二次根式复习专题讲义补课用

1、二次根式复习专题讲义一、二次根式的概念：1. 二次根式：形如.a (a>0)的式子叫做二次根式，“、称为二次根号。 .式子中，被开方数(式)必须大于等于零。 .(a > 0)是一个非负数。 .(品)2 = a (a>0); Va2 =a (a>0)2. 二次根式的乘： .般的，有苗血=<ab . (a>0, b>0) .反过来，有 Tab =柘xVB ( a0, b> 0)3. 二次根式的除： .一般地，对二次根式的除法规定:b>0),.反过来，(a>0, b>0)4. 二次根式的加减法则:二次根式加减时，可以先将二次根式化成最

2、简二次根 式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。典型例题分析： 例1.下列式子，哪些是二次根式， 哪些不是二次根式:V2、V3、1、VX(x>0)、/o、V2、- V2、1、寸 x + y (x>0,xx + yy? > 0).分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”;第二，被开方数是正数或 0。解：二次根式有：V2、五(x>0)、V0、-42、Jx+y ( x> 0, y>0);不是二次根式的有： 逅、1、迈、丄。xx + y例2.当x是多少时，+丄在实数范围内有意义？x + 1分析：要使+丄在实数范围内有意义，必须同时X +1满足'

3、2x3中的0和丄中的X+1工0.x+1解：依题意，得！2x空°由得：X> - 32由得：XZ -1当x> -3且XZ -1时，、.2TP +丄在实数范围内有意义。2x + 1变式题1：当X是多少时，,31在实数范围内有意义？ 分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0,所以3x-1 > 0,3x -1才能有意义.解：由 3x-1 > 0,得：x> -3当x> 1时，在实数范围内有意义.3变式题2：.当x是多少时，云乜+x2在实数范围内有x意义？3解：依题意得：2x"° , x-匚宀0xo当x>-且XZ 0时，旦

4、卫+ X2在实数范围内没有意义。2x .若J3x + 丁x 3有意义，则 4 =。 .使式子._(x5)2有意义的未知数X有()个。例3.已知y=.時+、.口 +5，求仝的值.(答案：？)y5 若、.冇 + .口 =0，求 a2004+b2004 的值.(答案:2) 已知、.云币+ .口 =0,求xy的值.(答案:81)例4.计算1. C. 3)22. (3 5 ) 23-(；6)24-(孑)2分析：我们可以直接利用(.a) 2=a (a> 0)的结论解 题.解: C 3 ) 2 = 3 , ( 3 5 ) 2 =32 (5) 2=32 5=45 ,V22C 5) 2= 5 , (口)

5、2=车7 .662224例5.计算1.(厂)2 (x>0)2. C，a2 ) 23. ( a2 2a 1 ) 24. (、4x2 -12x 9) 2分析：(1)因为 x> 0,所以 x+1>0 ; (2) a2> 0; (3)a2+2a+仁(a+1) 2> 0;(4) 4x2-12x+9= (2x) 2-2 2x 3+32= ( 2x-3) 2> 0.所以上面的4题都可以运用（.a ） 2=a （a>0）的重要结论解题.解：（1）因为x>0，所以x+1>02=x+1(2) v a(3) t a2+2a+1 =又 (a+1 )2 > 0

6、,(4)v 4x2-12x+9=又( 2x-3) 2 > 02> 0,(.a2) 2=a2(a+1) 2a +2a+10，二 a2 2a 1 =a +2a+1(2x) 2-2 2x 3+32= ( 2x-3 ) 2二 4x2-12x+9 > 0,.( 、4x2 -12X 9) 2=4x2-12x+9变式题：计算1.(-汉 3)22. (2'.3 3,2)(2'. 3 -3.2)例6.在实数范围内分解下列因式：(1) x2-3(2) x4-4(3) 2x2-3例7.化简(1) 方(2),百(3) 、25(4) ，百分析：因为(1) 9=-32, (2) (-4)

7、 2=42, (3) 25=52,(4) (-3) 2=32，所以都可运用.a2 =a (a>0) ?去 化简。解：(1)= .32 =3(2) -4)2 = -42 =4(3) 丢=52 =5(4) 、(-3)2 = 32 =3例8.填空：当 a > 0时，忌=;当a<0时，a2 =, ?并根据这一性质回答下列问题.（1）若 . a2 =a，则a可以是什么数？（2）若.孑二-a，则a可以是什么数？（3）F >a，贝U a可以是什么数？分析：忌=a （a>0） 要填第一个空格可以根据这 个结论，第二空格就不行，应变形，使“（）2”中的数是正数，因为，当 a<

