信息论与编码理论--第二章

1、2021/8/14第二章第二章 信息量和熵信息量和熵Information and Entropy2021/8/14信息量和熵信息量和熵2.1 离散变量的非平均信息量离散变量的非平均信息量2.2 离散集的平均自信息量熵离散集的平均自信息量熵2.3 离散集的平均互信息量离散集的平均互信息量(mutual information)2.4 连续随机变量的互信息和熵连续随机变量的互信息和熵2.5 凸函数和互信息的凸性凸函数和互信息的凸性(convex)2021/8/142.1 离散变量的非平均信息量离散变量的非平均信息量2021/8/14输入，输出空间定义输入，输出空间定义联合联合概率概率后验后验概率

2、概率先验先验概率概率YX2021/8/14非平均互信息量非平均互信息量例例2.1.12.1.1P(Xk|0)P(Xk|01)P(Xk|011)X1X2X3X4X5X6X7x80000010100111001011101111/81/81/81/81/81/81/81/81/41/41/41/40000001/21/20000000100002021/8/14每种可能性都是每种可能性都是1/81/82021/8/140X1X1到到x4x4可能性都是可能性都是1/41/4X5X5到到x8x8可能性都是可能性都是0 0看到看到0 02021/8/1401X3X3到到x4x4可能性都是可能性都是1/2

3、1/2其他可能性都是其他可能性都是0 02021/8/14011x4x4可能性是可能性是1 1其他可能性都是其他可能性都是0 02021/8/14非平均互信息量非平均互信息量输入消息输入消息码字码字P(xk)收到收到0P(Xk|0)收到收到01P(Xk|01)收到收到011P(Xk|011)X1X2X3X4X5X6X7x80000010100111001011101111/81/41/81/41/161/161/161/161/61/31/61/30000001/32/30000000100002021/8/14非平均互信息量非平均互信息量信息量与后验概率有关，与先验概率有关信息量与后验概率有

4、关，与先验概率有关先验概率越大，得到的信息量越小，反之先验概率越大，得到的信息量越小，反之信息量越大信息量越大中国足球队中国足球队3:0战胜巴西足球队战胜巴西足球队巴西足球队巴西足球队3:0战胜中国足球队战胜中国足球队2021/8/14非平均互信息量非平均互信息量例例2.1.2输入消输入消息息码字码字p(xk)收到收到0P(Xk|0)收到收到01P(Xk|01)收到收到011P(Xk|011)X1X20001111/21/21-pp1/21/21-pp1-p1-p0011ppBSC2021/8/14非平均互信息量非平均互信息量(;)( (),(|)kjkkjI xyf Q xP xy12131

5、2(;)(;)(;|)(;|)kjkjkjjkjjjI xyI xyI xyyI xyy y(|)(;)log()(|)log(;)()kjkjakjkajkjP xyI xyQ xP yxI yxy2021/8/14条件互信息和联合事件互信息条件互信息和联合事件互信息三个事件集的条件互信息定义为三个事件集的条件互信息定义为可以推广到任意有限多个空间情况可以推广到任意有限多个空间情况123123123131323(|)(|)(;|)loglog(|)(|) (|)P uu uP u uuI u uuP uuP uu P uu2021/8/14互信息的可加性系统u1u2u3系统u1u2u3123

6、1213213123(;)(;)(;|)(;)(;|)I u u uI u uI u uuI u uI u uu2021/8/14离散变量的非平均自信息量离散变量的非平均自信息量(|)(;)log()1loglog ()()kjkjkkkp xyI xyq xq xq x 1()loglog ()()kkkI xq xq x 2021/8/14非平均自信息的性质非平均自信息的性质非负非负体现先验不确定性大小体现先验不确定性大小(;)()(;)()kjkkjjI xyI xI xyI y2021/8/14条件自信息和联合自信息条件自信息和联合自信息1212(|)log(|)I uup uu ()

7、log()kjkjI x yp x y (;)()(|)()(|)kjkkjjjkI xyI xI xyI yI yx2021/8/14自信息、条件自信息和互信息自信息、条件自信息和互信息(;)()()()kjkjkjI xyI xI yI x yI(xk)I(yj)I(xk ;yj)2021/8/14参考习题参考习题2.1，2.3，2.4，2.5，2.112021/8/142.2 离散集的平均自信息量熵离散集的平均自信息量熵2021/8/14熵熵-Entropy( )( )log ( )H xq xq x 表示集表示集X X中事件出现的平均不确定性，说明中事件出现的平均不确定性，说明一个事件

8、集合的平均信息量一个事件集合的平均信息量例例 二元信源的熵二元信源的熵 例例 例例2.1.12.1.1信源的熵信源的熵例例 一个英文字母的熵一个英文字母的熵4.034.03比特比特 一个汉字的熵为一个汉字的熵为9.659.65比特比特2021/8/14条件熵和联合熵条件熵和联合熵(|)()log ( | )xyH X Yp xyp x y XY独立时有独立时有H(X|Y)=H(X)()()log()()()(|)( )(|)xyH XYp xyp xyH XYH XH Y XH YH X Y 12,.,NH U UU121.H UH U U11,.,NNH UUU2021/8/14熵的性质熵的

9、性质对称性对称性非负性非负性确定性确定性扩展性扩展性可加性可加性极值性极值性是是P上凸函数上凸函数2021/8/14熵的性质可加性熵的性质可加性121 11121112122222212(,)KMmmKKKKKm KHp qp qp qp qp qp qp qp qp q1212,1(,)(,)kKKKkmkkmk kkHp ppp Hqqq2021/8/14熵的极值性熵的极值性引理引理1: lnxx-112111(,),logKKKHp ppHKKKK2021/8/14熵的极值性熵的极值性引理引理2 2：H(X|Y)H(X)H(U1UN)H(U1)+H(UN)11(,)logKkkkH pp

