中值定理及导数的应用

1、第三章中值定理及导数的应用一验证罗尔中值定理、拉格朗日中值定理的条件及结论是否成立x 1在0,2 1上满足拉氏定理的条件，并求出定理结论中要牢记三个中值定理成立的条件及其结论。关于这个知识点，往往会出验证题例1 验证：f x二的点匚三0,2 .解：(一)1由f 1 -0二f 1 0二f 1 =1,知f x在x =1处连续，从而在 0,21上连续;/ /2.按左、右导数的定义不难求出f 1i；二f . 1 - -1,从而f X在0,2内可导，且f (x )= <x,0 ： x 乞 1,1 ： x ： 2因此，f x在0,2上满足拉氏定理的条件.(二)由拉氏定理的结论：匚三|：0,2，使二空

2、工二一丄.不难算得：.=1或二、2 0,2 .2-0 2 2注意：中值定理中结论只保证中间值I三0,2的存在性，至于是否唯一，不唯一时有几 个，如何求 J定理本身并未指出二.利用拉格朗日中值定理证明不等式(尤其是双向不等式)利用拉格朗日中值定理证明不等式的一般方法是；先根据所要证明的不等式的特点作一辅助函数，并恰当选择相应的闭区间；然后利用拉格朗日中值定理，得到一个含中值'的等式，最后适当放大或缩小不等式即可.x例 2证明：对-X 0,ln(1 x) : x .1 + x证明：设ft =1 nt, t 0，则f t J 在1,1 x】上由拉氏定理知，t/ 乂1ln(1 x) -ln1

3、= f 1 x 一 f 1 = f 匚xx(5)1 11即：x ： ln(1 x) X ： X = x.( I：1,1 x )1 x1例 3证明：对-x 0,ex 1 x.例 4.证明：对 一x . O,ln 1 x : x.大家自己证明，这两个结论要记住.三.利用中值定理证明等式成立（或方程有无根）例5 .设f X在0,1上连续，在0,1内可导，且f 1 =0,证明：三0,1使f / f =0.证明：（分析 寻找合适的辅助函数应用罗尔中值定理，采用倒推的方法分析。命题只须证7:-三 10,1，使二=°,或者'xf x L =°.故令 F x二xf x。显然，F0二

4、F1 =0且Fx在0,1上连续，在 0,1内可导,/ /从而由罗尔定理知，二-|：0,1 ,使F i J f f =0.例6.设f xi；hx-1 x-2 x-3 x-4，证明方程x=0有三个实根，并且它们分别位于区间1,2 , 2,3 , 3,4 .（见书第105页）例7.证明方程x5 x -0只有一个正根.（反证）.拉氏定理有两个重要的的推论，也要会记会用一 /推论1 :若对任意xl,f x三0 ,则fx三C, 一 xl.例 8.证明：arcs in x arccosx 二一，x 1,1 2证明：设 f x 二 arcsinx arccosx,x 1,11,/则，f x =O,X-1,1,

5、JI 所以，由推论1, f x三f 0.2/ /推论2:若对于-X If X=g x，则-x l,fxgx=C.四洛必达法则0DO我们在第一章曾注意到，考试时考察得最多的求极限问题要么是型，要么是 。对付000这种问题，我们根据具体情形曾给出了因式分解约零因子、根式有理化约零因子、等价无 穷小替换、凑重要极限等方法。现在有一个著名的法则一一洛必达法则，可用一招统一解0 O0决大部分的Y或 的极限问题。0 旳现在先回顾一下洛必大达法则的条件及结论:第一种：0型的洛必达法则0设函数f x , F x满足:(1)lim fx-x。(2)f x,F x在X。的某个去心邻域UX。，'：内，f x

6、，F X 都存在 F x - 0 ；(3)/f x ”存在（或为：）.lim /x X0F x/则，lim °limx X0F Xx X0f XA存在(或为:).F xC3O第二种一型的洛必达法则O0设函数f x ,F x满足:(1)lim fX=xoXo pim F X 二:：；(2)f x,F x在X。的某个去心邻域 UAX。, /. /, /.，:内，f x,f x 都存在，f x=0；(3)/f x汀存在（或为）.lim /x X0 f xmX Tm求 lim x 1 X 一1门Pm02x_1 X sin x xcosx求 lim"x 0 xsin x2xJ+Xli