8、 0时，.a2 =（a）2，那么-a > 0.（1） 根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（ 2）可知倚=| a |,而| a |要大 于a,只有什么时候才能保证呢？a<0 .解：（1）因为.a2 =a，所以a> 0;（2）因为 a2 =-a，所以 a< 0;（3）因为当a> 0时a2 =a,要使-.a2 >a，即使a>a所以a 不存在；当 a<0时，、a2=-a，要使.a2 >a,即使-a>a , a<0 综上，a<0例 9.当 X>2，化简 '.（x-2）2 -2x）2

9、 .例10.先化简再求值：当 a=9时，求a+ 1匚2a_a2的值， 甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式=a+ .（i -a）2 =a+ （1-a ） =1;乙的解答为：原式 =a+（i-a）2 =a+ （a-1 ） =2a-1=1 7.两种解答中， 的解答是错误的，错误的原因是变式题 1.若丨 1995-a | + J a2000 =a，求 a-19952 的值.(提示：先由a-200 0>0,判断1995-a?的值是正数还是 负数，去掉绝对值)变式题2.若-3 < X< 2 时，试化简 |X-2 | +J(x+3)2 +Jx2-10x+25。(答案：10-x)例11.计

10、算(1)5 X .,7(2) 1 X ,9(3) .9 X . 27(4)上X .6分析：直接利用、a -、b = . ab ( a> 0, b> 0)计算即可.(3)X . 27 = .9一27 = .92 3 =9 3 ”1X -6=例12 .化简(1).厂16( 2)、1681( 3) . 8厂100(4)9x2y2(5) . 54分析：利用.Ob a .b (a>0, b>0)直接化简即可.解：(1 )9 16 =、9 X . 16 =3 X 4=12(2) 、16 81 = .16 x、81 =4 X 9=36(3) .81 loo = .81 x、loo =

11、9 x 10=90(4) 9x2y2 = 3 X x2y2 = , 32 X、. x2 X y2 =3xy(5) . 54 = , 96 = . 32 x . 6 =3 .6例13 .判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：(1) 0( 一9)4、-9(2) . 412 X 25 =4 X , X、. 25 =4 12 X、25 =4 . 12 =8、一 3解：(1)不正确.改正：.(4厂(-9) =、. 4 9 = 、4 X 9 =2 X 3=6(2)不正确.改正：,4| X .,25 = _ 労 X ,25 =、25 =、, 112 16 7 = 4 7变式题1:若直角三角形两条直角边的

12、边长分别为-、15 cm和"2cm, ?那么此直角三角形斜边长是().变式题2：化简a1的结果是().变式题 3：(而4 =. V169X6变式题4： 一个底面为 30cmX 30cm长方体玻璃容器中 装满水，？现将一部分水例入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？设：底面正方形铁桶的底面边长为x,贝V x2X 10=30 X 30X 20, x2=30X 30 X 2,变式题5:探究过程:观察下列各式及其验证过程验证:223(23 _2)3I 323 222212(21 - ) 221 -21 -(2)点=J3+

13、8验证:33-3 332 -13833823(3 -1) 332 -13 323(3 -1)332 -132 -1通过上述探究你能猜测出:"a2i(a>0),并验证你的结论.解：a=U1验证：a2 a a22 a 1a3 -aaa2 -1a3 -a a'2aa T) . a a2 -1a2-1a+* a -1例14.计算:1 (3)321分析：上面4小题利用年=,ba (a>0, b>0)便可直接得出答案.解：（1）=4 =2(2)3283 1 = , 3 8 二、4 =x =2 32 82(3)U416 =4 =216(4)6464 = .8 =2 2例1

14、5.化简:29a2(1)、64( 2) 64bb(3)5x169y29 ( 4)64 y分析：直接利用诗记（“0, b>0）就可以达到化简之目的.解：（1）.3 =_J.648(3)64b2 = 64b2 _ 8b9,9a2 3a9x _；9x 3；x64 y2,64 y28y5x、5x5x2 =一169yJ69y213y例16.已知，且x为偶数，求（1+x）x25x 4x2 -1的值.分析：式子,-=，只有a>0, b>0时才能成立. b <b因此得到9-x > 0且x-6>0 ,即6<x< 9,又因为x为偶数， 所以x=8.解：由题意得19_

15、6"0，即产9X6a0x>6 6<x< 9 x为偶数 x=8原式=(1+X)(x-4)(x")Y(x+1)(x-1)=(1+x)陽=(1+x)= 7'(1+x)(x 4)讥x+1) 当x=8时，原式的值=一4 9 =6 .变式题1.计算的结果是().变式题2.阅读下列运算过程：13322、52 ： 53 333 '5555数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，那么，化简X的结果是(6).变式题3.已知x=3 , y=4, z=5,那么yz. xy的最后结果变式题45.计算(2) -3(1) nm盏（ T2 23m -3n .

