可得这一结论至于在延长线上，可利用同，利用全等可得这一结论至于在延长线上，可利用同样的方法样的方法第19页/共43页第十九页，共44页。上册第一章复习上册第一章复习(fx) 考点攻略考点攻略解：(1)证明(zhngmng)：连接AD，如图S16：ABAC，BAC90，D为BC的中点，ADBC，BDAD，BDAC45，又BEAF，BDE ADF(SAS)，EDFD，BDEADF，EDFEDAADFED

15、ABDEBDA90，DEF为等腰直角三角形第20页/共43页第二十页，共44页。上册第一章复习上册第一章复习(fx) 考点攻略考点攻略(2)若若E，F分别分别(fnbi)是是AB，CA延长线上的点，如图延长线上的点，如图S17所示：所示：连接连接AD，ABAC，BAC90，D为为BC的中点，的中点，ADBD，ADBC，DACABD45，DAFDBE135.又又AFBE，DAF DBE(SAS)，图S17第21页/共43页第二十一页，共44页。上册第一章复习上册第一章复习 考点考点(ko din)攻略攻略FDED，FDAEDB，EDFEDBFDBFDAFDBADB90，DEF仍为等腰直角三角形仍

16、为等腰直角三角形第22页/共43页第二十二页，共44页。上册第一章复习上册第一章复习(fx) 考点攻略考点攻略第23页/共43页第二十三页，共44页。上册第一章复习上册第一章复习 考点考点(ko din)攻略攻略 考点考点(ko din)(ko din)五角平分线与五角平分线与“截长补短截长补短”例例5如图如图S18，ADBC，点，点E在线段在线段(xindun)AB上，上，ADECDE，DCEECB.求证：求证：CDADBC.图S18第24页/共43页第二十四页，共44页。上册第一章复习上册第一章复习(fx) 考点攻略考点攻略解析解析 结论是结论是CDADBC，可考虑用，可考虑用“截长补短截

17、长补短(ji chng b dun)法法”中的中的“截长截长”，即在，即在CD上截取上截取CFCB，只要再证，只要再证DFDA即可，即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的第25页/共43页第二十五页，共44页。上册第一章复习上册第一章复习 考点考点(ko din)攻略攻略图图S19证明证明(zhngmng)：在：在CD上截取上截取CFBC，如图，如图S19，在在FCE与与BCE中，中，FCE BCE(SAS)，21.ADBC，ADCBCD180.又又ADECDE，第26页/共43页第二十六页，共44页。上册第一章复习上

18、册第一章复习 考点考点(ko din)攻略攻略DCECDE90，2390，1490，34.在在FDE与与ADE中，中，FDE ADE(ASA)，DFDA.CDDFCF，CDADBC.第27页/共43页第二十七页，共44页。上册第一章复习上册第一章复习 考点考点(ko din)攻略攻略第28页/共43页第二十八页，共44页。1以下命题中，是真命题的是以下命题中，是真命题的是()A两条直线只有相交和平行两条直线只有相交和平行(pngxng)两种位置关系两种位置关系B同位角相等同位角相等C两边和一角对应相等的两个三角形全等两边和一角对应相等的两个三角形全等D等腰三角形底边中点到两腰的距离相等等腰三角

19、形底边中点到两腰的距离相等D D 上册第一章复习上册第一章复习(fx) 习题讲析习题讲析第29页/共43页第二十九页，共44页。2下列说法中，正确的是下列说法中，正确的是()A等腰三角形边上的中线也是高等腰三角形边上的中线也是高B等腰三角形的内角平分线的交点到三个顶点的距离相等等腰三角形的内角平分线的交点到三个顶点的距离相等C等边三角形每条角平分线都平分对边等边三角形每条角平分线都平分对边D直角三角形一边上的中线等于这边直角三角形一边上的中线等于这边(zh bin)的一半的一半C C 上册第一章复习上册第一章复习(fx) 习题讲析习题讲析第30页/共43页第三十页，共44页。3在直角三角形中，

