2009年北京市海淀区中考数学一模试卷

1、2 2009 年北京市海淀区中考数学一模试卷60DEAIDADC.50B .25、选择题（本题共 3232 分，每小题 4 4 分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的.1-的相反数是（）2、填空题（本题共 1616 分，每小题 4 4 分）2.11A . - 2B. 2C.D.-222009 年北京启动了历史上规模最大的轨道交通投资建设，预计北京市轨道交通投资将达到 51 800 000 000 元人民币.将 51 800 000 000 用科学记数法表示正确的是（）910118A.51.8X10B.5.18X10C.0.518X10D.518X103.如图，已知 AB/ CD，点

2、E 在 CD 上，BC 平分/ ABE，若/ C= 25，则/ ABE 的度数 是（）第 3 题图&右图是画有一条对角线的平行四边形纸片ABCD，用此纸片可以围成一个无上下底面的三棱柱纸筒，则所围成的三棱柱纸筒可能是（）卫-D第 8 题图9.若实数 x, y 满足、x - 2（3 - y）2= 0，则代数式 xy- x2的值为A . 12.5（单位：千克）:5, 2, 3,B . 3, 5C . 4, 5D . 5, 54 和 3,圆心距为 1,则这两圆的位置关系是（）B .内切C .相交D .外切3 个蓝球，它们只有颜色上的区别.从袋子中随机取出一个球，取 ）4.在樱桃采摘园，五位游

3、客每人各采摘了一袋樱桃，质量分别为5, 5,则这组数据的平均数和中位数分别为（）A . 4, 35.若两圆的半径分别为A.内含6 .袋 子中有5个红球, 出蓝球的概率是（3A .-535B . -C .-88D 87.把代数式 a3-4a2+ 4a 分解因式，下列结果中正确的是（）2A . a(a 2)B . a(a2 4)C . a(a+ 2)2D . a(a + 2)(a 2)k10._已知反比例函数 y=的图象经过点(2, 3)，贝 U k=_.x11.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1 , ABC 的三个顶点均在格点上,则 BC 边上的高为_ .么/第 11 题图12.如图

4、，在平面直角坐标系xOy 中，A( 3, 0), B(0, 1)，形状相同的抛物线 Cn(n = 1, 2,3, 4,)的顶点在直线 AB 上，其对称轴与 x 轴的交点的横坐标依次为 2, 3, 5, 8, 12,，根据上述规律，抛物线 C2的顶点坐标为 _ ；抛物线 C8的顶点坐标为三、解答题( (本题共 3030 分，每小题 5 5 分) )12 -2sin60(n5)0.2(x-1)x,14.解不等式组：1彳X：1.315.已知：如图，点证：AF = DC .B、E、F、C 在同一条直线上,AB= DE , BE= CF，/ B =ZCED .求第 15 题图17.已知直线 I 与直线

5、y= 2x+ m 交于点(2, 0)，且与直线 y= 3x 平行，求 m 的值及直线 I 的解析式.18.如图，在梯形 ABCD 中，AB / DC,/ D = 90,/ ACD = 30 , AB= 12, BC= 10,求 AD的长.四、解答题( (本题共 2020 分，第佃题 5 5 分，第 2020 题 6 6 分，第 2121 题 5 5 分，第 2222 题 4 4 分) )19.如图，已知 AB 为OO 的弦，C 为OO 上一点，/ C=/ BAD，且 BD 丄 AB 于 B.(1) 求证：AD 是OO 的切线；(2) 若OO 的半径为 3, AB= 4，求 AD 的长.20.某

6、种子培育基地用 A、B、C、D 四种型号的小麦种子共 2000 粒进行发芽实验，从中选 出发芽率高的种子进行推广.通过实验得知， C 型号种子的发芽率为 94% .根据实验数据绘制了图和图两幅尚不完整的统计图.请你根据所给信息，解答下列问题：(1) D 型号种子数是 _粒；(2) 请你将图的统计图补充完整；(3) 通过计算说明，应选哪一个型号的种子进行推广；如果所选型号进行推广的种子共有 200000 粒，估计能有多少粒种子会发芽.16.计算:2x 1 x2_12笈芽数/粒号21 甲、乙同学帮助学校图书馆清点一批图书，已知甲同学清点200 本图书与乙同学清点300 本图书所用的时间相同，且甲同

7、学平均每分钟比乙同学少清点10 本，求甲同学平均每分钟清点图书的数量.22 我们给出如下定义：如果四边形中一对顶点到另一对顶点所连对角线的距离相等，则把这对顶点叫做这个四边形的一对等高点.例如：如图，平行四边形ABCD 中，可证点 A、C 到 BD 的距离相等，所以点 A、C 是平行四边形 ABCD 的一对等高点，同理可 知点 B、D 也是平行四边形 ABCD 的一对等高点.如图，已知平行四边形ABCD，请你在图中画出一个只有一对等高点的四边形ABCE（要求：画出必要的辅助线）；（2）已知 P 是四边形 ABCD 对角线 BD 上任意一点（不与 B、D 点重合），请分别探究图、图中 S, S2

