二项分布与Poisson分布

1、第九章二项分布与Poisson分布第一节 二项分布的概率和累积概率的求法一、二项分布如果一个随机试验的结局只能是相互对立的两种结果中的一种，例如射击的命中与未中、治疗的有效与无效、试验动物染毒后的生存与死亡等等，常称此类数据为二项分类数据。二项分布(bin omial distribution )就是描述此类随机 试验发生规律的一种离散型概率分布。其特点为：其中一种结果发生的概率为一常数二，另一种结果发生的概率为1-二；被观察的n个观察单位的结局之间相互独 立；发生的两种结果相互对立。1.二项分布的概率为：P(X) =cX(1兀 yXjr XX =0，1, 2,n (9.1)其中C一n X!(

2、 n-X)!意义是某种结果发生的概率为二时，在n次试验中恰有X次该结果出现的概率2.二项分布的累积概率最多有k次出现该结果的概率(cumulative probability)为：(9.2)kP(X乞k)八0P(X)X =0, 1,2, 3,k 八,n最少有k次出现该结果的概率nP(X 一 k)八kP(X)(9.3)X =0,1,2, 3,k n二项分布的累积概率可用于统计推断(statistical inferen ce)。二、二项分布概率和累积概率的求法利用Excel的统计函数BINOMDIST(可以计算二项分布的概率和累积概率(一)方法二项分布概率计算函数 BINOMDIST(的语法为：

3、BINOMDIST( number_s, trials, probability_s, cumulative)Number_s试验成功(即出现特定结果)的次数。Trials独立试验的次数。Probability_s一次试验中成功的概率。Cumulative 为一逻辑值，用于确定函数的形式。如果cumulative为TRUE 函数BINOMDIST(返回累积概率，即最多numbers次成功的概率；如果为FALSE 返回概率函数，即恰有number_s次成功的概率。实际应用中，若求最少number_s次成功的概率，可利用下式：P(X _ k) - P(X : k)(二)操作步骤1.下面以例9-1为

4、例演示计算二项分布概率的具体操作步骤。例9-1 硬币出现币值一面的概率为0.5，出现另一面的概率为1 0.5=0.5。 在10次掷币试验中，均出现币值一面(即币值一面出现10次)的概率有多大。这是一个典型的二项分布随机试验，独立试验次数 n=10,即trials=10 ;掷 币试验中成功(即出现某一面)的概率 兀=0.5，即probability_s=0.5 ;试验成功 的次数X =10，即number_s=1 Q按(9.1) 式计算如下：P(10) =C1(0 1-0.5 10°0.510 =0.000976563用Excel计算步骤如下： 在工作表的邻近单元格 A2:D3中依次输

5、入标识与函数BINOMDIST(的 参数值。在A2输入“ Numbers'，A3输入“ 10”，为掷币试验出现某一面的次 数；B2输入“ Trials ”，B3输入“ 10”，为掷币试验的掷币次数；C2输入“Probability_s ”，C3输入“ 0.5 ”，为掷币试验中出现某一面的概率；D2输入“Cumulative ”，D3输入“ FALSE，选择计算概率函数值。见图 9-1。BCD12Number_eTrialsProbability sCuiriulative3L0L0Cl. 5FALSE图9-1 输入BINOMDIS函数的参数值 在上述参数值邻近单元格 E3中输入函数BI

6、NOMDIST()并引用已输入的参数值，回车即可得到概率值。在E2输入“ P ”，E3输入“ =BINOMDIST(A3,B3,C3,D3” 回车。见图 9-2。E3十|-=BrN0IDIST(A3, B3, C3, D3)BCn渐辑栏e|12Number_sTrialsProbability_sCuirul ativeF 、r310100. 5FALSE 1 0. 0009765631图9-2 调用函数BINOMDIST()计算二项分布概率值也可通过选择“插入”菜单 -“函数”命令或单击工具栏的粘贴函数 按钮-“粘贴函数”对话框，在“函数分类”中 -选择“统计”，在“函数名” 中选择“ BI

