2018中考数学专题复习 第二十三讲 圆的有关计算ppt课件

1、第二十三讲圆的有关计算一、正多边形和圆一、正多边形和圆1.1.定义定义: :各边各边_,_,各角也都各角也都_的多边形是正多边的多边形是正多边形形. .2.2.正多边形和圆的关系正多边形和圆的关系: :把一个圆把一个圆_,_,依次衔接依次衔接_可作出圆的内接正可作出圆的内接正n n边形边形. .相等相等相等相等n n等分等分各分点各分点二、圆中的弧长与扇形面积二、圆中的弧长与扇形面积1.1.半径为半径为R R的圆中的圆中,n,n的圆心角所对的弧长的圆心角所对的弧长l l的计算公的计算公式为式为l=_.l=_.n R1802.2.扇形面积扇形面积: :(1)(1)半径为半径为R R的圆中的圆中,

2、 ,圆心角为圆心角为n n的扇形面积为的扇形面积为S S扇形扇形=_.=_.(2)(2)半径为半径为R,R,弧长为弧长为l l的扇形面积为的扇形面积为S S扇形扇形=_.=_.2n R3601R2l【自我诊断】【自我诊断】( (打打“或或“) )1.1.扇形小于半圆扇形小于半圆. .( )( )2.2.圆锥的侧面展开图的半径等于圆锥的母线长圆锥的侧面展开图的半径等于圆锥的母线长.( ).( )3.3.知扇形的圆心角为知扇形的圆心角为4545, ,半径长为半径长为12,12,那么该扇形的那么该扇形的弧长为弧长为 . .( )( )344.4.弓形的面积等于扇形面积弓形的面积等于扇形面积- -相应

3、三角形面积相应三角形面积.( ).( )5.5.一个圆锥的底面半径是一个圆锥的底面半径是6cm,6cm,其侧面展开图为半圆其侧面展开图为半圆, ,那么圆锥的母线长为那么圆锥的母线长为9cm.9cm.( )( )考点一考点一 正多边形和圆的有关计算正多边形和圆的有关计算 【示范题【示范题1 1】(2021(2021滨州中考滨州中考) )假设正方形的外接圆假设正方形的外接圆半径为半径为2,2,那么其内切圆半径为那么其内切圆半径为( () )2A. 2 B.2 2 C. D.12【思绪点拨】根据题意画出图形【思绪点拨】根据题意画出图形, ,再由正方形及等腰再由正方形及等腰直角三角形的性质求解即可直角

4、三角形的性质求解即可. .【自主解答】选【自主解答】选A.A.如下图如下图, ,衔接衔接OA,OE,OA,OE,ABAB是正方形是正方形ABCDABCD内切圆的切线内切圆的切线,OEAB,OEAB,四边形四边形ABCDABCD是正方形是正方形,AE=OE,AE=OE,AOEAOE是等腰直角三角形是等腰直角三角形, ,OE= OE= 2OA2.2【答题关键指点】【答题关键指点】 正多边形的有关边的计算的常用公式正多边形的有关边的计算的常用公式(1)r2+ =R2(r(1)r2+ =R2(r表示边心距表示边心距,R,R表示半径表示半径,a,a表示边长表示边长).).(2)l=na(l(2)l=na

5、(l表示周长表示周长,n,n表示边数表示边数,a,a表示边长表示边长).).(3)S(3)S正正n n边形边形= lr(l= lr(l表示周长表示周长,r,r表示边心距表示边心距).).2a( )212【变式训练】【变式训练】1.(20211.(2021达州中考达州中考) )以半径为以半径为2 2的圆的内接正三角形、的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形正方形、正六边形的边心距为三边作三角形, ,那么该那么该三角形的面积是三角形的面积是( () ) 23A. B. C. 2 D. 322【解析】选【解析】选A.A.如图如图1,OC=2,OD=21,OC=2,OD=2sin3

