第2章 液体静力学

1、 Tianjin Institute of Urban Construction2021年12月17日星期五 水力学B 给排水工程能源与机械工程系能源与机械工程系水力学水力学B第第2章章 液体静力学液体静力学 Tianjin Institute of Urban Construction2021年12月17日星期五 水力学B 给排水工程l 静水压强的特性静水压强的特性l 液体平衡微分方程液体平衡微分方程* *l 液体静力学的基本方程液体静力学的基本方程l 液柱式测压计液柱式测压计l 作用在平面、曲面上的静水总压力作用在平面、曲面上的静水总压力* *第二章第二章 液体静力学液体静力学【教学重点教

2、学重点】静水压强分布图静水压强分布图压力体压力体 Tianjin Institute of Urban Construction2021年12月17日星期五 水力学B 给排水工程1、垂向性垂向性：应力的应力的方向方向总是总是垂直指向作用面垂直指向作用面；在静止液体中，应力有以下两个特性：在静止液体中，应力有以下两个特性：2、各向等值性各向等值性：作用于静止流体作用于静止流体同一点压强的同一点压强的大小大小各向相等，与作用面的方位无关，仅与作用点上各向相等，与作用面的方位无关，仅与作用点上的位置有关，的位置有关，即只是坐标位置的函数。即只是坐标位置的函数。特性一之证明（反证法）：特性一之证明（反

3、证法）：第一节第一节 液体静压强及其特性液体静压强及其特性h hp pc cp pc cp pc cAB方向特性方向特性 Tianjin Institute of Urban Construction2021年12月17日星期五 水力学B 给排水工程特性二之证明：作用在微元体四个面上的压力分别为 ApPdxdypPdxdzpPdzdypPnnzzyyxx212121作用在四面体上的质量力沿各轴向的分力为 dxdydzZFdxdydzYFdxdydzXFzyx616161 Tianjin Institute of Urban Construction2021年12月17日星期五 水力学B 给排水

4、工程0),cos(0),cos(0),cos(znzynyxnxFznPPFynPPFxnPP整理得整理得 x方向力的平衡方程方向力的平衡方程 显然，作用在整个微元体上外力的合力在各轴向的投影应显然，作用在整个微元体上外力的合力在各轴向的投影应为零，即为零，即061),cos(21 dxdydzXxndApdydzpnx 031 dxXppnx Tianjin Institute of Urban Construction2021年12月17日星期五 水力学B 给排水工程同理，可得同理，可得令令 得得0, 0, 0dzdydxnznynxpppppp),(zyxpp 031031 dzZppd

5、yYppnzny Tianjin Institute of Urban Construction2021年12月17日星期五 水力学B 给排水工程 设想设想在平衡在平衡液体中液体中取出一取出一块微分块微分平行六平行六面体面体一、液体微团受力分析一、液体微团受力分析 表征液体处于平衡状态时作用于液体上各种力之间的关系式表征液体处于平衡状态时作用于液体上各种力之间的关系式 yxOAdxdydzz设其边长为设其边长为dx,dy,dz，形心点坐标为形心点坐标为 A=A(x,y,z)第二节第二节 液体平衡微分方程液体平衡微分方程 等压等压面面 Tianjin Institute of Urban Con

6、struction2021年12月17日星期五 水力学B 给排水工程表面力表面力 A A点坐标为点坐标为(x,y,z)，静水压强为，静水压强为p (x,y,z)yxOAdxdydz2dxxpp 2dxxpp zabdcefhgmn右侧面右侧面 左侧面左侧面 面积面积 压强压强 （泰勒级数）（泰勒级数） 侧面中心点侧面中心点 ),2dxzyx （)2d xxpp （zy dd),2dxzyx （)2dxxpp （zy ddX方向方向 Tianjin Institute of Urban Construction2021年12月17日星期五 水力学B 给排水工程质量力质量力 令令X ,Y ,Z ,

