第六章 简单的超静定问题 - 副本

1、P 挠度挠度 EIPlEIlPA1622222EIPlEIlPwA4832233转角转角2P6 61 1 静定问题及其解法静定问题及其解法第六章第六章 简单的简单的超静定问题超静定问题静定问题静定问题：约束反力或构件内力都能通过静力学的平衡方：约束反力或构件内力都能通过静力学的平衡方程求得，这类问题称为静定问题法程求得，这类问题称为静定问题法超静定问题超静定问题：约束反力或构件内：约束反力或构件内力不能单凭静力学的平衡方程求力不能单凭静力学的平衡方程求解的问题，称为超静定问题法解的问题，称为超静定问题法CPABD123EIq0LAB多余约束多余约束：在超静定系统中，我们把多余维持平衡所必要的支

2、座和杆件，习惯上称为“多余约束”。多余约束的支反力或内力称为“多余支反力多余支反力”。超静定的处理方法超静定的处理方法：平衡方程、变形协调方程、物理方程相结合，进行求解。超静定次数超静定次数：约束反力所超过的平衡方程的数目称为超静定次数。多余支反力的数目等于超静定的次数。变形协调方程（变形几何相容方程）变形协调方程（变形几何相容方程）：由于多余约束的存在，杆件或结构的变形所受到的多于静定结构的附加限制。物理方程物理方程：结构的变形与受力之间的关系称为物理关系或物理方程。把物理方程代入几何方程就得到补充方程。平衡方程和补充方补充方程。平衡方程和补充方程联立求解即可解出全部未知力。程联立求解即可解

3、出全部未知力。即综合考虑结构的几何、物理和静力学三方面的关系，通过解平衡方程和补充方程联立方程组，解出全部未知力。求解超静定问题的另一种方法求解超静定问题的另一种方法：设想将某的支座当作“多余”约束予以解除，并在该处施加相应的支反力。从而得到基本静定系或相当系统。列出解除约束处的变形协调条件，即变形相容方程。将力与位移间的物理关系代入变形相容方程，解出多余未知力解出多余未知力后，原系统变为静定系统，即可按静定系统进行计算。下面分别轴向拉压、扭转、弯曲的超静定问题来说明超下面分别轴向拉压、扭转、弯曲的超静定问题来说明超静定问题的解法。静定问题的解法。6 62 2 拉压超静定问题拉压超静定问题例题

4、例题6-1 已知杆AB两端固定，在C处受轴向拉力F ，轴的抗拉压刚度为EA，求杆的支反力。一、拉压超静定问题解法一、拉压超静定问题解法解：解：此问题为一次超静定问题解除B支座约束，代之以约束反力FB 。列出变形协调条件FBF0ACBC解：解：此问题为一次超静定问题解除B支座约束，代之以约束反力FB 。列出变形协调条件物理关系将物理关系代入变形协条条件得补充方程： 解得：0ACBCEAbFBBCFBFBCAEAa)FF(BAC和0EAa)FF(EAbFBBlFaFB方向与原假设方向一致。例例8 设1、2、3三杆用铰链连接如图，已知：各杆长为：L1=L2=L、 L3；各杆面积为A1=A2=A、 A

5、3 ；各杆弹性模量为：E1=E2=E、E3。外力沿铅垂方向，求各杆的内力。CPABD123解：、平衡方程:0sinsin21NNX0coscos321PNNNYPAN1N3N211111AELNL 33333AELNL几何方程变形协调方程：物理方程弹性定律：补充方程：由几何方程和物理方程得。解由平衡方程和补充方程组成的方程组，得:cos31LLcos33331111AELNAELN333113333331121121cos2 ; cos2cosAEAEPAENAEAEPAENNCABD123A11L2L3L平衡方程；几何方程变形协调方程；物理方程弹性定律；补充方程：由几何方程和物理方程得；解由