7、mxt sin x xcosx但有时它可能并不是最简单的 再使用洛必达法则，则效果可能会更好!2X二 lim 2X 10 x.x越来越麻烦，说明洛必达法则虽在大多数情况下可简化运算, 做法。如能采用其他方法先行简化欲求极限的函数，例3.的另一种作法：lim 1 X -1t xsin x例4.e2x eJ0 x s in x二 lime-2-cosxe esi nxx!二 limJ0e e _2-J ?cosx例5.求 lim31X )02X= lim!l乂畑 12x例6.JIarcta nx lim 2x ):1_ 21 + x =lim xX )1 2x7.求limx_J :ln xnX&a

8、mp;求nlim冬X ：2xexnnx0 ；nxnd"imvx :-2 xe 1 _ e药=lim厂八.JX）宀（1飞）0O0对于不直接表现为0型或一型的不定型，要首先合理转化，使其成为0旳在利用洛必达法则来算9.求ln 1 - limx：ln 1 -0 :0型或一型，然后010.ln x(0.二型)求 lim xln x = lim11.0 x（0型）求埠帜12.(°°13.注意:xQxlim x©丄2x=-lim x =x0xl n x=limx 0 elim lnX=:lim1x_1一 2x-lim二ex 0=e° = 1.二 型)求 l

9、imsecx -tan x = lim.0(:型)求 lim x =>/f xlimX%(1)若x +sin x limx：x=li1 -sin x1 cosx2-cosx =limx近-sin x=0/ 不存在（并且也不是 00 ）,则不能说F xlim 也不存在.比如:x 乂 F x1sin xX x/口（x+sinx）二1存在；但lim/丿y （X）+ cosx十亠=lim不存在.X）：1x _xx_xlim e e = lim e_=.形成循环，永远也得不到结果Xx.Yx)：x公e e e e用洛必达法则时最好作一步，就及时检查一步，看是否划得来.另外，如果在用洛必达法则时，还可

10、以同时再结合其他的求极限方法，效果可能会更好.总之，我们的方针是：“百花齐放、百家争鸣”例14.讨论函数f（X ）= « |，x 0,在X = 0处的连续性1解: f 0 - 0；1e? x _ o.，则 lny=丄 In 1 x -1 =x _xIn 1 x - xlim In y = lim xpx -ln 1 x -x +1二 lim 二 limx-02xx0 2x 1 x 2所以,lim lnex 01二e2.1因为,例15.f0-0二f00二e，所以，f x在x二0处连续.求:Hmcosx<cos2x.ncosnx111 si nx 2 si n2xn sinnxn-

11、=lim.cosx. cos2x.n. cosnxxt IL2 cosx xcos2x 2xcos nx nx=1 12 . nn 12 42X-6im。111x1 - X+1, 1 Tn 1 t1 tlim t 02t（1+X）-eI； x-f1 + x）ln（1 + x I例 17.求 lim=lim |（ 1+ X ）x = lim （ 1+ X ）x 2T xTl7 X（1+x） j.-xe=elim2x 2x 3x2五. 单调性单调的充要条件：/ 若函数f x在a,b内可导，则f x在a,b内递增（或递减的）的充要条件是：f x _/0 （或 f （x）0），x£ （a,b

12、>注意：（1）这里的a,b可以是无限区间，女口-：，匸：；（2）其实，当把 a,b改为有限的闭区间 a,b 1时，结论也成立.即:若函数f x在a,b内可导，则f x在a,b 1内递增（或递减的）的充要条件是：/ /f （x）兰 0 （或 f （x）0），x（a,b）;当将a,b改为有限的半开半闭区间时，也有类似的结论（3）有时我们关心的是 f x在a,b内是否严格单增（或单减），则有：严格单调的充分条/ /若f x在a,b内可导，且对-x三a,b , f x- 0（或f x ： 0），则f x在a,b内严格单增（或单减）.上述定理2的逆不成立，即：若 f x在a,b内严格单增（或单减）