10、pq 2021/8/14熵的凸性熵的凸性H(P)H(P)是是P P的上凸函数的上凸函数1212(1)()(1)()HPPH PH P2021/8/142.3 离散集的平均互信息量离散集的平均互信息量2021/8/14平均互信息量平均互信息量(|)(;)()log( )xyp x yI X Yp xyq x 非负性非负性 对称性对称性 (;)()(|)( )(|)()( )(|)I X YH XH X YH YH Y XH XH YH X Y(|)( ; )log( )p x yI x yq x2021/8/14平均互信息量平均互信息量4. I(X;Y)H(X) ,I(X;Y)H(Y)H(X)H

11、(Y)I(X;Y)H(Y|X)H(X|Y)2021/8/14条件互信息条件互信息(| )(;|)()log(| )xyzp xy zI X Y Zp xyzp x z(;|)(|)(|)I X Y ZH X ZH X YZ(;)(;)(;|)(;)(;|)I X YZI X YI X Z YI X ZI X Y Z2021/8/14信息处理定理信息处理定理Z Z出现情况下，出现情况下，X X和和Y Y独立独立, ,构成一个马氏链构成一个马氏链(| )( | ) ( | )(;|)0(|)(|)p xy zp x z p y zI X Y ZH X YZH X Z 系统系统1 1系统系统2 2X

12、YZ(|)(|)(;)(;)H X ZH X YI X ZI X Y2021/8/14信息处理定理信息处理定理(|)(|)(;)(;)H X ZH X YI X ZI X Y2021/8/14参考习题参考习题2.7，2.8，2.9，2.14，2.17，2.182021/8/142.4 连续随机变量的互信息和连续随机变量的互信息和 微分熵微分熵2021/8/14连续随机变量的互信息连续随机变量的互信息()(; )()log( )( )XYXYXYpxyI X Ypxydxdypx py (; )0(; )( ;)(;|)( ;|)(;)(; )(;)(;)( ;|)I X YI X YI Y X

13、I X Y ZI Y X ZI X ZI X YI XY ZI X ZI Y Z X 信息处理定理信息处理定理2021/8/14例例:求高斯随机变量的互信息求高斯随机变量的互信息2222()11()exp2(1)21 xXYxxyxmpxy 222()()() xyyxyuxmymym 1( )()2XXYxpxpxy dy 221exp()2xxxm1( )()2YXYypypxy dx 221exp()2yyym2021/8/14()()()log( )( )；XYXYXYpxyI XYpxydxdypx py 222222 ()()()1112(1)(1)1 xyxxxyxmymxmn

14、2222222()()()()(1)yyxXYyxyymymxmpxy dxdy 22222111211 (1)1 122 111n 211 (1)2n 2021/8/14随机变量的微分熵随机变量的微分熵( )( )log( )cXXHxpxpx dx 2021/8/14均匀分布的微分熵均匀分布的微分熵1( ,)( )0( ,)xabp xbaxab 1()1 ()1 ()bCaHXn ba dxn baba 2021/8/14高斯分布的微分熵高斯分布的微分熵21)(xp221exp()2xmdxmxnxpXHC22)(21211)()()(222212ln21)(XHcceeexH熵功率熵功

15、率2()212cHXee 2021/8/14微分熵的极大化微分熵的极大化1.1.峰值功率受限峰值功率受限n均匀分布微分熵最大均匀分布微分熵最大2.2.平均功率受限平均功率受限n高斯分布微分熵最大高斯分布微分熵最大3.3.平均功率大于等于熵功率平均功率大于等于熵功率2()212cHXee 22()( )xmp x dx 2021/8/14微分熵的极大化微分熵的极大化峰值功率受限峰值功率受限(,),( )1MxMxM Mpx dx ()log2CHXM 2021/8/14微分熵的极大化微分熵的极大化平均功率受限平均功率受限22( )1 ()( )xxpx dxxmpx dx ()log2 CHXe

16、 2021/8/142.5 凸函数与互信息的凸性凸函数与互信息的凸性2021/8/14凸函数凸函数凸集凸集 R：a a，b b属于属于R，aa11 b b也属于也属于R，其中，其中0 1 1概率矢量概率矢量矢量矢量a a的所有分量和为的所有分量和为1 1上凸函数上凸函数( )(1) ( )(1) )aba bfff 2021/8/14凸函数的性质凸函数的性质f(a)是上凸的，是上凸的，f(a)是下凸的是下凸的f1(a),fL(a)是是R上的上凸函数，上的上凸函数，c1,cL是正数，是正数，c1f1(a)+cLfL(a)也是上凸函数也是上凸函数f(a)是上凸函数，是上凸函数，Ef(a)fE(a)

17、, E为求数学期为求数学期望望11()LLllllllfPaP f a 2021/8/14K-T条件条件f(a)是定义域是定义域R上的上凸函数，上的上凸函数，a是概率矢量。是概率矢量。偏导数偏导数 存在且连续，存在且连续， f(a)在在R上为极大上为极大的的 充分必要条件充分必要条件( )kf aa ( )0( )0kkkkf aaaf aaa 2021/8/14互信息的凸性互信息的凸性( | )(; )( ) ( | )log( ) ( |)xyiip y xI X Yq x p y xQ i p y x p(y|x)给定，给定，I(X;Y)是是q(x)的上凸函数的上凸函数Q(x)给定，给定，I(X;Y)是是p(y|x)的下凸函数的下凸函数2021/8/14互信息的凸性互信息的凸性q1和和q2是是X上的任意上的任意两个