6、平衡方程和补充方程组成的方程组。3、超静定问题的方法步骤：、超静定问题的方法步骤：例例9 9 木制短柱的四角用四个40404的等边角钢加固，角钢和木材的许用应力分别为1=160M Pa和2=12MPa，弹性模量分别为E1=200GPa 和 E2 =10GPa；求许可载荷P。0421PNNY21LL2222211111LAELNAELNL几何方程物理方程及补充方程：解：平衡方程:PPy4N1N2PPy4N1N2 解平衡方程和补充方程，得:PNPN72. 0 ; 07. 021 11107. 0APN求结构的许可载荷： 方法1:角钢面积由型钢表查得角钢面积由型钢表查得: : A1 1=3.086=

7、3.086cm222272. 0APN kN104272. 0/1225072. 0/2222AP kN4 .70507. 0/1606 .30807. 0/111AP mm8 . 0/111ELmm2 . 1/222EL所以在所以在1 1= =2 2 的前提下，角钢将先达到极限状态，的前提下，角钢将先达到极限状态， 即角钢决定最大载荷。即角钢决定最大载荷。求结构的许可载荷： 07. 0 07. 0111ANPkN4 .70507. 06 .308160另外：若将钢的面积增大另外：若将钢的面积增大5倍，怎样？倍，怎样？ 若将木的面积变为若将木的面积变为25mm，又又怎样？怎样？结构的最大载荷永

8、远由钢控制着。结构的最大载荷永远由钢控制着。方法2:解：、平衡方程:2、静不定问题存在装配应力静不定问题存在装配应力。二、装配应力二、装配应力预应力预应力1、静定问题无装配应力。、静定问题无装配应力。 如图，3号杆的尺寸误差为，求各杆的装配内力。ABC12ABC12DA13A1N1N2N3:0X :0Y0sinsin21NN0coscos321NNNcos)(33331111AELNAELN、物理方程及补充方程： 、解平衡方程和补充方程，得: / cos21cos33113211321AEAEAELNN / cos21cos23311331133AEAEAELNAA13L2L1L、几何方程13

9、cos)(LLABC12DA13材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题 两根相同的钢杆两根相同的钢杆1、 2，其其长度长度l =200 mm，直径，直径d =10 mm。两端用刚性块连接在一。两端用刚性块连接在一起如图起如图a所示。将长度为所示。将长度为200.11 mm，亦即，亦即 e=0.11 mm的铜杆的铜杆3（图图b）装配在与杆装配在与杆1和杆和杆2对对称的位置称的位置( (图图c) )，求各杆横截面，求各杆横截面上的应力。已知：铜杆上的应力。已知：铜杆3的横的横截面为截面为20 mm30 mm的矩形，的矩形，钢的弹性模量钢的弹性模量E=210 GPa，铜

10、，铜的弹性模量的弹性模量E3=100 GPa。例题例题 6-3材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题1. 装配后为一次静不定问题。也装配后为一次静不定问题。也ke认为，根据对称认为，根据对称关系可判明关系可判明FN1=FN2，故未知内力只有二个，但要，故未知内力只有二个，但要注意此时就只能利用一个独立的静力平衡方程：注意此时就只能利用一个独立的静力平衡方程：)1(0201NN3 FFFx(d)所以这仍然是一次静不定问题。所以这仍然是一次静不定问题。例题例题 6-3解：解：材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题2. 变形相容条件变形相容

11、条件( (图图c) )为为这里的这里的 l3是指杆是指杆3在装配后的缩短值，不带负号。在装配后的缩短值，不带负号。)2(31ell 3. 利用胡克定律由利用胡克定律由(2)式得补充方程式得补充方程)3(33N3N1eAElFEAlF 材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题4. 联立求解联立求解(1)和和(3)式得式得 所得结果为正，所得结果为正，说明原先假定杆说明原先假定杆1、2的装配内力为拉力和的装配内力为拉力和杆杆3的装配内力为压的装配内力为压力是正确的。力是正确的。 EAAElAeEFAEEAleEAFF21121133333N332NN1例题例题 6-3材