13、，且/ . /f x在a,b内可导，但未必有对ia,b , f x 0（或f x : 0）.3,/3比如：y = x，x三I 二，：，y - 0,但y = x严格单增严格单调的充分必要条件：若f x在a,b内可导，则f x在a,b内严格单增（或单减）的充分必要条件是：/ /（1） w xE（a,bf（x）0 （或 f （x）兰0）；/（2） 在a,b内任何子区间上，f x不恒等于0./ /上述定理告诉我们：只要 v x（a,b f 3忙0，且使f （x）=0的点x都是一些孤立的点，贝U f x在a,b内严格单增。如：y = x sinx,x. “心;./ /y =1 cosx _ 0 ,使y

14、=0的点虽然有无数多个，但他们都是孤立点，故x sinx,二，：仍然单调增加.2例1 .讨论y = f x二x的单调性从例1可见，研究函数的单调性，更多的情形下是要求所谓的单调区间：即包含在定义域内的而且使函数在其上单调的区间；从例1可见：导数为0的点（称为函数的驻点或稳定点）是函数可能的单增与单减的分 界点；（3）其实，导数不存在的点也可能是单调分界点求单调区间的步骤/第一步，求函数f x的定义域D ；第二步，求f X ;/第三步，令f x =0,求f x的所有驻点及所有不可导点 （其中不在定义域内的要舍去）； 第四步，列表判断32例2讨论f x = x 6 x 9x -2的单调性.解: （

15、一） D - - ,:：/ 2（二） f x =3x -12x 9 =3 x -1 x -3/（三）令f x =0= x1, x 3。无不可导点（四）列表判断：x（-:：,1）1,33,/f xf x-例3讨论f X = 2x - 5 3 X2的单调性解：（一）D = -：；10 x -13 3 x/（三）f x =0= x 1，在X2二0处不可导;（四）列表判断:f xy利用函数的单调性也可以证明函数不等式，这也是常见考点X例4证明：e i x（x . o）（前面利用中值定理已证过）解：令 f x =- x -1,x0,11/X则 f x i；=e -i o, x 三0,1 ，所以，f x=

16、ex-x-i,x 0,1 单增。故f x 二 ex T f 0 =0 ，即：e 1 x(x 0).例5证明：当0 :： X 时,21tan x x -证明：令3,x/ 2 2 2 2 则 f x 二 sec x -1 - x 二 tan x 一 x=tan x x tan x - x > 0.所以,f x 二 ta n x1x -一33x ,x.卩，工j单增。故f x 二 ta n x -tanx x1x一3例 6.证明：当 x 0 时，|n 1 x arctan x1 +x证明：原命题等价于1 x ln 1 x - arctanx - 0 .令 f x =1x1 n 1 x - arc

17、tanx,x 0,：，2则 f / x = ln 1 x X 2 0, x 0,：.“X所以，f x = 1 x ln 1 XI-arctanx,x 0, 单增.故f x =1x1 n 1 x arctanx f 0 =0 ,即:arcta n x当 X “时，ln(1+x)> I”例7证明：当x . 4时，2X . X2.证明：令f x=2X -x2.则f/ Xj=2xln22x.f x的符号一眼看不出来，下面再求fx .x 242222因为 f x i=2xln2 2 - 2 24ln2 2 - 2 =22 2ln 2 2ln 2 = 2 2ln 22.ln 22 -1 0 , 所以

18、 f x 单增，则 f x f 4 = 241n 2 - 8 = 8 In 4 -1 0.所以，f x 单增，则 f x f 4 =24 -40.即 2x x2.练习：(1)证明：当 0：x：1 时，e2x： J.1 -x1 + x-解：注意到，当0 ： x ： 1时， .0,只须等价证明1-x e % ： 1 x.1 - x令 f x i；h1 -X e2x -1 -X.，则 f/ x =1 -2x e2x -1f x的符号一眼看不出来，下面再求fx .因为 f x - -4xe2x : 0,，所以f x单减，则X :： f 0 =0.所以，f x 单减，则 f x : f 0 = 0.即