6、0sin30=1;=1;如图如图2,OB=2,OE=22,OB=2,OE=2sin45sin45= ;= ;如图如图3,OA=2,OD=23,OA=2,OD=2cos30cos30= ,= ,那么该三角形的三边分别为那么该三角形的三边分别为:1, , ,:1, , ,(1)2+( )2=( )2,(1)2+( )2=( )2,该三角形是直角三角形该三角形是直角三角形, ,该三角形的面积是该三角形的面积是 2332231212.22 2.(20212.(2021济宁中考济宁中考) )如图如图, ,正六边形正六边形A1B1C1D1E1F1A1B1C1D1E1F1的的边长为边长为1,1,它的它的6

7、6条对角线又围成一个正六边形条对角线又围成一个正六边形A2B2C2D2E2F2,A2B2C2D2E2F2,如此继续下去如此继续下去, ,那么六边形那么六边形A4B4C4D4E4F4A4B4C4D4E4F4的面积是的面积是_._.【解析】由正六边形的性质得【解析】由正六边形的性质得:A1B1B2=90:A1B1B2=90, , B1A1B2=30B1A1B2=30,A1A2=A2B2,A1A2=A2B2,B1B2= A1B1= ,A2B2= A1B2=B1B2= ,B1B2= A1B1= ,A2B2= A1B2=B1B2= ,正六边形正六边形A1B1C1D1E1F1A1B1C1D1E1F1正六边

8、形正六边形A2B2C2D2E2F2,A2B2C2D2E2F2,正六边形正六边形A2B2C2D2E2F2A2B2C2D2E2F2的面积的面积正六边形正六边形A1B1C1D1E1F1A1B1C1D1E1F1的面积的面积= =33()正六边形正六边形A1B1C1D1E1F1A1B1C1D1E1F1的面积的面积= = 正六边形正六边形A2B2C2D2E2F2A2B2C2D2E2F2的面积的面积 同理同理: :正六边形正六边形A4B4C4D4E4F4A4B4C4D4E4F4的面积的面积= = 答案答案: : 133 361222 ，13 33322，313 33.3218（ ）

9、318考点二考点二 弧长、扇形面积的计算弧长、扇形面积的计算 【示范题【示范题2 2】(1)(2021(1)(2021烟台中考烟台中考) )如图如图, ,平行四边形平行四边形ABCDABCD中中,B=70,B=70,BC=6,BC=6,以以ADAD为直径的为直径的O O交交CDCD于点于点E,E,那么那么 的长为的长为( () )DE1274A. B. C. D.3363(2)(2021(2)(2021菏泽中考菏泽中考) )一个扇形的圆心角为一个扇形的圆心角为100100, ,面积面积为为15cm2,15cm2,那么此扇形的半径长为那么此扇形的半径长为_._.【思绪点拨】【思绪点拨】(1)(1

10、)衔接衔接OE,OE,由平行四边形的性质出由平行四边形的性质出D=B=70D=B=70,AD=BC=6,AD=BC=6,得出得出OA=OD=3,OA=OD=3,由等腰三角形由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出的性质和三角形的内角和定理求出DOE=40DOE=40, ,再由再由弧长公式即可得出答案弧长公式即可得出答案. .(2)(2)根据扇形的面积公式根据扇形的面积公式S= S= 即可求得半径即可求得半径. .2n R360【自主解答】【自主解答】(1)(1)选选B.B.衔接衔接OE,OE,如下图如下图: :四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形, ,D=B=70D=B=70

11、,AD=BC=6,OA=OD=3,AD=BC=6,OA=OD=3,OD=OE,OED=D=70OD=OE,OED=D=70, ,DOE=180DOE=180-2-27070=40=40, , 4032DE.1803的长(2)(2)由于圆心角为由于圆心角为100100, ,面积为面积为15cm2,15cm2,所以由扇形面积公式所以由扇形面积公式S= S= 得得R= R= 答案答案: cm: cm2n R360360S360 153 6.n1003 6【答题关键指点】【答题关键指点】 扇形面积公式的选择扇形面积公式的选择(1)(1)当知半径当知半径R R和圆心角的度数求扇形的面积时和圆心角的度数求