16、£( m>0 n>0)nn4亠r =nn=2 m3m2 2m5V2m3 - m2'J 2m5n解：（1）原式=-（2 阳）X、.（In（ a>0）i 32nnnn n一2 ，22 '一 5、nmmmmm22(2)原式=-2訂込n輕叽亠亠=-2 m + nm n2a2例17.把它们化成最简二次根式:(1)3.； (2) . x2y4 x4y2 ；8x2y3点评：二次根式有如下两个特点:1 .被开方数不含分母;变式题4.有一种房梁的截面积是一个矩形， 且矩形的长 与宽之比为,3 : 1, ?现用直径为3 15 cm的一种圆木做原料 加工这种房梁，那么加工

17、后的房染的最大截面积是多少？解：设：矩形房梁的宽为 x （ cm）,贝y长为V3xcm,依题意，得：(X)2+X2= (3 -15 ) 2,4x2=9 X 15, x=号 15 ( cm),、3x x= ,3x2= 135、3 (cm2).2 .被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.例 18.如图，在 Rt ABC 中，/ C=90°, AC=2.5cm,BC=6cm 求AB的长.解：因为 ab2=ac2+bc2所以 AB= 256 =.()： 2 36 =. 1：9 = 9 =13 =6.5 (cm)因此AB的长为6.5cm.例1

18、9.观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：i =仆(V2-1)_-1= /2-1.2 1 (*2 1)( . 2 -1) 2-1 ' ，1=叹73-运) _V3-72= 2冋理可得：_-；= = 74-73 ,从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算(1+1+1+ 1 一)( 2002 +1 )的 2 13 '24 、；3. 2002 * 2001值.分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的.解：原式=(.2-1+ ._3- .2+、4-、，3+、2002 - ._ 2001 ) X(2002 +1

19、)= (. 2002-1 ) ( , 2002 +1)=2002-1=2001练习：一、选择题1 .如果、气(y>0)是二次根式，那么，化为最简二次 根式是().A .丄(y>0) B . xy (y>0)C 旦(y>0).yyD.以上都不对2 .把(a-1 ).丄 中根号外的(a-1 )移入根号内得().V a -1A .a-1 B . 一 1 - a C . - .a-1 D . - 一 1 一 a3.在下列各式中，化简正确的是()A5 =3后B.、1 = ± 1 J232 2C .； a b =a ?bD.x3 _ x2 =X x T4 .化简沁的结果是

20、(27()A.丄B.-32C .-D . - 23、填空题1 .化简 Jx4 +x2y2 =. ( X > 0)2 . a/罟化简二次根式号后的结果是 .三、综合提高题1 .已知a为实数，化简：二a3 -a，阅读下面的解答过程，请判断是否正确？若不正确，？请写出正确的解答过程：解牛：. -a3 -a . - =a -a -a =-a 翠,_a +、-a =(1-a)< a2x4-°. x-4=0 , x= ± 2，但t x+2工 0, x=2 ,4 -x2 _0 - -a = ( a-1 ) - a2 .若 X、y 为实数，且 y= X2-4 M-x2 1，求

21、x y 冷一 yx+2的值.答案：、1. C 2 . D 3.C 4.C、1 . X Jx2 y22 . -、. -a -1三、1.不正确，正确解答:因为*-a301 ，所以a<0, 02 ='- -a * a -aJ七Ja2 -a *2.a例20.计算(1) ,8+.18(2) ,16x + .,64x分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次 根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并.解：(1),8+帀=2 辽+3 .2=(2+3). 2=5,2(2) 、一 16x + , 64x =4、x+8、, x = (4+8) 、, x =12, x点评：二次根式加减时，可以

