九年级数学下册27.1圆的认识27.1.2圆的对称性同步跟踪训练1(含解析)(新版)华东师大

1、7.已知OO的面积为2n，则其内接正三角形的面积为（ ) 27.1.2 圆的对称性 1 一 选择题（共8小题） 1 在同圆或等圆中，下列说法错误的是（ ） A.相等弦所对的弧相等 B 相等弦所对的圆心角相等 C.相等圆心角所对的弧相等 D 相等圆心角所对的弦相等 2. 如图， 已知OO 的半径为13,弦AB长为24，则点0到AB的距离是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 3. 已知OO的直径CD=10cm AB是OO的弦，AB=8cm且AB丄CD垂足为 M贝U AC的长为（ ） A.八Ecm B. 1 cm C.八cm或! / cm D. XJ cm或彳.： cm 4. 如图，OO

2、的直径CD垂直弦AB于点E,且CE=2 DE=8贝U AB的长为（ ） D. 8 AB丄CD于E,连接BC BD F列结论中不一定正确的是（ C. OE=DE D.Z DBC=90 6.如图，在平面直角坐标系中，OP 的圆心坐标是 的长为！ v；：s则a的值是（ ） 3, a） （a3）,半径为3,函数y=x的图象被OP截得的弦AB 6 5.如图，CD是OO的直径，弦 7.已知OO的面积为2n，则其内接正三角形的面积为（ ) 12. 如图，在OO 中，CD是直径，弦 AB丄CD垂足为 E，连接BC,若AB=2jcm,/ BCD=22 30，则OO 为 _ cm 13. _ 如图，OO的半径是2

3、,直线I与OO相交于A、B两点，IMN是OO上的两个动点，且在直线l的异侧，若/ AMB=45， 则四边形MANB面积的最大值是 .A. 3的OO内有一点A, 0A=，点P在OO上，当/ OPA最大时，PA的长等于（ C. 3 D. 2 7 6小题) 二 B.二 .填空题（共 9.如图，已知直线 AB与OO相交于 A B两点，/ OAB=30，半径 0A=2那么弦AB= 5, AB是OO的直径，弦 CDL AB垂足为P,若CD=8则厶ACD的面积是 11. 如图，AB CD是半径为5的O 0的两条弦，AB=8, CD=6 MN是直径，AB1 MN于点E，CDL MN于点F，P为EF 上的任意一

4、点，贝U PA+PC勺最小值为 _ 的半径 3 - B . 3 7 C . D. 如图，半径为 8. A. 4 A/ 14. 如图，AB是OO的直径，BC是弦，点E是BC的中点，OE交BC于点D.连接AC若BC=6 DE=1, 三解答题(共7小题) 15. 如图，AB是OO的弦，点 C D在弦AB上，且AD=BQ联结OC OD求证： OCD是等腰三角形. 16. 已知在以点 O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB交小圆于点C, D (如图). (1) 求证：AC=BD (2) 若大圆的半径 R=10,小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长. 17. 如图，AB是OO的直径，弦

5、 CDLAB于点E,点M在OO 上, MD恰好经过圆心 O,连接MB (1) 若 CD=16 BE=4,求OO 的直径； (2) 若/ M=/ D,求/D 的度数. 18. 如图，OO的直径为10cm 弦AB=8cm P是弦AB上的一个动点，求 OP的长度范围.则AC的长为 19. 如图，AB是OO的直径，弦 CDLAB于点E, (1) 求证：CB/ PD (2) 若/ PBC=22.5 , OO 的半径 R=2,求劣弧 点P在OO上，PB与CD交于点F,/ PBCM C. AC的长度. 21.已知：如图，/ PAQ=30，在边 AP上顺次截取 AB=3cm BC=10cm以BC为直径作OO

6、交射线 AQ于E、F两点, 求： (1) 圆心Q到AQ的距离； (2) 线段EF的长. 的直径，CDL AB垂足为点 F, AQL BC 垂足为 E, BC二2 典, 20.如图，CD为OO (1) 求AB的长； (2) 求OO的半径. 6 27.1.2圆的对称性1 参考答案与试题解析 一 选择题（共8小题） 1 在同圆或等圆中，下列说法错误的是（ ） A. 相等弦所对的弧相等 B 相等弦所对的圆心角相等 C. 相等圆心角所对的弧相等 D 相等圆心角所对的弦相等 考点： 圆心角、弧、弦的关系. 分析： 利用在同圆和等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等, 判