12、扇形的面积时, ,选选用公式用公式S S扇形扇形= .= .(2)(2)当知半径当知半径R R和弧长求扇形的面积时和弧长求扇形的面积时, ,应选用公式应选用公式S S扇形扇形= lR.= lR.2n R36012【变式训练】【变式训练】1.(20211.(2021枣庄中考枣庄中考) )如图如图, ,在平行四边形在平行四边形ABCDABCD中中,AB,AB为为O O的直径的直径, ,O O与与DCDC相切于点相切于点E,E,与与ADAD相交于点相交于点F,F,知知AB=12,C=60AB=12,C=60, ,那么那么 的长为的长为_._.FE【解析】如图【解析】如图, ,衔接衔接OE,OF,OE

13、,OF,CDCD是是O O的切线的切线,OECD,OED=90,OECD,OED=90, ,四边形四边形ABCDABCD是平行四边是平行四边形形,C=60,C=60,A=C=60,A=C=60,D=120,D=120, ,OA=OF,A=OFA=60OA=OF,A=OFA=60,DFO=120,DFO=120, ,EOF=360EOF=360-D-DFO-DEO=30-D-DFO-DEO=30, , 的长的长= =.= =.答案答案:EF3061802.(20212.(2021泰州中考泰州中考) )扇形的半径为扇形的半径为3 cm,3 cm,弧长为弧长为2cm,2cm,那么该扇形的面积为那么该

14、扇形的面积为_cm2._cm2.【解析】根据扇形面积公式【解析】根据扇形面积公式,S= lr= ,S= lr= 223 3=3cm2.=3cm2.答案答案:3:31212考点三考点三 与圆有关的阴影面积的计算与圆有关的阴影面积的计算 【考情分析】与圆有关的阴影面积的计算是各地中考【考情分析】与圆有关的阴影面积的计算是各地中考试题命题的热点试题命题的热点, ,常与三角形、四边形、切线等结合常与三角形、四边形、切线等结合进展命题进展命题, ,试题难易度变化较大试题难易度变化较大, ,呈现方式多样化呈现方式多样化, ,有有选择题、填空题和解答题选择题、填空题和解答题. .命题角度命题角度1:1:阴影

15、部分面积由扇形的面积与其他图形的阴影部分面积由扇形的面积与其他图形的面积和差得到面积和差得到【示范题【示范题3 3】(2021(2021青岛中考青岛中考) )如图如图, ,直线直线AB,CDAB,CD分别分别与与O O相切于相切于B,DB,D两点两点, ,且且ABCD,ABCD,垂足为垂足为P,P,衔接衔接BD,BD,假假设设BD=4,BD=4,那么阴影部分的面积为那么阴影部分的面积为_._.【思绪点拨】根据阴影部分的面积【思绪点拨】根据阴影部分的面积= =扇形扇形OBDOBD的面积的面积- -OBDOBD的面积的面积, ,计算得出答案计算得出答案. .【自主解答】衔接【自主解答】衔接OB,O

16、D,OB,OD,由于直线由于直线AB,CDAB,CD分别与分别与O O相相切于切于B,DB,D两点两点, ,且且ABCD,ABCD,所以所以PBO=PDO=90PBO=PDO=90, ,由于由于OB=OD,OB=OD,所以四边形所以四边形PBODPBOD是正方形是正方形, ,所以所以BOD=BOD=9090, ,BODBOD是直角三角形是直角三角形, ,由勾股定理得由勾股定理得OB2+OD2=42,OB2+OD2=42,解得解得OB=2 ,OB=2 ,2所以阴影部分的面积所以阴影部分的面积= = =2-4.=2-4.答案答案:2-4:2-42902 212 22 23602命题角度命题角度2:

17、2:阴影部分由多个扇形等简单组合而成阴影部分由多个扇形等简单组合而成【示范题【示范题4 4】(2021(2021德州中考德州中考) )某景区建筑一栋复古某景区建筑一栋复古建筑建筑, ,其窗户设计如下图其窗户设计如下图. .圆圆O O的圆心与矩形的圆心与矩形ABCDABCD对对角线的交点重合角线的交点重合, ,且圆与矩形上下两边相切且圆与矩形上下两边相切(E(E为上切为上切点点),),与左右两边相交与左右两边相交(F,G(F,G为其中两个交点为其中两个交点),),图中阴影图中阴影部分为不透光区域部分为不透光区域, ,其他部分为透光区域其他部分为透光区域. .知圆的半知圆的半径为径为1m,1m,根