7、Y ,Z表示作用于微分六面表示作用于微分六面体上的单位质量力在体上的单位质量力在x, ,y, ,z轴上的投轴上的投影，则总质量力在影，则总质量力在x方向的投影为：方向的投影为： XdxdydzyxOAdxdydz2dxxpp2dxxppzabdcefhgmn Tianjin Institute of Urban Construction2021年12月17日星期五 水力学B 给排水工程X X方向：方向：Y Y方向：方向：Z Z方向：方向：0)2)2 zdydxdXzdydxdxppzdydxdxpp （Xxp 0)2)2 zdydxdYzdxdydyppzdxdydypp （平衡条件：平衡条件

8、：当六面体处于平衡状态时，所有作用于六面体当六面体处于平衡状态时，所有作用于六面体 上的力，在三个坐标轴方向的投影的和应等于上的力，在三个坐标轴方向的投影的和应等于0.0.方程两边同除以方程两边同除以dxdydz并简化得到：并简化得到：Yyp Zzp 0)2)2 zdydxdZydxdzdzppydxdzdzpp （1 1）（2 2）（3 3） Tianjin Institute of Urban Construction2021年12月17日星期五 水力学B 给排水工程液体平衡微分方程式：液体平衡微分方程式： （第一种形式）（第一种形式）含义：含义：1)1)处于平衡状态的流体，单位质量力等于

9、单位质量的表面力处于平衡状态的流体，单位质量力等于单位质量的表面力。 2)质量力的方向就是压强递增的方向。质量力的方向就是压强递增的方向。 zpZypYxpX 111 Tianjin Institute of Urban Construction2021年12月17日星期五 水力学B 给排水工程二、液体平衡微分方程（形式二、液体平衡微分方程（形式2 2）zdZydYxdXdp ( ZzpYypXxp +)+) dx dy dz zdzpydypxdxp ）z dZydYxdX ( （第二种形式）（第二种形式） Tianjin Institute of Urban Construction202

10、1年12月17日星期五 水力学B 给排水工程 只有重力作用下的等压面应满足的条件：只有重力作用下的等压面应满足的条件： 1. 1.静止；静止； 2. 2.连续；连续； 3. 3.连通的介质为同一均质流体；连通的介质为同一均质流体； 4. 4.质量力仅有重力；质量力仅有重力； 5. 5.同一水平面。同一水平面。 如图所示中哪如图所示中哪个断面为等压个断面为等压面？面？ 等压面：流体中压强相等（等压面：流体中压强相等（p p=const=const）的各点所组成的面。）的各点所组成的面。常见的等压面有：常见的等压面有：自由液面自由液面和和平衡流体中互不混合的平衡流体中互不混合的两种流体的界面两种流

11、体的界面。三、等压面三、等压面 Tianjin Institute of Urban Construction2021年12月17日星期五 水力学B 给排水工程等压面与质量力处处正交等压面与质量力处处正交，即，即0 sdf证明：设想某一流体质点证明：设想某一流体质点M M在等压面上移动一微分距离在等压面上移动一微分距离dsds，设质点的单位质量力为：，设质点的单位质量力为：在等压面上，在等压面上，所以所以 即即因因 所以所以 ，因而因而 。 kdzjdyidxsd 0)( ZdzYdyXdxdp 0 cosdsf,ds,f00 sdf kZjYiXf 0 sdf；0900 ,cosl 等压面性

12、质等压面性质 Tianjin Institute of Urban Construction2021年12月17日星期五 水力学B 给排水工程 当作用于流体上的质量力只有重力时，当作用于流体上的质量力只有重力时， 。代入流体平衡微分方程的代入流体平衡微分方程的综合式综合式：dzgdzdp)(Czp)(ZdzYdyXdxdp 积分，得积分，得在自由液面上，有在自由液面上，有第三节第三节 重力作用下静水压强的基本公式重力作用下静水压强的基本公式一、流体静力学基本方程式（形式一）一、流体静力学基本方程式（形式一）gZYX , 0 Tianjin Institute of Urban Construc

