直线的倾斜角和斜率

1、解析解析几何几何解析解析几何几何1.1直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率解析几何解析几何1知识与技能知识与技能(1)正确理解直线的倾斜角和正确理解直线的倾斜角和斜率斜率的概念的概念.(2)理解直线倾斜角的唯一性理解直线倾斜角的唯一性(3)理解直线斜率的存在性理解直线斜率的存在性(4)斜率公式的推导过程，掌握过斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式两点的直线的斜率公式2过程与方法过程与方法引导帮助学生将直线的位置引导帮助学生将直线的位置问题问题(几何问题几何问题)转化为倾斜角问题转化为倾斜角问题，进而进而转化为倾斜角的正切，即转化为倾斜角的正切，即斜斜率率问题问题(代数问题代数问题)进

2、行解决，进行解决，使使学生学生不断体会不断体会“数形结合数形结合”的的思想思想方法方法3情感、态度与价值观情感、态度与价值观(1)通过直线倾斜角的概念的引入通过直线倾斜角的概念的引入学习学习直线直线倾斜角与斜率的关系，培养倾斜角与斜率的关系，培养学生学生观察观察、探索能力，运用数学语言、探索能力，运用数学语言表达表达能力能力，数学交流与评价能力，数学交流与评价能力(2)通过斜率概念的建立和斜率公式通过斜率概念的建立和斜率公式的的推导推导，帮助学生进一步理解数形，帮助学生进一步理解数形结合结合的的思想，培养学生树立辩证统一思想，培养学生树立辩证统一的的观点，培养学生形成严谨的观点，培养学生形成严

3、谨的科科学学态度和求简的数学精神态度和求简的数学精神重点重点直线的倾斜角和斜率概念直线的倾斜角和斜率概念以及以及过过两点的直线的斜率公式两点的直线的斜率公式难点难点过过两点两点的直线的直线斜率斜率公式的推导公式的推导问题问题1 在在直角坐标系中，过直角坐标系中，过点点 P 的的一条一条直线绕点直线绕点 P 旋转，旋转，不管不管旋转多少周旋转多少周，它对，它对x轴的相对位置有几种轴的相对位置有几种情形？情形？答答 它它与与x轴的相对位置关系有三种：相交、垂直、平行轴的相对位置关系有三种：相交、垂直、平行.问题问题2 已知直线已知直线 l 经过经过点点P，直线，直线l 的位置能够确定吗的位置能够确

4、定吗？答答 不确定不确定.过一个点有无数条直线过一个点有无数条直线.问题问题3 这些这些直线之间有什么位置上的区别？直线之间有什么位置上的区别？它们相对于它们相对于x轴的倾斜程度不同轴的倾斜程度不同.如何描述直线相对于如何描述直线相对于x轴的不轴的不同的倾斜程度呢？同的倾斜程度呢？问题问题4 直线直线的倾斜程度与倾斜角有什么关系的倾斜程度与倾斜角有什么关系？每每一条直线一条直线都有都有确定的倾斜角确定的倾斜角;倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角;倾斜程度相同的直线其倾斜角相同倾斜程度相同的直线其倾斜角相同.问题问题5：一个点能确定一条直线的位置吗？一个点能确定一条

5、直线的位置吗？已知直线的倾斜角能确定一条直线的位置吗？已知直线的倾斜角能确定一条直线的位置吗？要确定一条直线位置，需要哪些几何要素呢？要确定一条直线位置，需要哪些几何要素呢？答答均不能均不能要确定直角坐标系中一条直线要确定直角坐标系中一条直线的位置的几何要素是：的位置的几何要素是：直线上一点以及它的倾斜角，二者缺一不可直线上一点以及它的倾斜角，二者缺一不可.问题问题6 日常生活日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量中，还有没有表示倾斜程度的量？2m3m直线的斜率的定义：直线的斜率的定义：当当直线直线 l 的倾斜角的倾斜角 不等于不等于90时，时，我们把倾斜角我们把倾斜角 的正切值叫做直线的正切值

6、叫做直线 l 的斜率的斜率. 斜率通常用小写的斜率通常用小写的字母字母 k 表示，表示， 即即k=tan (90).当当倾斜角倾斜角=90时时，直线，直线 l 的斜率不存在的斜率不存在.注意：注意：倾斜角倾斜角=90的直线没有斜率的直线没有斜率，90的直线才有斜率的直线才有斜率，斜率是唯一确定的实，斜率是唯一确定的实数，而且数，而且倾斜角不同，直线的斜率不同，因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度倾斜角不同，直线的斜率不同，因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度 如果直线的斜率是否存在不明确，要分斜率是否存在进行讨论如果直线的斜率是否存在不明确，要分斜率是否存在进行讨论.xyol111( ,)