18、据设计要求根据设计要求, ,假设假设EOF=45EOF=45, ,那么此窗户的透那么此窗户的透光率光率( (透光区域与矩形窗面的面积的比值透光区域与矩形窗面的面积的比值) )为为_._.【思绪点拨】把透光部分看作是两个直角三角形与四【思绪点拨】把透光部分看作是两个直角三角形与四个个4545的扇形的组合体的扇形的组合体, ,其和就是透光的面积其和就是透光的面积, ,再计算再计算矩形的面积矩形的面积, ,相比可得结果相比可得结果. .【自主解答】设【自主解答】设O O与矩形与矩形ABCDABCD的另一个切点为的另一个切点为M,M,连连接接OM,OG,OM,OG,那么那么M,O,EM,O,E共线共线

19、, ,由题意得由题意得:MOG=EOF=45:MOG=EOF=45, ,FOG=90FOG=90, ,且且OF=OG=1,OF=OG=1,SS透光区域透光区域= = 过点过点O O作作ONADONAD于点于点N,N,21801121 1136022 ，ON= ON= AB=2ON= AB=2ON= SS矩形矩形= = 答案答案: : 12FG22，222,2222 2，1S222.S82 2透光区域矩形（）228（）命题角度命题角度3:3:阴影面积与折叠、旋转相结合调查阴影面积与折叠、旋转相结合调查【示范题【示范题5 5】(2021(2021济宁中考济宁中考) )如图如图, ,在在RtRtAB

20、CABC中中, , ACB=90ACB=90,AC=BC=1.,AC=BC=1.将将RtRtABCABC绕绕A A点逆时针旋转点逆时针旋转3030后得到后得到RtRtADE,ADE,点点B B经过的途径为经过的途径为 , ,那么图中阴那么图中阴影部分的面积是影部分的面积是( () )BD11A. B. C. D.63222【思绪点拨】先根据勾股定理得到【思绪点拨】先根据勾股定理得到AB= ,AB= ,再根据扇再根据扇形的面积公式计算出形的面积公式计算出S S扇形扇形ABD,ABD,由旋转的性质得到由旋转的性质得到RtRtADERtADERtABC,ABC,于是于是S S阴影部分阴影部分=S=S

21、ADE+SADE+S扇形扇形ABD-ABD-S SABCABC=S=S扇形扇形ABD.ABD.2【自主解答】选【自主解答】选A.ACB=90A.ACB=90,AC=BC=1,AB= ,AC=BC=1,AB= ,SS扇形扇形ABD= ABD= 又又RtRtABCABC绕绕A A点逆时针旋转点逆时针旋转3030后得到后得到RtRtADE,ADE,RtRtADERtADERtABC,ABC,SS阴影部分阴影部分=S=SADE+SADE+S扇形扇形ABD-SABD-SABC=SABC=S扇形扇形ABD= .ABD= .22302.3606（）6命题角度命题角度4:4:阴影部分面积与切线相结合阴影部分面

22、积与切线相结合【示范题【示范题6 6】(2021(2021临沂中考临沂中考) )如图如图,AB,AB是圆是圆O O的直的直径径,BT,BT是圆是圆O O的切线的切线, ,假设假设ATB=45ATB=45,AB=2,AB=2,那么阴影部那么阴影部分的面积是分的面积是( () )31A.2 B.2411C.1 D.24【思绪点拨】设【思绪点拨】设ATAT交交O O于点于点D,D,衔接衔接BD,BD,先根据圆周角先根据圆周角定理得到定理得到ADB=90ADB=90, ,那么可判别那么可判别ADB,ADB,BDTBDT都是等腰都是等腰直角三角形直角三角形, ,所以所以AD=BD=TD= AD=BD=T

