二次函数恒成立问题

1、二次函数恒成立问题之老阳三干创作2016年8月东莞莞美学校一、恒成立问题的基本类型:类型1:设f(x)ax2 bx c(a0),(1) f(x)0在xR上恒成立a0且0;(2) f(x)0ft xR上恒成立a0且0。类型2:设f(x)ax2 bx c(a0)(1)当a 0时，f (x) 0在x ,上恒成立bbb2a或 2a或 2a,f( ) 00f( ) 0f (x) 0ft x ,上恒成立f( ) 0f( ) 0(2)当a 0时，f (x)0在x,上恒成立f( ) 0f( ) 0f(x) 0ft x ,上恒成立bbb2a或 2a或 2af( ) 00f( ) 0类型3:f (x) 对一切x

2、I包成立 f (x)minf (x) 对一切x I恒成立f (x)max(2) f (x) 0ft x R上恒成立a 0且 0类型4: 二、恒成立问题罕见的解题战略:战略一：利用二次函数的判别式对于一元二次函数f (x) ax2bx c 0(a 0,x R)有:(1) f (x) 0在x R上恒成立a 0且 0;(m 1)x2 (m 1)x 2 0的解集是R,求m的范围。解析：要想应用上面的结论，就得包管是二次的，才有判别式，但二次项 系数含有参数 所以要讨论 m-1是否是0。(1)当m-1=0时，不等式化为2>0恒成立，满足题意;m 1 0时，只需m 1 0 2,所以，m1,9)。(m

3、 1)2或2成2aaf (x)min f( a) 3 a a-224 8(m 1) 0战略二：利用函数的最值(或值域)(1) f (x)m对任意X都成立f (x) min m；(2) f(x)m对任意x都成立m f(x)max。简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。例2.已知f(x) x2 ax 3 a ,若x 2,2, f (x) 2恒成立，求a的取值范围.解析 本题可以化归为求函数f(x)在闭区间上的最值问题，只要对于任意 x 2,2, f (x)min 2 .若 x 2,2, f (x) 2 恒成立2) f (x) g(a)(a为参

4、数)恒成立g(a) f (x) maxx 2,2, f (x)min 2a 22f (x)minf( 2) 7 3af (x) min,即a的取值范围为f(2) 7 a 25, 2 2-2.战略三：利用零点分布例3.已知f(x) x2 ax 3 a ,若x 2,2, f (x) 0恒成立，求a的取值范围解析 本题可以考虑f(x)的零点分布情况进行分类讨论，分无零点、零0 a 点在区间的左侧、零点在区间的右侧三种情况，即 awo或a 2或 f( 2) 0 f(2) 0 0 a2 2 ，即a的取值范围为-7 , 2. f( 2) 0 f(2) 0点评 对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于零的

5、问题，可以考虑函数的零点分布情况，要求对应闭区间上函数图象在 X轴的上方或在X 轴上就行了 .变式：设f(x) X2 2mx 2 ,当X 1,)时，f (x) m恒成立，求实数 m的取 值范围。解：设 F(x) x2 2mx 2 m,则当 x 1,)时，F(x) 当 4(m 1)(m 2) 0即2 m 1时，F(x) 0显然成立； 当 0时，如图，F(x) 0恒成立的充要条件为：0F( 1) 0解得3 m 2。综上可得实数m的取值范围为3,1)2m / 1 2战略四：分离参数法若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从 而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法

6、实质也还是 求最值，但它思路更清晰，操纵性更强。一般地有：1) f (x) g(a)(a为参数)恒成立 g(a) f (x)max2f(x) x 2x a,x 1,),若对任意x 1,), f(x) 0恒成立，求实数a的取x值范围。解：若对任意x 1,), f(x) 0恒成立，即对 x 1,), f(x) -2xa 0恒成立，x考虑到不等式的分母x 1,)，只需x2 2x a 0在x 1,)时恒成立而得x2 2x a 0在x 1,)时恒成立，只要 ax2 2x在x 1,)时恒成立。而易求得二次函数h(x)x2 2x在1,)上的最大值为3,所以a 3。变式：已知函数f(x) ax V4x x2,

7、x (0,4时f(x) 0恒成立，求实数a的取值 范围。解：将问题转化为a ' 4x x对x (0,4恒成立。 x令 g(x) “4x x ,则 a g(x)min x由 g(x) "4x xJ4可知 g(x)在(0,4上为减函数，故 g(x)min g(4) 0x . x.a 0即a的取值范围为(，0)。注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。 战略五：确定主元在给出的含有两个变量的不等式中，学生习惯把变量x看成是主元(未知数)，而把另一个变量a看成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐。如果把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作参数，则 可简

8、化解题过程。2x 1 m(x2 1)对满足2 m 2的所有m都成立，求x的范围解析：我们可以用改变主元的法子，将m视为主变元，即将元不等式化为:m(x2 1) (2x 1) 0,；令 f(m)m(x2 1) (2x 1),则 2 m 2 时，f(m) 0 恒成立，所以只需f( 2) f(2)干21) (2x 0 0 ,所以x的范围是2(x2 1) (2x 1) 01 、.7 1.3x (；-, -)22总结：利用了一次函数f(x)kx b, x m,n有:变式：对任意a 1,1,不等式x2 (a 4)x 4 2a 0恒成立，求x的取值范 围。分析：题中的不等式是关于x的一元二次不等式，但若把a

