方程的根与函数的零点

1、天空的幸福是穿一身蓝天空的幸福是穿一身蓝森林的幸福是披一身绿森林的幸福是披一身绿阳光的幸福是如钻石般耀眼阳光的幸福是如钻石般耀眼老师的幸福是因为认识了你们老师的幸福是因为认识了你们愿你们愿你们努力进取，永不言败努力进取，永不言败致亲爱的同学们致亲爱的同学们xy11 22 中外历史上的方程求解中外历史上的方程求解约公元约公元50100年编成的年编成的九章算术九章算术给出了一次方程、二次方给出了一次方程、二次方程和正系数三次方程的求根方法程和正系数三次方程的求根方法. 中外历史上的方程求解中外历史上的方程求解1111世纪，北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法世纪，北宋数学家贾宪给出了三次

2、及三次以上的方程的解法. . 中外历史上的方程求解中外历史上的方程求解1313世纪，南宋数学家秦九韶给出了求任意次代数方程的正根的解法。世纪，南宋数学家秦九韶给出了求任意次代数方程的正根的解法。 中外历史上的方程求解中外历史上的方程求解 国外数学家对方程求解亦有很多研究。国外数学家对方程求解亦有很多研究。9世纪以后，先后发世纪以后，先后发现了一次、二次、三次、四次方程的求根方法；数学史上，人们现了一次、二次、三次、四次方程的求根方法；数学史上，人们曾经希望得到一般的五次以上代数方程的根式解，但最后被曾经希望得到一般的五次以上代数方程的根式解，但最后被19世世纪纪挪威数学家阿贝尔挪威数学家阿贝尔

3、证明了五次及五次以上一般方程没有根式解。证明了五次及五次以上一般方程没有根式解。同样，指数方程、对数方程等超越方程也是没有求根公式的。同样，指数方程、对数方程等超越方程也是没有求根公式的。 思考：一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根与二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象有什么关系？ 方程方程x22x+1=0 x22x+3=0y= x22x3y= x22x+1函数函数函函数数的的图图象象方程的实数根方程的实数根x1=1,x2=3x1=x2=1无实数根无实数根函数的图象函数的图象与与x轴的交点轴的交点(1,0)、(3,0)(1,0)无交点无交点x22x3=0 xy0132112123

4、4.xy0132112543.yx012112y= x22x+3方程方程ax2 +bx+c=0(a0)的根的根函数函数y= ax2 +bx+c(a0)的图象的图象判别式判别式 =b24ac0=00函数的图象函数的图象与与 x 轴的交点轴的交点有两个相等的有两个相等的实数根实数根x1 = x2没有实数根没有实数根xyx1x20 xy0 x1xy0(x1,0) , (x2,0)(x1,0)没有交点没有交点两个不相等两个不相等的实数根的实数根x1 、x2 对于函数对于函数y=f(x)，我们把使，我们把使f(x)=0成立的成立的实数实数x叫做函数叫做函数y=f(x)的零点的零点函数零点函数零点 的实数

5、根是方程0 xfx ）交点（轴的图象与函数0 ,xxxfy 方程方程f(x)=0的实数根的实数根函数函数y=f(x) 的图的图象与象与x轴交点的轴交点的横坐标横坐标函数函数y=f(x)y=f(x)的零点的零点数数形形1、求下列函数的零点：求下列函数的零点：(1)f(x)=-x2+3x+4 (2)f(x)=lg(x2+4x-4)-1, 41, - 52、函数、函数f (x)=x(x2-16)的零点为的零点为( )A. (0,0), (4,0) B. 0, 4C. ( 4 ,0), (0,0),(4,0) D. 4 , 0, 4D 注意：函数的注意：函数的零点不是一个点，而是零点不是一个点，而是一

6、个实数，是一个让函数值为零的实数一个实数，是一个让函数值为零的实数如何判断函数是否存在零点？你有些什么方法？怎样判断函数f(x)=lnx+2x-6是否有零点？有几个零点？观察二次函数观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象：的图象：在区间在区间-2, 1上有零点上有零点_；f(-2)=_，f(1)=_，f(-2)f(1)_0（“”）在区间在区间(2，4)上有零点上有零点_；f(2)=_，f(4)=_，f(2)f(4)_0（“”） 在怎样的条件下，函数在怎样的条件下，函数y=f(x)在区间在区间a,b上存上存在零点？在零点？ 2-2-41O1-223 4-3-1-1yx1453-35在怎样的条

7、件下，函在怎样的条件下，函数数y=f(x)在区间在区间a,b上上存在零点？存在零点？ 观察函数的图象并填空观察函数的图象并填空:在区间在区间(a,b)上上_(有有/无无)零点零点 在区间在区间(a,b)上上f(a)f(b)_0(“”)在区间在区间(b,c)上上_(有有/无无)零点；零点；在区间在区间(b,c)上上f(b)f(c) _ 0(“”)在区间在区间(c,d)上上_(有有/无无)零点；零点； 在区间在区间(c,d)上上f(c)f(d) _ 0(“”) 有有有有有有xyOabcd函数零点存在性定理函数零点存在性定理 如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a,b上的图象是上的图象是连续不断

8、的一条曲线连续不断的一条曲线，并且有，并且有f(a)f(b)0,则则y=f(x)在区间在区间(a,b)内内是否有零点？是否有零点？想一想想一想OyX2)(xxfab （2）若函数）若函数y=f(x)在区间在区间a,b上连续，且有上连续，且有f(a)f(b)0,则则y=f(x)在区间在区间(a,b)内会只有一内会只有一个零点吗？个零点吗？OXyabABLABLOyXab （3）若函数）若函数y=f(x)在区间在区间a,b上连续，且上连续，且在区间在区间(a,b)内有零点时，一定有内有零点时，一定有f(a)f(b)0吗？吗？OyX2)(xxfab(4)如何说明函数仅有一个零点？xyOxyObaab

9、cc由表可知由表可知f(2)0， 即即f(2)f(3)0,f(1.5)=2.8750,所以所以f(x)= x33x+5在区间在区间(1, 1.5)上有零点。又因为上有零点。又因为f(x)是是(,）上的减函数，所以在区间上的减函数，所以在区间(1, 1.5)上有上有且只有一个零点。且只有一个零点。xy01321125432(1) f(x)= x33x+5作出函数的图象，如下：作出函数的图象，如下： 因为因为f(3)30,所以所以f(x)= 2x ln(x2)3在区间在区间(3,4)上有零点。又因为上有零点。又因为f(x) =2x ln(x2)3是是(2，）上的增函数，）上的增函数，所以在区间所以

10、在区间(3,4)上有且只有一个零点。上有且只有一个零点。xy01321125-3-242(2) f(x)=2x ln(x2)3作出函数的图象，作出函数的图象，如下：如下： 因为因为f(0)3.630,所以所以f(x)= ex1+4x4在区间在区间(0,1)上有零点。又因上有零点。又因为为f(x) = ex1+4x4是是( ，）上的增函数，所以在）上的增函数，所以在区间区间(0,1)上有且只有一个零上有且只有一个零点。点。2(3) f(x)=ex1+4x4xy0132112123424作出函数的图象，如下：作出函数的图象，如下：x080155y24012043604020432 因为因为f(4)40, f(2)20,f(2)700,所以所以f(x)= 3(x+2)(x 3)(x+4)+x 在区间在区间(4,3 )、 (3，2,)、