19、1 -x e2x : 1 x.(2)证明：当 e . a : b时，ab - ba.证明：只须等价证明：b ln a a ln b.令 f x = xln a - aln x, x a e因为 f'(x) = l na£>0T na>1,巳 v1 ，x x 丿所以，f b f a = 0,即 bln a alnb.另证：只须等价证明：ln a ln b>ab令f x =ln xx a e：0, x a e ，所以，f x 单减。故 fa f b , 即 lna lnb. a b六. 极值函数的极、最值与函数的单调性关系极为紧密，先回顾一下几个重要结论。极值的

20、必要条件（费马定理）：设f x在点。的某邻域U X。内有定义，且在 X。处可导。/若f X。为极值，则必有：f X。=0.注意：使f Xo 二 。的点X。可能为f（x ）的极大值点（或极小值点），也可能不是。比如：3y = x，X。=。.另外，不可导点也可能是极值点，如：y =1 x I, x。=。< A极值的第一充分条件：设f（x ）在点x0处连续，在U X。® 冋导。（1）若 当乂丘仪。-%。） k J/ /时，f x -0 ；而当xXo，X。*时f x乞。，则f x。为极大值；（2 ）若 当 X- X。X。时，f / X 乞。；而当xX。时 f / X 。，贝y f X。

21、为极小值；（3 ）若 当x三X。一、：，X。时，及当x三X。，X。亠心时f x的符号相同， 则f x。非极值-请大家注意：极值的第一充分条件并不要求f / x。存在！极值的第二充分条件：设f x在 U X。，一 阶可导，在点Xo处二阶可导，且/ /f X。7 f X。=。则（1 ）若f X。"。，则f X。为极大值；（2 ）若 f Xo 。， 则f X。为极小值我们知道，求函数的单调区间一般按四个步骤走，求函数的极值与之类似。请大家看下例，认真体会32例8.求y = x 一 6x 9-2的极值.解一：（一）D = -：，=：./ 2（二）f x - 3 x T2x，9=3x-1 x

22、- 3 .（四）列表判断:解二：（一）D（三）令（- ：,1）/f x二°= %1二hx2二3。无不可导点1,33极大极小-22x -12x 9=3 x -1 x -3 ./（三）令f x = 0= X"1 = " X2二3.无不可导点/ /（四）又因为f x=6x-12因为，f 1=一6：0，所以f1 =2为极大值;f/ 3 =60，所以f 1 = 2为极小值七. 最值第一种情况：设f x在闭区间a,b 1上连续，则f x在la,b 1上必可取到最大值与最小值.最值的达到只有两种情况：（1）f a或f b即为最值;（2）最值在a,b内取到，则此时的最值也就是极值

23、.因此，求可导函数 f x在a,b上的最值的方法如下：（1） 求出a,b所有可能的极值点（无须判断）：x1，x2，-，xn ；（2） 将f （为）f（x2），f（xn，f （a ） f （b）值全部求出，并进行比较，其中最大的 即为最大值；最小的即为最小值.例 9求 y =x48x2 2,x 1-1,3 】的最值./3丿刈i解: （一） y = 4x -16x=4xx 2 x-2 ；/3（二）令 y =4x16x=4xx-2 x 2 = 0 ，得驻点 X1 = 0, X2 = 2, X3 = 一2（舍）；（三）因为 f T = 5, f 0 = 2, f 2 二-14, f 3 =11，所以，

24、经比较：m=-14,M=11.第二种情况：设 f x在闭区间a,b】上单增（减），则f a ,f b就是最小（大）或最大（小）值第三种情况：如果连续函数在I上（不一定为闭区间）有且仅有一个极值点，则在该点处必定取得相应的最值。（对于实际问题，常用此法解决，比如优化问题）例10.一房地产公司有 50套公寓要出租，当月租金定为2000元时，公寓会全部租出去当月租金每增加100元时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公 寓每月需花费200元的维修费试问租金定为多少可获得最大收入？ 解：设每套公寓租金定为 X,所获收入为y则 y = 50X00 x200.100整理，得X2 +7200x -14000