7、NOMDIST,单击确定“ BINOMDIS”对话框，在相应的参数 填充栏输入参数值引用或某具体值，单击确定得到概率值。见图9-3。图9-3 函数BINOMDIST()对话框及输入的参数值引用按上述步骤建立的工作表界面(见图9-2 )可作为一个求二项分布概率的模 板，只需改动相应的参数值就可得到新的概率。2.下面以例9-2为例演示计算二项分布累积概率的操作步骤。例9-2 根据以往经验新生儿染色体异常率为1%某研究者想了解当地新生 儿染色体异常是否低于一般，随机抽查了当地500名新生儿，结果2名染色体异常。 能否据此认为该地新生儿染色体异常率低于一般？可以认为500名新生儿中染色体异常的人数X服

8、从二项分布，可在假设该地新 生儿染色体异常率等于一般(即 H):兀=0.01 )的条件下，通过求最多.有2名新生 儿染色体异常的概率一一P(X<2)作统计推断。一般若P(X< 2) < 0.05，拒绝H; 若P(X< 2) > 0.05，尚不能拒绝H。P(X< 2)可按(9.2)和(9.1)式求得如下：2P(X 乞2) P(X)二 P(0)P(1)P(2)o500二(0.99)500!1(500-1)!499(0.99)(0.01)500!2(500-2)!4982(0.99)(0.01):0.1234用Excel计算步骤如下: 在工作表的邻近单元格 A2:

9、D3中依次输入标识与函数BINOMDIST(的 参数值。在A2输入“ Number_S', A3输入“ 2”，为染色体异常的儿童数；B2输入“Trials ”，B3输入“ 500”，为抽查新生儿的样本数；C2输入“ Probability_s ”, C3输入“ 0.01 ”，为新生儿染色体异常总体率；D2输入“ Cumulative ”，D3输入“TRUE，选择计算累积概率值。见图9-4。Acd n12Number sTnalsPiobatulily sCumulative325000.01TRUE4图9-4 建立并输入函数BINOMDIST0的参数值 在上述参数值邻近单元格 E3中输

10、入函数BINOMDIST。并引用已输入 的参数值，回车即可得到累积概率值。在E2输入“ P” E3输入“ =BINOMDIST(A3,B3,C3,D3” 回车。见图 9-5。E3*|=|sBINOJTOISTCAS, B3, C3, D3)ABC 鏑辑栏DE |I2Numb&r sTrialsProbability sCumulativeP、J龙5000. 01TRUE0. 123385774<14图9-5 调用函数BINOMDIST()生成二项分布累积概率值也可通过选择“插入”菜单 -“函数”命令或单击工具栏的粘贴函数 按钮-“粘贴函数”对话框，在“函数分类”中 -选择“统计”

11、，在“函数名” 中选择“ BINOMDIST，单击确定“ BINOMDIST对话框，在相应的参数 填充栏输入参数值引用或某具体值，单击确定得到累积概率值。见图9-6。按上述步骤建立的工作表界面(见图9-5)可作为一个求二项分布累积概率 的模板，只需改动相应的参数值就可得到新的累积概率。BINCMDIST：gufiul 生匚S 二 2匡=50033= o oi勺二 TKUI=0. 123385774返回一无二项式分布的福率亘计算结果=0. 1233857744确定rd 取消Cumnlati 選辑值，决毎函数的形式。累积分布函数，使用TRUE :槻率密 度函数，便用FALSE图9-6 函数BINO

12、MDIST()对话框及输入的参数值第二节Poisson分布的概率和累积概率的求法一、Poisson 分布泊松分布(Poisson distribution)，用于描述在单位时间或空间内罕见事件发生规律的一种离散型概率分布。如一定人群中某种患病率或死亡率很低的非 传染性疾病(遗传缺陷病、癌症等)的分布情况，粉尘或细菌在单位空间或容积 内的分布情况，放射性物质在单位时间内放射出质点数的分布情况等等。Poisson分布可看成二项分布(特定事件发生的概率二很小且为常数，而试验的次数n很大) 的特例。1. Poisson分布的概率为：e-jxP(X) = X =0，1, 2，3,.(9.4)X!式中(&