7、断出B、C D三选项都正确；而同圆或等圆中，同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，所以可判 断出A选项错误. 解答： 解：A、相等弦所对的弧不一疋相等，故本选项错误； B、相等弦所对的圆心角相等，故本选项正确; C相等圆心角所对的弧相等，故本选项正确; D相等圆心角所对的弦相等，故本选项正确. 故选A. 点评： 此题考查了圆心角、弧、弦的关系定理的推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条 弦中有一组 量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等注意：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧, 条是劣弧，而在本推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧. 考点： 垂径定理；勾股定理. 分析：

8、 过0作OCLAB于C,根据垂径定理求出 AC,根据勾股定理求出 0C即可. 解答： 解：过0作0CLAB于C, 9C过 0, AC=BC= AB=12, 2 在Rt A0C中，由勾股定理得: OC=j- ” =5. 点评： 本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是求出 0C的长. 3. 已知00的直径CD=10cm AB是OO的弦，AB=8cm且AB丄CD垂足为 M贝U AC的长为（ ） A. : cm B.- cm C. ! -cm 或- cm D. :cm 或； cm13,弦AB长为24，则点O到AB的距离是（ C. 4 D. 3 故选：B. 考点： 垂径定理；勾股定理. 专题： 分类

9、讨论. 分析： 先根据题意画出图形，由于点 C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论. 解答： 解：连接AC AO, TOO 的直径 CD=10cm ABCD AB=8cm / AM= AB= X 8=4cm OD=OC=5cm 2 2 当c点位置如图1所示时， / OA=5cm AM=4cm CD! AB OM=,汕上 =3cm / CM=OC+OM=5+3=8cm AC=；=4 5 当C点位置如图2所示时，同理可得 OM=3cm / OC=5cm MC=5- 3=2cm, 在 Rt AMC中,AC= T H ：=,.，.；=2-cm. 图 1 图 2 点评： 本题考查的是垂径定理，根据题意

10、作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键. 4. 如图，OO的直径CD垂直弦AB于点E ,且CE=2 DE=8贝U AB的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 考点： 垂径定理；勾股定理. 专题： 计算题. 分析： 根据CE=2 DE=8,得出半径为5 ,在直角三角形 OBE中，由勾股定理得 BE,根据垂径定理得出 AB 的长. 解答： 解： CE=2 DE=8 OB=5 OE=3 / AB丄 CD 8 在厶OBE中，得 BE=4, AB=2BE=8 本题考查了勾股定理以及垂径定理，是基础知识要熟练掌握. 5. 如图，CD是OO的直径，弦 AB丄CD于E,连接BC BD下列结

11、论中不一定正确的是（ ） 考点： 垂径定理；圆周角定理. 专题： 几何图形问题. 分析： 由于CDLAB根据垂径定理有 AE=BE弧AD=M BD,不能得出OE=DE直径所对的圆周角等于 90. 解答： 解：T CDL AB AE=BE .= Il , / CD是OO的直径， / DBC=90 , 不能得出OE=DE 故选：C. 点评： 本题考查了垂径定理.解题的关键是熟练掌握垂径定理的内容. 6. 如图，在平面直角坐标系中，OP 的圆心坐标是（3, a） （a3）,半径为3,函数y=x的图象被OP截得的弦AB 的长为二乙则a的值是（ ） A. 4 B. - C. 二 D.-: 考点： 垂径定

12、理；一次函数图象上点的坐标特征；勾股定理. 专题： 计算题；压轴题. 分析： PCLx轴于C,交AB于D,作PE!AB于E,连结PB由于OC=3 PC=a易得D点坐标为（3 , 3）, 则厶OCD为等腰直角三角形， PED也为等腰直角三角形. 由PE!AB根据垂径定理得 AE=BE= AB=2 :,在Rt PBE 2 中，利用勾股定理可计算出 PE=1 ,贝U PD= ：PE=.:,所以a=3+ .：. 解答： 解：作PCLx轴于C,交AB于D,作PE!AB于E ,连结PB如图， 故选：D. 点评： B. = II C. OE=DE D. / A. AE=BE 10 OP的圆心坐标是（3 ,