20、一条直角边长为在直角三角形中，一条直角边长为a，另一条边长为，另一条边长为2a，那么它，那么它的三个内角的三个内角(ni jio)之比为之比为()A1 2 3 B2 2 1C1 1 2 D以上都不对以上都不对D D 上册第一章复习上册第一章复习(fx) 习题讲析习题讲析第31页/共43页第三十一页，共44页。4如图如图S19，ABC中，中，ACB90，BA的垂直平分线交的垂直平分线交CB边于边于D，若，若AB10，AC5，则图中等于，则图中等于(dngy)60的角的个数的角的个数为为()A2 B3 C4 D5D D 图S110上册第一章复习上册第一章复习(fx) 习题讲析习题讲析第32页/共4

21、3页第三十二页，共44页。5如图如图S111，在，在RtABC中，中，C90，B15，DE是是AB的中垂线，垂足的中垂线，垂足(chu z)为为D，交，交BC于点于点E，若，若BE4，则，则AC_.2 2 图S111上册第一章复习上册第一章复习(fx) 习题讲析习题讲析第33页/共43页第三十三页，共44页。6若点若点P是是ABC内一点内一点(y din)，PDAB于于D，PEBC于于E，PFAC于于F，且，且PDPEPF，则点，则点P是是ABC的的()A三条高的交点三条高的交点B三条中线的交点三条中线的交点C三条角平分线的交点三条角平分线的交点D三条中垂线的交点三条中垂线的交点C上册第一章复

22、习上册第一章复习(fx) 习题讲析习题讲析第34页/共43页第三十四页，共44页。 7在平面在平面(pngmin)内，到内，到A，B，C三点距离相等三点距离相等的点有的点有()A只有一个只有一个 B有两个有两个C有三个或三个以上有三个或三个以上 D有一个或没有有一个或没有D上册第一章复习上册第一章复习(fx) 习题讲析习题讲析第35页/共43页第三十五页，共44页。8 8小明家有一块小明家有一块ABCABC的土地，如图的土地，如图S1S11212所示，其三边长所示，其三边长ABAB7070米，米，BCBC9090米，米，ACAC5050米，现要把米，现要把ABCABC分成面积比为分成面积比为5

23、79579的三部分，分别种植不同的农作物，请你设计一种的三部分，分别种植不同的农作物，请你设计一种(y (y zhn)zhn)方案方案图S112上册第一章复习上册第一章复习(fx) 习题讲析习题讲析第36页/共43页第三十六页，共44页。解：如图解：如图S113所示，分别所示，分别(fnbi)作作ACB和和ABC的平分的平分线，相交于点线，相交于点D，连接，连接AD，则，则SADC SADB SBDC5 7 9.图S113上册第一章复习上册第一章复习(fx) 习题讲析习题讲析第37页/共43页第三十七页，共44页。9.如图如图S114，在四边形，在四边形ABCD中，中，ADBC，E为为CD的中

24、的中点点(zhn din)，连结，连结AE，BE，BEAE，延长，延长AE交交BC的延长的延长线于点线于点F.求证：求证：(1)FCAD；(2)ABBCAD.上册第一章复习上册第一章复习(fx) 习题讲析习题讲析第38页/共43页第三十八页，共44页。证明证明(zhngmng)：(1)因为因为E是是CD的中点，所以的中点，所以DECE.因为因为ADBC，所以，所以ADEFCE，DAECFE.所以所以ADE FCE.所以所以FCAD.(2)因为因为ADE FCE，所以，所以AEFE.又因为又因为BEAE，所以，所以BE是是线段线段AF的垂直平分线，所以的垂直平分线，所以ABFB.因为因为FBBCFCBCAD.所以所以ABBCAD.上册第一章复习上册第一章复习(fx) 习题讲析习题讲析第3