13、tion2021年12月17日星期五 水力学B 给排水工程0pp,Hz （2）将（将（2）代入（）代入（1）得）得HpC 0流体静力学基本方程式为流体静力学基本方程式为hp)zH(pp 00（形式一）（形式一）！注意：方程的适用条件：！注意：方程的适用条件：静止、同种、连续静止、同种、连续由上式不难导出帕斯卡压强传递定律。假设液面压强改由上式不难导出帕斯卡压强传递定律。假设液面压强改变变 ，由此而引起液面下任意深度，由此而引起液面下任意深度h h处的压强处的压强为为 ，代入上式，得代入上式，得0pp Tianjin Institute of Urban Construction2021年12月

14、17日星期五 水力学B 给排水工程0pp故有故有hpppp00结论：结论： 1 1）仅在重力作用下，静止流体中某一点的静水压强随深）仅在重力作用下，静止流体中某一点的静水压强随深度按度按线性线性规律增加。规律增加。 2 2）仅在重力作用下，静止流体中某一点的静水压强等于）仅在重力作用下，静止流体中某一点的静水压强等于表面压强加上流体的容重与该点淹没深度的乘积。表面压强加上流体的容重与该点淹没深度的乘积。 3 3）自由表面下深度）自由表面下深度h h相等的各点压强均相等相等的各点压强均相等只有重力只有重力作用下的同一连续连通的静止流体的等压面是水平面。作用下的同一连续连通的静止流体的等压面是水平

15、面。 4 4）推广：已知某点的压强和两点间的深度差，即可求另）推广：已知某点的压强和两点间的深度差，即可求另外一点的压强值外一点的压强值hpp12 Tianjin Institute of Urban Construction2021年12月17日星期五 水力学B 给排水工程czp 重力作用下的流体静重力作用下的流体静力学基本方程式又可写为力学基本方程式又可写为二、流体静力学基本方程式（形式二）二、流体静力学基本方程式（形式二） Tianjin Institute of Urban Construction2021年12月17日星期五 水力学B 给排水工程2 2、含义、含义1 1）位置水头）位

16、置水头z z ：任一点相对于基准面：任一点相对于基准面0-00-0的位置高度；的位置高度；3)3)测压管水头测压管水头 ：测压管液面相对于基准面的高度；：测压管液面相对于基准面的高度；czp 2)2)压强水头压强水头 ：测压管液柱上升的高度；：测压管液柱上升的高度； p表示单位重量液体相对于基准面的位置势能，简称位能。表示单位重量液体相对于基准面的位置势能，简称位能。表示单位重量液体所具有的压强势能，简称压能。表示单位重量液体所具有的压强势能，简称压能。单位重量液体所具有的总势能。单位重量液体所具有的总势能。 Tianjin Institute of Urban Construction202

17、1年12月17日星期五 水力学B 给排水工程 压强有两种计算基准：即压强有两种计算基准：即绝对压强绝对压强和和相对压强相对压强 1、绝对压强绝对压强（absolute pressure）：以没有一点气体的）：以没有一点气体的绝对真空为零点而起算的压强，称为绝对压强绝对真空为零点而起算的压强，称为绝对压强, 用符号用符号 表示。表示。 2、相对压强相对压强（relative pressure）：又称）：又称“表压强表压强”，以，以当当地同高程大气压强为零点而起算的压强，则称为相对压强地同高程大气压强为零点而起算的压强，则称为相对压强,用用 表示。表示。 显然，当采用相对压强基准时，大气压强的值为

18、零显然，当采用相对压强基准时，大气压强的值为零即：即： 。 二者关系为：二者关系为：pp0apappp 第四节第四节 静止液体压强的表示方法静止液体压强的表示方法一、压强的计算基准一、压强的计算基准 Tianjin Institute of Urban Construction2021年12月17日星期五 水力学B 给排水工程 真空压强真空压强：当绝对压强小于当地大气压强时，大气：当绝对压强小于当地大气压强时，大气压强与绝对压强的差值称为真空压强。可用压强与绝对压强的差值称为真空压强。可用 表示。表示。VpppppaV Tianjin Institute of Urban Constructi