9、看成主元，则问题可转化为一次不等式(x 2)a x2 4x 4 0在a 1,1上恒成立的问题。解：令f(a) (x 2)a x2 4x 4 ,则原问题转化为f(a) 0恒成立(a 1,1)。当x 2时，可得f (a) 0,分歧题意。当x 2时，应有f0解之得x 1或x 3。f( 1) 0故x的取值范围为(,1) (3,)。战略六：消元转化例6.已知f(x)是定义在-1,1上的奇函数，且f(1)=1,若m,n 小n。时。，若f(x) t2 2ati对于所有的x 1,” 1,1恒成 立，求实数t的取值范围.解析本题不等式中有三个变量，因此可以通过消元转化的战略，先消去一个变量，容易证明f(x)是定

10、义在-1,1上的增函数，故f(x)在-1,1上的最大值为f(1)=1,则f(x) t2 2at 1对于所有的x 1,1, a 1,1恒成立1 t2 2at 1对于所有的a 1,1恒成立，即2ta t2 0对于所有的a 1,1恒成 立，令 g(a) 2ta t2,只要 g( 1) 0 , t 2或t 2或t 0.g(1) 0点评 对于含有两个以上变量白不等式恒成立问题，可以根据题意依次进行消元转化，从而转化为只含有两变量的不等式问题，使问题得到解决.以上介绍的几种罕见不等式恒成立问题的求解战略，只是分别从某个正 面入手去探讨不等式中参数的取值范围。事实上，这些战略不是孤立的，在 具体的解题实践中

11、，往往需要综合考虑，灵活运用，才干使问题得以顺利解 决。巩固练习 1. (1)若关于x的不等式x2 ax a。的解集为(，)，求实数a的取值范围；(2)若关于x的不等式x2 ax a3的解集不是空集，求实数 a的取值范围.解：(1 )设f x x2 ax a .则关于x的不等式x2 ax a 0的解集为(,)f x 0在，上恒成立fmin x 0,即fmin x 组工0,解得44 a 0(2)设f x x2 ax a.则关于x的不等式x2 ax a3的解集不是空集上能成立 fmin x3,即x”3,解得a 64或a 2.2 .若函数y Jmx26mxm8在R上恒成立，求 m的取值范围 分析：该

12、题就转化为被开方数 mx2 6mx m 8 0在R上恒成立问题，而且注 意对二次项系数的讨论。略解：要使y Wmx2 6mx m 8在R上恒成立，即mx2 6mx m 8 0在R上恒成立1'm 0 时，8 0m。成立t m 02 m 0 时，236 m2由1, 2,可知，0 m3 .已知向量a(x2,x,0 m 14 m 8 32mmi 011),b (1 x,t),若函数fx a b在区间 1,1上是增函数，求t的取值范围.解：依定义 f(x) x2 (1 x) t(x 1)x3 x2 tx t,则f (x)3x2 2x t. f x在区间 1,1上是增函数等价于f x 0在区间 1

13、,1上恒成立；而f x 0在区间1,1上恒成立又等价于t 3x2 2x在区间1,1上恒成立；设g x 3x2 2x,x 1,1进而t g x在区间 1,1上恒成立等价于 t gmax x , x 1,1考虑到g x3x2 2x,x 1,1在1,1上是减函数，在1,1上是增函数，则3 3gmax x g 1 5.于是，t的取值范围是t 5.4.已知函数f xx3 3ax 1,g x f x ax 5 ,其中f' x是f x的导函数.对满足1 a 1的一切a的值，都有g x 0,求实数x的取值范围；解法1.由题意g x 3x2 ax 3a 5,这一问概况上是一个给出参数 a的范围， 解不等

14、式g x 0的问题，实际上，把以x为变量的函数g x ,改为以a为变 量的函数，就转化为不等式的恒成立的问题，即令 a 3 x a 3x2 5,1 a 1 ,则对 1 a 1 ,恒有 g x 0,即a 0,从而转化为对1 a 1, a0恒成立，又由 a是a的一次函数,2只需11 00即3：2 x8 0懈得3 x1.故,-,1时，对满足 31 a 1的一切a的值，都有g x0.2g x 3x ax 3a 50.由1 a 1知,a2 36a 600,于是，不等式的解为aa2 36a 60a 、a236a60 x 但是，这个结果是不正确的，因为没有考虑a的条件，还应进一步完善.为此，设 ga a &

15、#39;a2 636a 60,ha a2 36a 60 a 6不等式化为g a x h a , 11恒成立，即g amax xh a min , 1 a 1.由于g aa 、a2 36a 60a 1上是增函数，则ga maxg1 I- a、a2 36a 60 h a 61上是减函数，则ha min1.所以,x 1.故x 2,1时，对满足31的一切a的值，都有g x0.5.若对任意的实数x,.2 sin x2kcosx 2k2 0恒成立，求k的取值范围。解法一：原不等式化为2 cos x2k cosx 2kcosx ,1,即f (t) t2 2kt2k2 k2 2k 1在t 1,1上恒大于0。若

16、k 1 ,要使 f(t) 0 ,即 f(1)k不存在若1 k 1,若使 f(t) 0,即f(k)k2 2k 1 0 1 、2 k 1.2若k 1 ,要使 f (t) 0,即 f(1)由，可知,解法二：f t2 2kt2k 10,在 1,1上恒成立。 k2 2k 1 012 k 1 .22_k 2k 1 0 f(1) 0k 1、2f( 1) 0k 1或 k1由，可知，k 1 x2o6 .已知函数f(x) x2 ax 1 0对于一切x (0,1成立，求a的取值范围。 27 .已知函数f (x) x2 4x m对于x (0,1恒成立，求 m的取值范围。8 .若不等式9x2 6ax a2 2a 6 0在-x1内怛成立，求a的取值范围 33y lgx2 (a 1)x a2的定义域为R,求实数a的取值范围。解：由题设可将问题转化为不等式x2 (a 1)x a2 0对x R恒成立，即有1或a所以实数a的取值范围为(a 1)2 4a2 0 解得