12、料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题5. 各杆横截面上的装配应力如下：各杆横截面上的装配应力如下：MPa51.19MPa53.743N331N21 AFAF （拉应力）（拉应力）（压应力）（压应力）例题例题 6-31 1、静定问题无温度应力。、静定问题无温度应力。三三 、装配温度、装配温度 如图，1、2号杆的尺寸及材料都相同，当结构温度由T1变到T2时,求各杆的温度内力。（各杆的线膨胀系数分别为i ; T= T2 -T1)ABC12CABD123A11L2L3L2 2、静不定问题存在温度应力。、静不定问题存在温度应力。CABD123A11L2L3L、几何方程解：、

13、平衡方程:0sinsin21NNX0coscos321NNNYcos31LLiiiiiiiLTAELNL、物理方程：PAN1N3N2CABD123A11L2L3L、补充方程cos)(333333111111LTAELNLTAELN解平衡方程和补充方程，得: / cos21)cos(331132311121AEAETAENN / cos21cos)cos(233113231113AEAETAEN aaaaN1N2例例10 如图，阶梯钢杆的上下两端在T1=5 时被固定,杆的上下两段的面积分别 =cm2 ， =cm2，当温度升至T2 =25时,求各杆的温度应力。 (线膨胀系数 =12.5 ； 弹性模

14、量E=200GPa)C1106、几何方程：解：、平衡方程：021NNY0NTLLL、物理方程解平衡方程和补充方程，得:kN 3 .3321 NN、补充方程2211 ; 2EAaNEAaNLTaLNT22112EANEANT、温度应力MPa 7 .66111ANMPa 3 .33222AN63 扭转超静定问题扭转超静定问题解决扭转超静定问题的方法步骤：解决扭转超静定问题的方法步骤：平衡方程；平衡方程；几何方程几何方程变形协调方程；变形协调方程；补充方程：由几何方程和物理方程得；补充方程：由几何方程和物理方程得；物理方程；物理方程；解由平衡方程和补充方程组成的方程组。解由平衡方程和补充方程组成的方

15、程组。 例例55长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为 =0.8 ，外径 D=0.0226m ，G=80GPa，试求固端反力偶。解解：杆的受力图如图示， 这是一次超静定问题。 平衡方程为：02BAmmm几何方程变形协调方程0BA 综合物理方程与几何方程，得补充方程：040220200PAPALPBAGImdxGIxmdxGITmN 20 Am 由平衡方程和补充方程得：另:此题可由对称性直接求得结果。mN 20Bm材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题 图图a所示组合杆，由半径为所示组合杆，由半径为ra的实心铜杆和外的实

16、心铜杆和外半径为半径为rb，内半径为，内半径为ra的空心钢杆牢固地套在一的空心钢杆牢固地套在一起，两端固结在刚性块上，受扭转力偶矩起，两端固结在刚性块上，受扭转力偶矩Me作用。作用。试求实心铜杆和空心钢杆横截面上的扭矩试求实心铜杆和空心钢杆横截面上的扭矩Ta和和Tb，并绘出它们横截面上切应力沿半径的变化情况。并绘出它们横截面上切应力沿半径的变化情况。例题例题 6-6解：列平衡方程：0:0MTTMbax几何方程：BbBa物理关系paaaBaIGlTpbbbBbIGlT把物理关系代入几何方程得：bpbbpaaaTIGIGT 联立求解得：epbbpaapaaaMIGIGIGTepaapbbpbbbM

17、IGIGIGTTbTaMe材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题 实心铜杆横截面上任意点的切应力为实心铜杆横截面上任意点的切应力为 abbaaaaaarIGIGMGIT 0ppep空心钢杆横截面上任意空心钢杆横截面上任意点的切应力为点的切应力为 bbbaabbbbraIGIGMGIT ppep切应力沿半径的变化切应力沿半径的变化情况如图情况如图c所示。所示。ara arb rarb(c)材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题 由图由图c可见，在可见，在 = ra处，处， a b，这是因为，这是因为 Ga Gb 。在。在 = ra处，两

