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文档简介

1、二阶导数二阶导数，是原函数导数的导数 , 将 原函数进行二次求导。一般的，函 数 y=f (x) 的导数 y (x) 仍 然是 x 的函数，则 y，=f " (x) 的导 数叫做函数 y=f (x) 的二阶导数。代数记法二阶导数记作 y “ QdJy/dxJ 即 y*'= (y') 'o 1例如： y=x"2 的导数为 y=2x, 二阶 导数即 y=2x 的导数为 y=2o几何意义(1) 切线斜率变化的速度(2) 函数的凹凸性 ( 例如加速度 的方向总是指向轨迹曲线凹的一侧 ) 这里以物理学中的瞬时加速度为 例 : 根据定义有 a= (v*-v) /

2、At= Av/可如果加速度并不是恒定的某点 的加速度表达式就为：a=l imAt->0 Av/At=dv/dt ( 即 速度对时间的一阶导数 )又因为 v=dx/dt 所以就有a 二 dv/dt 二 cT2x/dt"2 即元位移 对 时间的二阶导数将这种思想应用到函数冲 即是数 学所谓的二阶导数f 1 (x)=dy/dx (f(x)的一阶导数 )f' ' (x) 二 cT2y/dx"2=d (dy/dx) /dx(f(x) 的二阶导数 )应用如果一个函数 f(x) 在某个区间 I 上 < f 11(X) ( 即二阶导数 )>0 恒成立， 那

3、么对于区间 I 上的任意 x,y ，总有 :f (x) +f (y) M2f (x+y) /2,如果总(x)<0 成立，那么上式的不等 号反向。几何的直观解释：如果一个函数 f(x) 在某个区间 I 上有 f 11(X) (即二 阶导数 ) >0恒成立，那么在区间 I 上 f (x) 的图象上的任意两点连出的一 条线段，这两点之间的函数图象都在 该线段的下方，反之在该线段的上 万O相关补充二阶导数是比较理论的、 比较抽象 的 一个量，它不像一阶导数那样有明 显的 几何意义，因为它表示的是一阶 导数的 变化率。在图形上， 它主要表 现函数的 凹凸性，直观的说，函数是 向上突起的， 还是向下突起的。定理：设f (x)在a, b 上连续，在 (a, b) 内具有一阶和二阶导数，那 么， 若在(a, b)内f1' (x) >0,贝卩f (x)在a, b 上的图形是凹的；(2)若在(a, b)内 f '(x)<0,则f (x)在a,b 上的图形是凸的。若在定义域内二阶导数为 0, 贝该 点 是定义域内的极值点。二阶导数一般是表示

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