7、P x y222(,)P xy问题问题7已知一条直线上的两点已知一条直线上的两点坐标坐标P1(x1, y1)，P2(x2, y2)，x1x2，如何如何计算计算斜率斜率k？xyo1x2x1y2y21(,)Q xyxyo111( ,)P x y222(,)P xy2x1x1y2y21(,)Q xy问题问题7已知一条直线上的两点已知一条直线上的两点坐标坐标P1(x1, y1)，P2(x2, y2)，x1x2，如何如何计算计算斜率斜率k？111(,)P xy222(,)P xyxyOxyO111(,)P x y222(,)P xy说明：说明：此公式与两点坐标的顺序无关此公式与两点坐标的顺序无关.问题问

8、题7已知一条直线上的两点已知一条直线上的两点坐标坐标P1(x1, y1)，P2(x2, y2)，x1x2，如何如何计算计算斜率斜率k？问题问题8当直线当直线P1P2平行于平行于x轴，或与轴，或与x轴重合轴重合时时，该公式还，该公式还适用吗？为什么？适用吗？为什么？Oxy问题问题9 当直线平行于当直线平行于y轴，或与轴，或与y轴重合轴重合时时，公式，公式还适用吗？还适用吗？答：答：不适用不适用，因为此时因为此时x1=x2，分母分母为为0，斜率斜率k不不存在存在.Oxy直线斜率直线斜率公式公式公式特点：公式特点：(1)与两点坐标的顺序无关与两点坐标的顺序无关;(2)公式表明公式表明,直线的斜率可以

9、通过直线上直线的斜率可以通过直线上任意不同的两任意不同的两点的坐标来表示点的坐标来表示,而而不需要求出直线的倾斜角；不需要求出直线的倾斜角；(3)当当x1=x2时时,公式不适用公式不适用,此时此时=90，斜率，斜率k不存在不存在.问题问题10直线的斜率与直线的倾斜角有怎样的关系呢？直线的斜率与直线的倾斜角有怎样的关系呢？二者从不同角度刻画了直线的倾斜程度，二者从不同角度刻画了直线的倾斜程度，倾斜角用角倾斜角用角表示表示，斜率用实数表示，斜率用实数表示.斜率斜率k随着倾斜角随着倾斜角的变化规律为：的变化规律为：当当=0时，时，k=0；当当090时，时，0k+，且且k随着随着的增大的增大而而增大；

10、增大；当当=90时，时，k不存在；不存在；当当90180时，时，-k0，且且k也是随着也是随着的增大而增大的增大而增大.例例1 如图，已知如图，已知A(3，2),B(-4，1),C（0，-1）,求直线求直线AB，BC，CA的斜率，并判的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.例例1 如图如图，已知，已知A(3，2),B(-4，1),C（0，-1）,求直线求直线AB，BC，CA的斜率，并判断的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.OxyACB分析：分析：直接直接利用利用斜率斜率公式求解，再利用斜率的符号判断角公式求解，再利用

11、斜率的符号判断角.小结：小结：斜率斜率为正，倾斜角为锐角；为正，倾斜角为锐角；斜率为负，倾斜角为钝角；斜率为负，倾斜角为钝角；斜率为斜率为0，倾斜角为，倾斜角为0；斜率不存在时，倾斜角为直角斜率不存在时，倾斜角为直角.C小结：小结：斜率相等可以作为判断三点是否共线的依据斜率相等可以作为判断三点是否共线的依据例例2 在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1，2及及-3的直线的直线l1，l2，l3及及l4.xy1l分析：分析：找出直线异于原点的找出直线异于原点的点与原点相连接即可画出这些直线点与原点相连接即可画出这些直线.O例例3已知点已知点

12、P(1,2)，A(2，3)，B(3,0)，经过点，经过点P的直线的直线l与线段与线段AB有公共点时，求有公共点时，求直线直线 l 的斜率的斜率 k 的的取值范围取值范围分析分析分析过分析过P点的点的直线直线 l 绕绕着点着点P，由，由PA转到转到PB的过程中的过程中，斜率斜率的变化范围即可的变化范围即可小结小结直线直线 l 过定点过定点P(1,2)，与线段，与线段AB的交点的交点在在AB上，用数形结合的方上，用数形结合的方法和运动变化的观点，可法和运动变化的观点，可以求出斜率的变化范围以求出斜率的变化范围1.请标示出以下直线的倾斜角请标示出以下直线的倾斜角.xyOxyOxyO注意注意：牢记常见

13、的特殊锐角的三角函数值，并能牢记常见的特殊锐角的三角函数值，并能利用上面的公式利用上面的公式将将钝角的正切值转化为锐角求解钝角的正切值转化为锐角求解.注意：注意：熟记斜率熟记斜率与倾斜角的关系，能根据倾与倾斜角的关系，能根据倾斜角的变化情况说出相应的斜率的变化特点斜角的变化情况说出相应的斜率的变化特点.4.已知已知a,b,c是两两不等的实数，求经过下列两点的直线的斜率及倾斜角是两两不等的实数，求经过下列两点的直线的斜率及倾斜角. (1)A(a,c),B(b,c); (2)C(a,b),D(a,c); (3)P(b,b+c),Q(a,c+a).5.画出经过点（画出经过点（0,2），且斜率为），且斜率为2与与-2的直线的直线.xO2-11y解：解：斜率斜率为为2的直线经过（的