8、, S3, S4四者之间的等量关系 CDP , ADP 的面积）：1如图，当四边形 ABCD 只有一对等高点2如图，(S, S, Ss, S4分别表示厶 ABP, CBP,A、C 时，你得到的一个结论是五、解答题（本题共 2222 分，第 2323 题 7 7 分，第 2424 题 7 7 分，第 2525 题 8 8 分）223已知：关于 x 的一元一次方程 kx= x+ 2的根为正实数，二次函数y= ax - bx+ kc(c0)的图象与 x 轴一个交点的横坐标为1 (1)若方程的根为正整数，求整数 k 的值；2 2求代数式凹b ab的值；akx(3)求证：关于 x 的一元二次方程 ax2

9、- bx+ c= 0必有两个不相等的实数根.24 在课外小组活动时，小慧拿来一道题(原问题)和小东、小明交流.原问题：如图，已知 ABC,/ ACB = 90,/ ABC = 45,分别以 AB、BC 为边向 外作 ABD与厶 BCE，且 DA = DB , EB= EC，/ ADB = / BEC = 90，连结 DE 交 AB 于点 F .探究线段 DF 与 EF 的数量关系.小慧同学的思路是：过点 D 作 DG 丄 AB 于 G,构造全等三角形，通过推理使问题得解. 小东同学说：我做过一道类似的题目，不同的是/ ABC= 30, / ADB =/ BEC = 60.小明同学经过合情推理，

10、提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况.请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：(1) 写出原问题中 DF 与 EF 的数量关系；(2) 如图，若/ ABC= 30,/ ADB = / BEC = 60,原问题中的其他条件不变，你在(1)中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；如图，若/ ADB = / BEC = 2/ ABC，原问题中的其他条件不变，你在(1)中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明.第 24 题图25.已知抛物线经过点 A(0, 4)、B(1 , 4)、C(3, 2),与 x 轴正半轴交于点 D .(1) 求此抛物线的解析式及点

11、D 的坐标；(2) 在 x 轴上求一点 E,使得 BCE 是以 BC 为底边的等腰三角形；(3) 在的条件下，过线段 ED 上动点 P 作直线 PF / BC,与 BE、CE 分别交于点 F、G, 将厶EFG 沿 FG 翻折得到厶 EFG .设 P(x, 0), EFG 与四边形 FGCB 重叠部分的 面积为 S,求S 与 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围.A B卄31V21- cJ.,. .1. .IllKd1-J-5-4 -3-2-L -A012345:第 25 题图2. 2009 年北京市海淀区中考数学一模试卷一、 选择题1. D2. B3. C4. C 5. B6.B 7. A

12、 8.C二、 填空题5迈(58、9. 210. 6 11.12. (3, 2)55, I2I3丿三、 解答题13.解:-一12-2sin60(n5)0= 22.3-23仁3.22(x-1) x,14.解：1解不等式，得 x 2.x 1,.3解不等式，得 XV3.所以原不等式组的解集为2Vxv3.15. 证明：TBE = CF, BE+ EF = CF + EF . BF = EC .在厶 ABF 和厶 DEC 中，AB二PE,= NDEC,BF二:EC, ABFDEC AF =DC .D第 15 题答图16.解:2x12x12 x_1 x1(x 1)(x 1) x 1_ 2x -(x 1)-(

13、x 1)(x 1)_ X -1(x 1)(x -1)1x 117. 解：依题意，点(2, 0)在直线 y= 2x+ m 上，/ 0= 2X2 + m. m = 4.由直线 I 与直线 y= 3x 平行，可设直线 I 的解析式为 y= 3x+ n.点(2, 0)在直线 I 上， 0= 3x2 + n. n= 6.故直线 I 的解析式为 y= 3x 6.18. 解：过点 B 作 BE 丄 AC 于 E,则/ AEB =ZBEC = 90 .TAB/DC,/BAE=ZACD=30.又 AB= 12,EB = AB = 6, AE= AB cos30= 63.2在 Rt BEC 中，/ BEC = 9

14、0 ,.EC = BC2 BE2二 102-62=8 . AC= AE + EC= 6.3 + 8.在 Rt ADC 中，/ D = 90,/ ACD = 30,1 -AD AC =3 3 4.2四、解答题19. (1)证明：如图，连结 AO 并延长交OO 于点 E,连结 BE，则/ ABE = 90 / EAB +/ E = 90./ E=/ C,/ C=/ BAD,/ EAB +/ BAD = 90. AD 是OO 的切线.(2)解：由(1)知/ ABE= 90./ AE= 2AO= 6, AB = 4,.BE 二.AE2-AB2=2 5 . / E=/ C=/ BAD, BD 丄 AB