13、a）, -OC=3 PC=a 把x=3代入y=x得y=3 , D点坐标为（3, 3）, CD=3 OCD为等腰直角三角形， PED也为等腰直角三角形， / PE! AB AE=BE= AB= X4=2 二 2 2 在 Rt PBE 中，PB=3, PE= - 7 ， PD= =PE=匚, a=3+ . 点评： 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.也考查了勾股定理 和等腰直角三角形的性质. 7.已知OO的面积为2n，则其内接正三角形的面积为（ ） 考点： 垂径定理；等边三角形的性质. 专题： 几何图形问题. 分析： 先求出正三角形的外接圆的半径，再求出正三角形的

14、边长，最后求其面积即可. 解答： 解：如图所示， 连接OB OC过 O作ODL BC于D, TOO的面积为2 n OO的半径为匚 ABC为正三角形， / BOC= | =120,/ BOD= / BOC=60 , OB=, 3 2 BC=2BD=:, OD=OB?coS BOD= .：?cos60 = BOC 的面积=?BC?OD= n， ABC 的面积=3SBO=3X 故选：C. BD=OB?sir BOD= 11 0 考点： 垂径定理；含30度角的直角三角形；勾股定理. 分析： 过O作OCL AB于C,根据垂直和垂径定理求出 AB-2AC / OCA-90，根据含 30度角的直角三角形 性

15、质求出OC=1根据勾股定理求出 AC即可得出答案. 12 解答:点评: 本题考查的是三角形的外接圆与外心，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键. 内有一点A, 0A二二，点P在OO上，当/ OPA最大时，PA的长等于（ ） V C. 3 考点： 垂径定理；圆周角定理. 分析： 当PALOA时，PA取最小值，/ OPA取得最大值，然后在直角三角形 OPA中利用勾股定理求 PA的值 即可. 解答： 解：TOA OP是定值， 在厶OPA中，当/ OPA取最大值时，PA取最小值, PAL 0A时，PA取最小值； 在直角三角形OPA中，0A=, 0P=3 故选B. 点评： 本题考查了解直角

16、三角形解答此题的关键是找出“当 / OPA取最大值”这一隐含条件. PAL OA时，PA取最小值”即“ PAL OA时, 二.填空题（共6小题） 9.如图，已知直线 AB与OO相交于A B两点，/ OAB=30，半径 OA=2,那么弦AB= 2二 解: 过O作OCL AB于C, 贝U AB=2AC / OCA=90 , / OA=2 / OAB=30 , OC=1由勾股定理得： AC= =二, AB=2AC=2 7, 故答案为：2二. 点评： 本题考查了垂径定理，含 30度角的直角三角形性质，勾股定理的应用，解此题的关键是正确作出 辅助线后求出AC的长和得出AB=2AC注意：垂直于弦的直径平分

17、这条弦. 考点： 垂径定理；勾股定理. 分析： 连接OD先根据垂径定理得出 PD= CD=4,再根据勾股定理求出 OP的长，根据三角形的面积公式即 2 可得出结论. 解答： 解：连接OD VOO的半径是5 , AB是00的直径，弦 CDLAB CD=8 PD= CD=4 2 P=二.-p-=3， AP=OA+OP=5+3=8 S AACC= CD?AP= X 8X 8=32. 2 2 点评： 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键. 11. 如图，AB CD是半径为5的00的两条弦，AB=8, CD=6 MN是直径，AB! MN于点E, CDL MN于点F,

18、 P为EF 上的任意一点，贝U PA+PC的最小值为 、卜.32 P,若CD=8则厶ACD的面积是 14 考点： 垂径定理；轴对称的性质. 分析： A B两点关于 MN对称，因而 PA+PC=PB+PC即当B、C、P在一条直线上时， PA+PC的最小，即BC 的值就是PA+PC勺最小值 解答： 解：连接 A OB C作CH垂直于 AB于H. 根据垂径定理，得到 BE= AB=4, CF= CD=3 2 2 0E= * -：=肘-十3 F = 一 ； =4, CH=OEOF=3+4=7, BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7 在直角 BCH中根据勾股定理得到 BC=7匚, 则PA+PO的最小