19、on2021年12月17日星期五 水力学B 给排水工程 3 3、 以液柱高度来表示，常用水柱或汞柱高度，其单位以液柱高度来表示，常用水柱或汞柱高度，其单位为为 、 或或 。OmH2gmmHPabar,PaMPa56101101 OmmH2二、压强的度量单位二、压强的度量单位1 1、以单位面积上的力表示，即力、以单位面积上的力表示，即力/ /面积，国际标准面积，国际标准N/m2N/m2，2 2、以大气压的倍数表示、以大气压的倍数表示 标准大气压（符号标准大气压（符号 atmatm，即，即00时海平面上的压强，数时海平面上的压强，数值上值上 工程大气压（符号工程大气压（符号 ），相当于海拔），相当

20、于海拔200m200m处正常大处正常大气压，即气压，即gammHkP.atm7603251011 akp.cmkgfat0798112 at Tianjin Institute of Urban Construction2021年12月17日星期五 水力学B 给排水工程hp ph 或或PammHg1331 PaOmH980012 汞柱汞柱水柱，水柱，所相应的水柱高度：所相应的水柱高度：mmmNmNhmmNmNhat736/133280/9800010/9800/9800013232 Tianjin Institute of Urban Construction2021年12月17日星期五 水力

21、学B 给排水工程 流体压强的测量在工程上是极其普遍的要求，如锅炉、流体压强的测量在工程上是极其普遍的要求，如锅炉、水泵、压缩机、风机等设备或机械上均装有压力计或真空水泵、压缩机、风机等设备或机械上均装有压力计或真空计。常用的测压计有三种：金属式、电测式或液柱式。民计。常用的测压计有三种：金属式、电测式或液柱式。民用建筑工程上使用较多的是液柱式测压计，因为它直观、用建筑工程上使用较多的是液柱式测压计，因为它直观、方便和经济。本节主要介绍几种常用的液柱式测压计。方便和经济。本节主要介绍几种常用的液柱式测压计。第五节第五节 压强的测量压强的测量一、测压管一、测压管 Tianjin Institute

22、 of Urban Construction2021年12月17日星期五 水力学B 给排水工程测压管（测压管（pizometric tube）：是以液柱高度为表征测量点压强）：是以液柱高度为表征测量点压强的连通管。一端与被测点容器壁的孔口相连，另一端直接的连通管。一端与被测点容器壁的孔口相连，另一端直接 和和大气相通的直管。大气相通的直管。适用范围：测压管适用于测量较小的压强，但不适合测真空。适用范围：测压管适用于测量较小的压强，但不适合测真空。适用范围：用于测定管道或容器中某点流体压强，通常被适用范围：用于测定管道或容器中某点流体压强，通常被测点压强较大。测点压强较大。 B BB B为等压面

23、为等压面：二、水银测压计与二、水银测压计与U形测压计形测压计bhpaAhbpbhpAAmm Tianjin Institute of Urban Construction2021年12月17日星期五 水力学B 给排水工程如图所示的密闭容器上装有如图所示的密闭容器上装有U形水银测压计形水银测压计,其中其中1、2、3点位于同一水平面上，其压强关系为：点位于同一水平面上，其压强关系为： A. p1=p2=p3； B. p1p2p3； C. p1p2p3； D. p2p1F2 B. Fx=F2 课堂小练兵 Tianjin Institute of Urban Construction2021年12月1

24、7日星期五 水力学C 土木工程结论：结论：P Pz z等于该曲面的压力体所包含的液体重，其作用线通等于该曲面的压力体所包含的液体重，其作用线通过压力体的重心，方向铅垂指向受力面。过压力体的重心，方向铅垂指向受力面。 zPxzhdAhdAdPdP sinsinVhdAdPPxxAxAzz 作用在曲面上作用在曲面上的的静水总压力静水总压力 静水总压力的大小静水总压力的大小总压力与水平面的夹角：总压力与水平面的夹角：22zxPPP )(tan1xzPP 2、铅直分力、铅直分力VhdAxAx 曲面AB与自由液面间的柱体体积压力体压力体 Tianjin Institute of Urban Constr