23、D= 然后利用弓形然后利用弓形ADAD的面积等于弓形的面积等于弓形BDBD的面积得到阴影部分的面积的面积得到阴影部分的面积= =S SBTD.BTD.2AB22，【自主解答】选【自主解答】选C.BTC.BT是是O O的切线的切线; ;设设ATAT交交O O于点于点D,D,衔接衔接BD,ABBD,AB是是O O的直径的直径,ADB=90,ADB=90, ,而而ATB ATB =45=45,ADB,ADB,BDTBDT都是等腰直角三角形都是等腰直角三角形,AD=BD ,AD=BD =TD= =TD= 弓形弓形ADAD的面积等于弓形的面积等于弓形BDBD的面积的面积, ,阴影部分的面积阴影部分的面积

24、=S=SBTD= BTD= 2AB22，1221.2【答题关键指点】【答题关键指点】 求解一些几何图形的面积求解一些几何图形的面积, ,特别是不规那么几何图特别是不规那么几何图形的面积时形的面积时, ,常经过平移、旋转、分割等方法常经过平移、旋转、分割等方法, ,把不把不规那么图形面积转化为规那么图形面积的和或差规那么图形面积转化为规那么图形面积的和或差, ,使复杂使复杂问题简单化问题简单化, ,便于求解便于求解. .这种解题方法也表达了整体这种解题方法也表达了整体思想、转化思想思想、转化思想. .将不规那么图形面积转化为规那么将不规那么图形面积转化为规那么图形的面积图形的面积, ,常用的方法

25、有常用的方法有: :直接用公式法直接用公式法; ;和差和差法法; ;割补法割补法. .【变式训练】【变式训练】1.(20211.(2021淄博中考淄博中考) )如图如图, ,半圆的直径半圆的直径BCBC恰与等腰直恰与等腰直角三角形角三角形ABCABC的一条直角边完全重合的一条直角边完全重合, ,假设假设BC=4,BC=4,那么那么图中阴影部分的面积是图中阴影部分的面积是( () ) A.2+ A.2+B.2+2B.2+2C.4+C.4+D.2+4D.2+4【解析】选【解析】选A.A.如图如图, ,衔接衔接CD,OD,BC=4,OB=2, CD,OD,BC=4,OB=2, B=45B=45,CO

26、D=90,COD=90,图中阴影部分的面积图中阴影部分的面积=S=SBOD+SBOD+S扇形扇形COD= COD= 219022 22.2360 2.(20212.(2021衢州中考衢州中考) )运用图形变化的方法研讨以下问运用图形变化的方法研讨以下问题题: :如图如图,AB,AB是是O O的直径的直径,CD,EF,CD,EF是是O O的弦的弦, ,且且ABCDABCD EF,AB=10,CD=6,EF=8. EF,AB=10,CD=6,EF=8.那么图中阴影部分的面积是那么图中阴影部分的面积是 ( () )A. A. B.10B.10C.24+4C.24+4D.24+5D.24+5252【解

27、析】选【解析】选A.A.作直径作直径CG,CG,衔接衔接OD,OE,OF,DG.OD,OE,OF,DG.CGCG是圆的直径是圆的直径,CDG=90,CDG=90, ,那么那么DG= DG= 又又EF=8,DG=EF,EF=8,DG=EF, S S扇形扇形ODG=SODG=S扇形扇形OEF,OEF,ABCDEF,SABCDEF,SOCD=SOCD=SACD,SACD,SOEF=SOEF=SAEF,AEF,22CGCD221068 ，DGEFSS阴影阴影=S=S扇形扇形OCD+SOCD+S扇形扇形OEF=SOEF=S扇形扇形OCD+SOCD+S扇形扇形ODG=SODG=S半圆半圆= = 21255

28、.223.(20213.(2021怀化中考怀化中考) )如图如图, ,O O的半径为的半径为2,2,点点A,BA,B在在O O上上,AOB=90,AOB=90, ,那么阴影部分的面积为那么阴影部分的面积为_._.【解析】【解析】AOB=90AOB=90,OA=OB,OA=OB,OABOAB是等腰直角是等腰直角三角形三角形.OA=2,S.OA=2,S阴影阴影=S=S扇形扇形OAB-SOAB-SOAB= OAB= 2 22=-2.2=-2.答案答案:-2:-22902136024.(20214.(2021荆门中考荆门中考) )知知: :如图如图, ,ABCABC内接于内接于O,O,半半径径OCAB