19、值为 故答案为：- 点评： 正确理解BC的长是PA+PQ的最小值，是解决本题的关键. 12. 如图，在OO 中，CD是直径，弦 AB丄CD垂足为 E,连接BC,若AB=2cm,Z BCD=22 30,则OO 的半径 为 2 cm. 考点： 垂径定理；等腰直角三角形；圆周角定理. 专题： 计算题. 分析： 先根据圆周角定理得到/ BOD-2BCD-45,再根据垂径定理得到 BE- AB-:,且厶BOE为等腰直 2 角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求解. 解答： 解：连结OB如图， / BCD=22 30, / B0D=2 BCD=45 , / AB丄 CD BE=AE= AB= X2匚=匚

20、， BOE为等腰直角三角形, 2 2 OB=：.； BE=2 (cm). 故答案为：2. 点评： 本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也考查了等腰直角三 角形的性质和圆周角定理. 13. 如图，OO的半径是2,直线I与OO相交于A、B两点，MN是OO上的两个动点，且在直线I的异侧，若/AMB=45 , 则四边形MANB面积的最大值是 _4_ 考点： 垂径定理；圆周角定理. 专题： 计算题. 分析： 过点O作OCLAB于C,交OO于D E两点，连结 OA OB DA DB EA、EB,根据圆周角定理得 / AOB=ZAMB=90， 则 OAB为等腰直角三角形， 所以

21、 AB= _：OA=2： ， 由于S四边形 MAN=SAMA+&NAB,而当M点到AB 的距离最大， MAB的面积最大；当 N点到AB的距离最大时， NAB的面积最大，即 M点运动到D点，N点运动到 E点，所以四边形 MANBM积的最大值 =S 四边形 DAE=SADAB+&EAE= AB?CD+AB?CE= A(CD+CE= AB?DE= X2 X4=4 . 2 2 2 2 2 解答： 解：过点 O作OCLAB于C,交OO于D E两点，连结 OA OB DA DB EA EB,如图， / AMB=45 , / AOB=ZAMB=90 , OAB为等腰直角三角形， AB= OA

22、=2 匚, S 四边形 MAN=SMAB+SANAB, 当M点至y AB的距离最大， MAB的面积最大；当 N点到AB的距离最大时， NAB的面积最大， 即M点运动到D点，N点运动到E点， 此时四边形 MANB面积的最大值=S四边形 DAE=SAB+&EAB显AB?CD+AB?CE丄AB ( CD+CEAB?DE丄X2伍 X 4=4逅. 2 2 2 2 2 故答案为：4 =.2 N E 点评： 本题考查了垂径定理： 平分弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的两条弧. 也考查了圆周角定理. 14. 如图，AB是OO的直径，BC是弦，点E是BC的中点，0E交BC于点D.连接AC,若BC=6

23、 DE=1,贝U AC的长为 考点： 垂径定理；勾股定理；三角形中位线定理. 专题： 计算题. 分析： 连接0C根据圆心角与弧之间的关系可得/ BOEM COE由于 OB=OC根据等腰三角形的性质可得 ODL BC BD=CD在直角三角形 BDO中，根据勾股定理可求出 0B进而求出0D长，再根据三角形中位线定理可得 AC的长. 解答： 解：连接0C如图所示. 点E是L二的中点， / BOEM COE VOB=0C ODL BC BD=DC / BC=6 BD=3 设OO的半径为r，则OB=OE=r / DE=1 OD=r- 1. ODLBC即/ BDO=90 , O匠BD+OD. / OB=,

24、 0D=r- 1, BD=3 22/ 八 2 r =3 + (r - 1). 解得：r=5 . 0D=4 / AO=B0 BD=CD 0D= AC. AC=88 2 本题考查了在同圆或等圆中等弧所对的圆心角相等、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形中位线 定理等知识，有一定的综合性. 三解答题(共7小题) 15. 如图，AB是OO的弦，点 C D在弦AB上，且AD=BC联结OC OD求证： OCD是等腰三角形. 考点： 垂径定理；等腰三角形的判定. 专题： 证明题. 分析： 过O作OE1AB于E,根据垂径定理求出 AE=BE求出CE=DE根据线段垂直平分线性质求出 即可得出答案. 过O作OEL