25、uction2021年12月17日星期五 水力学C 土木工程PzP ABPx总压力的作用线通过点（总压力的作用线通过点（Px和和Pz与作用线的交点）。与作用线的交点）。总压力作用线与曲面的交点就是总压力在曲面上的作用总压力作用线与曲面的交点就是总压力在曲面上的作用点，即压力中心。点，即压力中心。3、总压力的作用点、总压力的作用点 Tianjin Institute of Urban Construction2021年12月17日星期五 水力学C 土木工程v 定义定义 压力体是所研究的曲面（淹没在静止液体中的部分）压力体是所研究的曲面（淹没在静止液体中的部分）到自由液面或自由液面的延长面间投影所

26、包围的一块空到自由液面或自由液面的延长面间投影所包围的一块空间体积。间体积。v 数学体积计算式数学体积计算式 AzAhVdv 作用在曲面上的垂直分力的大小等于压力体内液体的作用在曲面上的垂直分力的大小等于压力体内液体的重量，并且与压力体内是否充满液体无关。重量，并且与压力体内是否充满液体无关。二、压力体的概念二、压力体的概念 Tianjin Institute of Urban Construction2021年12月17日星期五 水力学C 土木工程v 压力体体积的组成：压力体体积的组成：（1）受压曲面本身；）受压曲面本身；（2）通过曲面周围边缘所作的铅垂面；）通过曲面周围边缘所作的铅垂面；

27、（3）自由液面或自由液面的延长线。）自由液面或自由液面的延长线。压力体压力体bAVabcdp Tianjin Institute of Urban Construction2021年12月17日星期五 水力学C 土木工程v 压力体的种类：压力体的种类： 实压力体：实压力体方向向下实压力体：实压力体方向向下 虚压力体：虚压力体方向向上虚压力体：虚压力体方向向上实压力体实压力体虚压力体虚压力体判断准则：液体和压力体位于受压曲面的同侧判断准则：液体和压力体位于受压曲面的同侧判断准则：液体和压力体位于受压曲面的异侧判断准则：液体和压力体位于受压曲面的异侧 Tianjin Institute of Ur

28、ban Construction2021年12月17日星期五 水力学C 土木工程v 压力体的绘制（一）：压力体的绘制（一）： Tianjin Institute of Urban Construction2021年12月17日星期五 水力学C 土木工程v 压力体的绘制（二）：压力体的绘制（二）： Tianjin Institute of Urban Construction2021年12月17日星期五 水力学C 土木工程(4)(4)作用点的确定，即总压力的作用线与曲面的交点即是。作用点的确定，即总压力的作用线与曲面的交点即是。(1)(1)计算水平分力计算水平分力xcxAhP (2)(2)计算铅

29、垂分力计算铅垂分力 ，方向由虚、实压力体确定。，方向由虚、实压力体确定。VPz (3)(3)计算总压力计算总压力22zxPPP xzPP /tg 三、计算步骤三、计算步骤 Tianjin Institute of Urban Construction2021年12月17日星期五 水力学C 土木工程8 . 0R4 . 2hRRhPx)2( 43【例题例题2.52.5】曲面形状为曲面形状为 个圆柱面，半径个圆柱面，半径 m m，宽度，宽度为为1m1m，位于水面下，位于水面下 m m深处，求曲面所受的总压力深处，求曲面所受的总压力【解解】1)1)先求作用在曲面上的水平分力先求作用在曲面上的水平分力作用在曲面作用在曲面bcbc和和cdcd上的水平压力互相上的水平压力互相抵消，曲面抵消，曲面abab上的水平分力方向向右，上的水平分力方向向右，故可求出：故可求出： =15.7kNxP Tianjin Institute of Urban Constructio