13、gt;0)为Poisson分布的总体均数，是Poisson分布的唯一参数；X为单位 时间或空间内某事件的发生数；e = 2.71828 是自然对数的底。意义是单位时间或单位空间内有X 例某事件发生的概率。2. Poisson分布的累积概率为:特定事件最多发生k次的概率k(9.6)(9.5)P(X 乞 k)八 P(X) X = 0, 1,2, 3,k0特定事件最少发生k次的概率P(X _k) =1 _P(X ： k) X =0, 1,2, 3,kPoiss on 分布的累积概率可用于统计推断、Poisson分布的概率和累积概率的求法利用Excel的统计函数POISSON（可求Poisson分布的

14、概率和累积概率。（一）方法Poisson分布计算函数POISSON（的语法为：POISSON (x, mean, cumulative)X事件发生数。Mean总体均数。即Poisson分布的参数，。实际应用中，可用X代替。Cumulative为一逻辑值，确定所返回概率的形式。如果cumulative 为TRUE函数POISSON（返回累积概率，即随机事件发生的次数小于等于X;如果为 FALSE则返回概率，即随机事件发生的次数恰好为 X。（二）操作步骤1.下面以例9-3为例演示Poisson分布概率求法的具体操作步骤。例9-3 在500毫升微生物溶液中，含某种微生物的浓度是0.3只/毫升。今从

15、中抽取1毫升溶液，问其中含有2只微生物的概率是多少？可以认为微生物溶液中含微生物的只数 X服从Poisson分布，X=2, =0.3，即Mean=0.3。按（9.4）式计算如下：0 32P（X =2）e©3 0.033342!用Excel计算步骤如下：.在工作表的邻近单元格 A2:E3中依次建立并输入函数 POISSON（的参数在A2输入“ X” A3输入“ 2”为微生物的出现数；B2俞入“ Mea6, B3俞 入“0.3 ”，为Poisson分布的参数九；C2俞入“Cumulative ” C3俞入“FALSE,选 择计算概率值。见图9-7。AEcD12XMeanCuitiulal

16、ivc320. 3FALSE41-图9-7 输入函数POISSON()的参数值(2).在上述参数值邻近单元格中输入函数 POISSON。并引用已输入的参 数值，回车即可得到概率值。在 D2输入“ P”，D3输入“ =POISSON (A3,B3,C3) ”回车。见图 9-8图9-8 调用函数POISSONQ计算POISSO分布概率值也可通过选择“插入”菜单 -“函数”命令或单击工具栏的粘贴函数 按钮-“粘贴函数”对话框，在“函数分类”中 -选择“统计”，在“函数名” 中-选择“ POISSON,单击确定-“POISSON对话框，在相应的参数填充 栏输入参数值引用或某具体值，单击确定得到概率值。

17、见图9-9。图9-9 函数POISSON(对话框及输入的参数值按上述步骤建立的工作表界面 (见图9-8)可作为一个求Poisson分布概率的 模板，只需改动相应的参数值就可得到新的概率。2.下面以例9-4为例演示Poisson分布累积概率求法的具体操作步骤。例9-4一般人群食管癌患病率为万分之八，某研究者为了解当地食管癌患 病率是否高于一般人群，随机抽查当地500人，结果6人患食管癌。能否据此认为 该地食管癌患病率高于一般人群？食管癌患病人数X可以看成是服从以 =：=500X 0.0008=0.4为参数的 Poisson分布，可在假设该地食管癌患病平均人数等于 0.4的条件下，即H): =0.

18、4 , 通过求最少 有6人患食管癌的概率 P(X>6)作统计推断。一般若 P(X> 6) < 0.05，拒绝 若 P(X> 6) > 0.05，尚不能拒绝 H。P(X> 6)可按(9.6)、(9.5)和 (9.4)式求得如下：P(X _6)_P(X : 6)亠P(0)P(1)P(2)P(3)P(4)P(5)012345=1-eeeeee 0!1!2!3!4!5!1-0.999996 = 0.000004用Excel计算步骤如下：在工作表的邻近单元格A2:E3中依次建立并输入函数POISSON(的参数 值。在A2输入“X”，A3输入“ 5”，为患食管癌的人数；B2输入“n”，B3输入“500”， 为抽查的人数；C2输入“ Pi”，C3输入“0.0008”，为人群食管癌患病的概率；D2 输入“ Mea6, D3输入“ =B3*C3'回车，通过n；r求出Poisson分布的参数丸；E2输 入“ Cumulati