25、AB于E, 贝U AE=BE / AD=BC AD- DC=BG DC AC=DE CE=DE 9EL CD OC=OD 即厶OCD是等腰三角形. 点评： 本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定，线段垂直平分线性质的应用，解此题的关键是正确作出 辅助线后求出CE=DE 16. 已知在以点 O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB交小圆于点C, D (如图). (1) 求证：AC=BD (2) 若大圆的半径 R=10,小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长. 点评: OD=OC 解答: 18 考点： 垂径定理；勾股定理. 2 专题： 几何综合题. 分析： (1 )过O作 OELAB

26、根据垂径定理得到 AE-BE CE-DE从而得到 AC-BD (2)由( 出结论. 解答： :1)可知，OEL AB且OEL CD连接 OC OA再根据勾股定理求出 CE及AE的长，根据 AC-A- CE即可得 (1 )证明：过O作OEL AB于点E, 贝U CE=DE AE=BE BE- DE=AE- CE 即 AC=BD (2)解：由(1)可知，OELAB 且 OELCD 连接 OC OA OE=6 CE= .1 1.7 J=2 -，AE=上：I J= J=8 , AC=A- CE=8- 2 点评： 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键. 17. 如图

27、，AB是OO的直径，弦 CDLAB于点E,点M在OO上，MD恰好经过圆心 O,连接MB (1) 若 CD=16 BE=4,求OO 的直径； (2) 若/ M=/ D,求/D 的度数. 考点： 垂径定理；勾股定理；圆周角定理. 专题： 几何综合题. 分析： (1)先根据CD-16 BE-4,得出OE的长，进而得出 OB的长，进而得出结论; (2)由/ M=/ D,/ DOB=/D,结合直角三角形可以求得结果; 解答： 解：(1)v AB丄 CD CD-16 CE=DE=8 设 OB=x 又 BE=4 x = (x - 4) +8 , 解得：x=10 , OO的直径是20. (2)v/ M= /

28、BOD / M=/ D, / D= / BOD / AB丄 CD20 / D=30 . 点评： 本题考查了圆的综合题：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角; 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧； 考点： 垂径定理；勾股定理. 专题： 几何图形问题. 分析： 过点0作0吐AB于点E,连接0B由垂径定理可知 AE=BE=AB,再根据勾股定理求出 2 此可得出结论. 解答： 解：过点0作0吐AB于点E,连接0B / AB=8crp AE=BE= AB= X 8=4cm, 2 2 TOO的直径为10cm, 0B= X 10=5cm 2 0E= . 士 1 匸- J =

29、3cm， 垂线段最短，半径最长， 点评： 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键. 19.如图，AB是OO的直径，弦 CDLAB于点E,点P在OO上，PB与CD交于点F,/ PBCM C. (1) 求证：CB/ PD (2) 若/ PBC=22.5 , OO 的半径 R=2,求劣弧 AC的长度. 0E的长，由 0P的长度范围. 3cm 0PC 2 考点： 垂径定理；圆周角定理；弧长的计算. 专题： 几何图形问题.22 分析： (1 )先根据同弧所对的圆周角相等得出/ PBCM D,再由等量代换得出/ C=Z D,然后根据内错角 相等两直线平行即可证明 CB/

30、 PD (2)先由垂径定理及圆周角定理得出/ BOC=2PBC=45，再根据邻补角定义求出/ AOC=135，然后根据弧长的 计算公式即可得出劣弧 AC的长度. 解答： 解：(1)vZ PBCM D,Z PBCd C, / C=Z D, CB/ PD (2)连结 OC OD /AB是OO的直径，弦 CD AB于点E, Xi Xi = hi, / PBCM C=22.5, / BOCH B0D=2 C=45 , / AOC=180 -Z BOC=135 , 点评： 本题考查了圆周角定理， 平行线的判定，垂径定理，弧长的计算，难度适中.(2)中求出Z AOC=135 是解题的关键. 20 .如图，CD为OO的直径，CD AB垂足为点 F, AOLBC垂足