22、先将二次根式化成最简二 次根式，？再将被开方数相同的二次根式进行合并.例21.计算(1) 3廊-9冷+3卫(2) ( . 48 +. 20 ) + ( ,12 - .、5 )解：(1) 3 . 48 -9 , +3 12 =123 -3 ,3+6,3= ( 12-3+6 ) 33 =15 .3(2) ( .48 +.20 ) + ( ,12 - .5 ) =,48 +.20+.,- .5=4,3+2.5+2.3- ,5=6込 +、5例 22.已知 4x2+y2-4x-6y+10=0，求(；x.9x +y2 三)-(X. ?-5x 十)的值.分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平 方式

23、，得(2x-1 ) 2 + (y-3 ) 2=0,即 x=- , y=3 .其次，根据2二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，？再合并同类二次根式，最后代入求值.解： 4x2+y2-4x-6y+10=0 4x2-4x+1+y 2-6y+9=0( 2x-1 ) 2+ (y-3 ) 2=0 x=- , y=32原式=3x 9x +y2 $-x2j+5x. #=2x x +、xy -x x +5 xy=x 、x +6 xy当 x=l, y=3 时，2原式=1 x , 1 +6* 3 =二+3、62 V224练习：一、选择题1.以下二次根式：用；.戸；.2 ；方中，与 3'-3是同类二

24、次根式的是（）.A .和B .和 C .和D .和2.下列各式：3 .3 +3=6 .3 ;1、7 =1 ;7,2+ 6 =.8 =2 2 ；=2迁，其中错误的有（）.J3A . 3个 B . 2个 C . 1个 D . 0个二、填空题1 .在 、/75a、2 妬、屁5、ZJ303、3702、-2 中，3 3aV8与v3a是同类二次根式的有 .2 .计算二次根式5 a -3 . b-7、a +9小的最后结果是三、综合提高题1 .已知.5 2.236，求(.80 - . 14 ) - (, 3壬+；丘)的值.(结果精确到0.01 )2 .先化简，再求值.(61'X+/Xy3) - (4x

25、jf+阴6xy),其中 x= , y=27.答案：一、1. C 2 . A二、1 1、75a 3a3 2 . 6 t b -2 、. a3a三、1 .原式=4.5 - 3 飞-.5- 12 .5=2 5 1 X 2.236 5 55550.452.原式=6 xy+3 xy- ( 4、xy+6 xy ) = &y(3-4x/y)=12 5“2例23.如图所示的 Rt ABC中，/ B=90° 点P从点B开始沿BA边以1厘米/?秒的速度向点 A移动；同时，点 Q 也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动.问： 几秒后 PBQ的面积为 35平方厘米？ PQ的距离是多少厘 米

26、？(结果用最简二次根式表示)C分析：设x秒后 PBQ的面积为35平方厘米，那么PB=x, BQ=2x ?根据三角形面积公式就可以求出x的值.解：设x后厶PBQ的面积为35平方厘米.则有 PB=x, BQ=2x依题意，得：1x 2x=352x2=35x= 35所以.35秒后 PBQ的面积为35平方厘米.PQ= . PB2 BQ2 = X2 4x2 5x2 = . 5 35 =5.7答：一35秒后 PBQ的面积为35平方厘米，PQ的距离为 5 .7厘米.例23.要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精 确到0.1m） ?分析：此框架是由 AB BC BD AC组成，所以要求钢 架的钢材，？只需

27、知道这四段的长度.c n解：由勾股定理，得AB=. AD2BD2八 422 2 二.20 =25BC=. BD2CD2 2勺2 =、.5所需钢材长度为AB+BC+AC+BD=2、5+.5+5+2=3.5+73X 2.24+7 13.7 (m)答：要焊接一个如图所示的钢架，大约需要13.7m的钢材.例24.若最简根式3aJb4a 3b与根式2ab2二b6b2是同类 二次根式，求 a、b的值.(？同类二次根式就是被开方数相 同的最简二次根式)分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根 式后，被开方数相同；？事实上，根式.2ab2 - b3 6b2不是最简 二次根式，因此把,2abb3 6b2

28、化简成|b| ,2a -b 6，才由 同类二次根式的定义得 3a-?b=?2 , 2a-b+6=4a+3b .解：首先把根式 2abb3 6b2化为最简二次根式：2ab2 -b3 6b2 = . b2(2a -1 6) =|b| 2a -b 6由题意得4a 3b=2a" 6I3a_b = 2.2a 4b =63a-b =2 a=1, b=1练习： 一、选择题1 .已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5,那么斜边的长应为（）.（?结果用最简二次根式）A . 5 2 B . . 50 C . 2 飞 D .以上者E 不对2 .小明想自己钉一个长与宽分别为30cm和20cm的长方形的木