29、,OCAB,点点D D在半径在半径OBOB的延伸线上的延伸线上,A=BCD=30,A=BCD=30, ,AC=2,AC=2,那么由那么由 , ,线段线段CDCD和线段和线段BDBD所围成图形的阴影部所围成图形的阴影部分的面积为分的面积为_._.BC【解析】由垂径定理可知【解析】由垂径定理可知BC=AC=2.O=2A=60BC=AC=2.O=2A=60, , OB=OC,OB=OC,OBCOBC是等边三角是等边三角形形.OC=BC=2,OCB=60.OC=BC=2,OCB=60.BCD=30.BCD=30,OCD=,OCD=OCB+BCD=90OCB+BCD=90.CD=OCtanO=2 .S.

30、CD=OCtanO=2 .S阴影阴影=S=SOCD-SOCD-S扇扇OBC= OBC= 答案答案: : 32160222 2 32 3.23603 22 335.(20215.(2021潍坊中考潍坊中考) )如图如图,AB,AB为半圆为半圆O O的直径的直径,AC,AC是是O O的一条弦的一条弦,D,D为为 的中点的中点, ,作作DEAC,DEAC,交交ABAB的延伸线于的延伸线于点点F,F,衔接衔接DA.DA.(1)(1)求证求证:EF:EF为半圆为半圆O O的切线的切线. .(2)(2)假设假设DA=DF=6 ,DA=DF=6 ,求阴影区域的面求阴影区域的面积积.(.(结果保管根号和结果保

31、管根号和)BC3【解析】【解析】(1)(1)衔接衔接OD,DOD,D为为 的中点的中点,CAD=BAD. ,CAD=BAD. OA=OD,BAD=ADO.OA=OD,BAD=ADO.CAD=ADO.DEAC,E=90CAD=ADO.DEAC,E=90. .CAD+EDA=90CAD+EDA=90, ,即即ADO+EDA=90ADO+EDA=90. .ODEF.ODEF.EFEF为半圆为半圆O O的切线的切线. .BC(2)(2)衔接衔接OC,CD.OC,CD.DA=DF,BAD=F,BAD=F=CAD.DA=DF,BAD=F,BAD=F=CAD.又又BAD+CAD+F=DOB+F=90BAD+

32、CAD+F=DOB+F=90, ,F=30F=30,BAC=60,BAC=60. .OC=OA,OC=OA,AOCAOC为等边三角形为等边三角形. .AOC=60AOC=60,COB=120,COB=120. .ODEF,F=30ODEF,F=30,DOF=60,DOF=60. .在在RtRtODFODF中中,DF=6 ,DF=6 ,OD=DFtan30OD=DFtan30=6.=6.在在RtRtAEDAED中中,DA=6 ,CAD=30,DA=6 ,CAD=30, ,DE=DAsin30DE=DAsin30=3 ,EA=DAcos30=3 ,EA=DAcos30=9.=9.333COD=18

33、0COD=180AOCDOF=60AOCDOF=60,CDAB.,CDAB.故故S SACD=SACD=SCOD.COD.SS阴影阴影= S= SAED-SAED-S扇形扇形COD= COD= 2160627 39 3 36 .23602 考点四考点四 圆锥的侧面积、全面积圆锥的侧面积、全面积 【示范题【示范题7 7】(2021(2021聊城中考聊城中考) )知圆锥形工件的底面知圆锥形工件的底面直径是直径是40 cm,40 cm,母线长为母线长为30 cm,30 cm,其侧面展开图的圆心角其侧面展开图的圆心角的度数为的度数为_._.【思绪点拨】设圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为【思绪点拨】设圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为n n, ,根据圆锥的侧面展开图为一扇形根据圆锥的侧面展开图为一扇形, ,这个扇形的弧这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长长等于圆锥底面的周长, ,扇形的半径等于圆锥的母线扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到长和弧长公式得到40= ,40= ,然后解方程即可然后解方程即可. .n30180【自主