15、于 B, cos/ BAD = cos/ E. $ Ss= S2 S4或 =鱼等.S2S3五、解答题23.(1)解：由 kx=x+ 2，得(k 1)x= 2.依题意 k 1丰0.20.21.空韭，即AD AEAD解：(1)400.(2)C 型号种子的发芽数为(3)A 型号种子12 5AD二5470 粒.图略.63090%,2000 35%370= 92.5%,.2000汉20%380D 型号种子的发芽率为95%, C 型号种子的发芽率为 94%.2000域20%应选 D 型号的种子进行推广.200000X95%=190000(粒).估计能有 190000 粒种子会发芽.解：设甲同学平均每分钟清

16、点图书x 本，则乙同学平均每分钟清点图书(x+ 10)本,200300依题意，得一x x +10解得 x= 20.经检验 x= 20 是原方程的解，且符合题意.B 型号种子的发芽率为(2) S1+ S4= S2+ S3或 S1+ S3= S2+ S4或 S| S3= S2 S4或-S4S3等.第 19 题答图22.2x = k1方程的根为正整数，k 为整数，k 1= 1 或 k 1 =2. - k1= 2, k2= 3.解：依题意，二次函数y= ax2 bx+ kc 的图象经过点(1, 0),.0= a b+ kc, kc = b a.(kc)2-b2ab (b _a)2_b2ab b2_2a

17、b a _ b2ab a2_ ab akca(b-a) ab-a2ab-a2(3)证明：方程的判别式为= ( b)2 4ac= b2 4ac.由 a丰0, c 工 0，得 ac丰0.(1)若 acv0，则4ac0.故= b2 4ac0.此时方程有两个不相等的实数根.(ii)证法一：若 ac0，由 知 a b+ kc= 0,故 b= a+ kc.2 2 2 2 2 2 = b 4ac= (a + kc) 4ac= a + 2kac + (kc) 4ac= a 2kac+ (kc) + 4kac 4ac =(a kc)2+ 4ac(k 1).方程 kx= x+ 2 的根为正实数，.方程(k 1)x

18、= 2 的根为正实数.由 x0, 20，得 k 1 0.4ac(k 1) 0.(a kc)20, = (a kc)2+ 4ac(k 1) 0.此时方程有两个不相等的实数根.证法二：若 ac0,T抛物线 y= ax2 bx+ kc 与 x 轴有交点， 1= ( b)2 4akc= b2 4akc 0.(b2 4ac) (b2 4akc)= 4ac(k 1).由证法一知 k 1 0, b2 4ac b2 4akc 0. = b2 4ac 0 .此时方程有两个不相等的实数根.综上，方程必有两个不相等的实数根.24.解:(1)DF = EF.(2) 猜想：DF = FE .证明：如图所示，过点D 作

19、DG 丄 AB 于 G,则/ DGB = 90./ DA = DB,/ ADB = 60,. AG = BG,ADBA 是等边三角形. DB = BA.1/ ACB= 90,/ ABC = 30,. AC= AB = BG2 DBGBAC . DG = BC ./ BE= EC，/ BEC = 60 , EBC 是等边三角形. BC= BE, / CBE = 60 . DG = BE,/ ABE = / ABC +/CBE = 90./DFG = / EFB，/ DGF = / EBF , DFGEFB . DF = EF .第 24 题答图(3)猜想：DF = FE.证法一：如图所示，过点D

20、 作 DH 丄 AB 于 H，连结 HC, HE , HE 交 CB 于 K，则/DHB = 90./ DA = DB,. AH = BH，/ 1 =ZHDB ./ ACB= 90,. HC = HB ./ EB= EC, HE = HE,.AHBEHCE./ 2=Z3,Z4=ZBEH. HK 丄 BC ./ BKE = 90./ADB= ZBEC=2/ABC，/HDB= ZBEH= ZABC./DBC= ZDBH+ ZABC=ZDBH+ ZHDB=90,/EBH= ZEBK+ ZABC= ZEBK+ZBEK=90. DB / HE , DH / BE.四边形 DHEB 是平行四边形. DF

21、= EF.证法二：如图所示，分别过点D、E 作 DH 丄 AB 于 H , EK 丄 BC 于 K，连结 HK，则/DHB= ZEKB= ZEKC=90./ ACB= 90,. EK / AC ./ DA=DB,EB=EC,AH=BH，/1= ZHDB,CK=BK，/2=ZBEK. HK / AC .点 H、K、E 在同一条直线上.下同证法一.2口4 = a+b+4,25.解：依题意，设所求抛物线的解析式为y= ax +bx+ 4,则丿2 = 9a + 3b + 4,1/亍121解得所求抛物线的解析式为y =-x十-x+4.133b = L 3121由x x 4 = 0，解得 * = 4, X2= 3.33- D(4, 0).如图，过点 C 作 CN 丄 x 轴于 N,过点 E、B 分别作 x 轴、y 轴的垂线，两线交于点M.则/ M =ZCNE = 90.设 E(a, 0), EB= EC. BM2+ EM2= CN2+ EN2. (1 a)2+ (4 0)2= (2 0)2+ (3 a)2.解得 a= 1.- E( 1, 0).(3)可求得直线 BC 的解析式为 y= x+