29、框，？为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（）米.（结果同最简二次根式表示）A .13,100B . 1300 C . 10 13 D . 5.13二、填空题1 .某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2倍，它的面积是1600m2, ?鱼塘的宽是 m.（结果用最简二次根式）2 .已知等腰直角三角形的直角边的边长为.2 , ?那么这个等腰直角三角形的周长是 .（结果用最简二次根式）三、综合提高题1.若最简二次根式 23m2二2与宀4m2匚10是同类二次根3式，求m n的值.2 .同学们，我们以前学过完全平方公式a2± 2ab+b2= (a± b)

30、2,你一定熟练掌握了吧！现在，我们又学习了二次根式， 那么所有的正数(包括0)都可以看作是一个数的平方，如3=( ,3)2，5=5)2，你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察：(2-1 ) 2 = (、2) 2-2 1 辽+12=2-2 .2+1=3-2 2 反之，3-2 .2 =2-2 2+1= ( 2-1 ) 23-2、2 = ( 2-1 ) _3-2.2 =、2-1求：(1 )、.、22 ；(2) 厂23 ；(3) 你会算，4二 12 吗？( V-1)(4) 若.a 2 . b =. m _ ,n，则m n与a、b的关系是什 么？并说明理由.答案：一、1. A 2 . C、1. 20 .2

31、 2 . 2+2 2三、1 .依题意，得3m2 _2 =4m2 _10m2=82，2n 2-1=2n=3m 二 2,2n=、3m - 2 :2 或n = - 3m = 2、2m = -2. 2m = 22所以或或n = 3n= 3n - -、32. ( 1).3 2；2 = . ( .2 1)2 = 2+1(2)-.4 2、3 = _( .3 1)2 = = 3 + 1(3) . 4 - _ 12 = 42 v 3 = . (31 ) = 3-1(4) m n=a 理由：两边平方得 a± 2b=m+n± 2 mn mn = b所以m nb = mn例25.计算：(1) (

32、,6+.8 )X、3(2)(轨6-3 迁)-2辽分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规 律，？所以直接可用整式的运算规律.解：(1 ) ( . 6 + . 8 ) X , 36 X ,3+ 8 X ,3 訂8 + . 24 =3 2 +2. 6解：(4、“ 6 -3 2 )* 2 .2 =4.6 * 2 /2-3 2 * 2 /2=2. 3 - 2例26.计算(1) ( 5+6 ) ( 3-、5)( 2) (.10 +、7)(、10-、7)分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运 算在乘法公式运算中仍然成立.解：(1) ( .5+6 ) ( 3- '、5)=3. 5

33、- ( 5 ) 2+18-6 5=13-35(2)( '帀+ '、.7 ) ( ,10- . 7)=(,花)2- (、, 7 ) 2=10-7=3例27.已知 口=2-x a，其中a、b是实数，且a+bz 0, ab化简厂-代+ 门y，并求值。分析：由于（）（ .R-、,）=1，因此对代数式 的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元 一次方程得到x的值，代入化简得结果即可.解:(X 1" x)(、x 1 -x) (* x 1 y'x)C x 1 x)=(一X 1 - . X)2 + (1. X)2(x 1) -X(X 1) -X=(X+1 ) +X

34、-2、x(x 1) +X+2 x(x 1)ab=4x+2： b (x-b ) =2ab-a (x-a ) bx-b 2=2ab-ax+a 2 ( a+b) x=a2+2ab+b2 ( a+b) x= (a+b) 2 a+bz 0 x=a+b原式=4x+2=4 （a+b） +2练习：一、选择题1.24-3、15+2 一 22 ）X ,2 的值是（）.A 20 v 3 -3 30 B . 3 30 - 2 3C . 2. 30 - 2.（ 1-2 ,3）（ 1+2 3）-（2 ,3-1）2 的计算结果（用最简 二次根式表示）是 .3 D .兰.3 - I 30 332 .计算（.一 x + .、x1 ） （'、x-、_x1 ）的值是（）.A . 2 B . 3 C . 4 D . 1二、填空题1. （- i+ - ） 2的计算结果（用最简根式表示）是5.72 22 .互为有理化因式：？互为有理化因式是指两个二次根 式的乘积可以运用平方差公式(a+b) (a