18、杆的切应变是相等的，即处，两杆的切应变是相等的，即,bbaaaGG 说明说明 = ra处变形是连续的。处变形是连续的。ara arb rarb(c)6-4 简单超静定简单超静定梁梁1、处理方法：变形协调方程、物理方程与平衡方程相结合，求全部未知力。解：建立静定基 确定超静定次数，用反力代替多余约束所得到的结构静定基。=EIq0LABLq0MABAq0LRBABxfLq0MABAMABAq0BA几何方程变形协调方程0AqAMAA物理方程变形与力的关系补充方程EIqLEILMAqAAMA24;3302433EIqLEILMA82qLMA求解其它问题（反力、应力、变形等）几何方程变形协调方程0BBR

19、BqBfff+q0LRBAB=RBABq0AB物理方程变形与力的关系补充方程EILRfEIqLfBBRBqB3;83403834EILREIqLB83qLRB求解其它问题（反力、应力、变形等）EIq0L/2ABL/2MCMC几何方程变形协调方程右左CC物理方程变形与力的关系补充方程几何方程 变形协调方程：解：建立静定基BCBRBqBLfffB=例例10 结构如图，求B点反力。LBCEAxfq0LRBABCq0LRBABEI=RBAB+q0AB=LBCEAxfq0LRBABCRBAB+q0AB物理方程变形与力的关系补充方程求解其它问题（反力、应力、 变形等）EILRfEIqLfBBRBqB3;

20、834EALREILREIqLBCBB3834)3(834EILALIqLRBCBEALRLBCBBC材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题 试求图试求图a所示结构中所示结构中AD杆内的拉力杆内的拉力FN。梁。梁AC和杆和杆AD的材料相同，弹性模量为的材料相同，弹性模量为E； AD杆的横截杆的横截面积为面积为A，AC梁的横截面对中性轴的惯性矩为梁的横截面对中性轴的惯性矩为I 。例题例题 6-7例题6-7解：解除A点约束，加一对多余约束反力N。lwwANAq几何方程:物理方程:lEAlFlNNNEIqaEIaaqaEIqawAq12724228244EIaFEIaa

21、aFEIaFwNNNAN33323得补充方程：EAlFEIaFEIqaNN34127所以：)(12734AaIlAqaFN材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题 试求图试求图a所示等截面连续梁的所示等截面连续梁的约束反力约束反力FA , FB , FC，并绘出该梁的剪力图和弯矩图。已知梁的弯并绘出该梁的剪力图和弯矩图。已知梁的弯曲刚度曲刚度EI=5106 Nm2。例题例题 6-8材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题1. 该梁有三个未知力该梁有三个未知力FA、 FB 、 FC ，仅有两个平，仅有两个平衡方程。故为一次超静定问题。衡方程

22、。故为一次超静定问题。例题例题 6-8解：解：材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题 2. 若取中间支座若取中间支座B处阻止其左、右两侧截面相对处阻止其左、右两侧截面相对转动的约束为转动的约束为“多余多余”约束，则约束，则B截面上的一对弯截面上的一对弯矩矩MB为为“多余多余”未知力，相当系统如图未知力，相当系统如图b。例题例题 6-8材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题BB 相当系统的位移条件是相当系统的位移条件是B处两侧截面的相对转角处两侧截面的相对转角等于零，即等于零，即例题例题 6-83. 查关于梁位移公式的附录查关于梁位移公式的附录可得可得 EIMEIBB3m424m4N/m102033 EIMEIBB3m5m56m2m5m2m3N10303 材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题 4. 将将 B B代入位移相容条件补充方程，从代入位移相容条件补充方程，从而解得而解得 这里的负号表示这里的负号表示MB的实际转向与图的实际转向与图b中所设相中所设相反，即为反，即为MB负弯矩。负弯矩。mkN80.31 BM例题例