25、00，100 - -12x 7200 ,令 = 0,得 x = 3600. 10010,即x二3600.是使y达到最大值的点最大收入为5036003600 一200 =115600 （元）x2例某工厂生产 x件产品需成本 C 25000200x（元）。问:40（1）若使平均成本最小，需生产多少件产品？（2）若每件产品以500 （元）卖出，为使利润最大，需生产多少件产品？解：（1） C x 二 = 25000200xx40250001又C x2，令C x =0,得唯一驻点x= 1000。x 4050000因为C x30,所以，C 1000为极小值，从而也是最小值。x利用函数的单调性和最值还可以讨

26、论方程的根的个数例11.讨论方程In x = ax（a - 0）有几个实根？解：令 f x = In x - ax, x 三0,二1则f X ：1 -axa1-x一 a-a -xxX仃11 - ax1令f x-a =0二 xxxa1当0 ： x时，af x 0,1所以f x单增；当X 时，f ax ： 0,所以 f x单减.因此f |=_(Ina+1 )为f(x 在 (0,乜 的最大值.la丿又显然 f x 在 0,：；3 ；连续，且 lim f x - - ：, lim xiJ0J 说 J所以f x至多只有两个实根1.当f丄=(I n a+1)=0,即卩In a = 1, a = 1时，直线

27、y= f(x与x轴只有一根; 2丿e2当 f 丄=(I na+1 )>0 时，即 In a £1= 0ca c1 时，有两实根; ka丿e3.当 f 2=(In a +1 )v0 时，即 In a a-1 = an1 时，无实根. ale例12.设f x在a, ：上连续，且当x a时，f x单增，且有x j，k - 0(k为常数)亍上有且仅有一个实根.证明：对函数f x在a,a-fka用拉氏定理:(f )a 1a=k3 i.>又因为fa : 0，所以,由根值定理:至少存在一点x0 -a,a使 f X。=0 ；试证明：若f a ：0，则方程f x =0在a,a -又因为f

28、X单增，故只有一个实根练习：(1)设p,q为大于1的正数,-0证明：当x 0时,p q11证明：令f 乂:匸丄乂卩丄-X ,pqxp 1 -x.p q令 f/ x 二 xp4-1=0,得唯一驻点 x = 1.又 厂X二p -1 xp-, f 1 = p -10,故f 1为极小值，从而也为最小值故对于任何x . 0，有f x ： f 1 =0.（2）求抛物线y =1 X2在第一象限内的一条切线，使该切线与两坐标轴所围成的平面图 形面积最小.解：设切点为 t,1 -t2。又= -2t.所以，切线方程为：y （1）=2t （x t ），即 y = 2tx +1 +1 $.21 +t22t令 x=0,

29、得 y=1t2;令 y =0，得 x.所以 St 1 t2 .- - = t0 ： t < 122t4t1 t 3t -14t令S n-0,得唯一驻点t =为最小值.又当ot专时，S°；当t f时，s t 0,故S七曲线的凹凸性及拐点研究函数的最高目的是为函数“照相”，即给函数作图，这时仅仅知道其单调性和极（最）值是不够的.还需要研究其对应曲线的凹凸性和渐进线.先回顾一下曲线凹凸的概念及其判定方法.定义：设函数y = f x在区间a,b内有定义，如果对x2三a,b，都有：则称函数y = f x在区间a,b内为下凸的.函数凹、凸性的判定定理：设函数 y=fx在区间a,b内存在二阶

30、导数且 xa,b ,f x 0.（或f “ x ：0）则函数y二f x在区间a, b内为下凸（或上凸）的.2例13.确定y = 2-x的上（下）凸性.例14.确定y =x3的上（下）凸性拐点的定义：称曲线y = f x上凸与下凸的分界点为其拐点，或变曲点拐点的必要条件：如果在x0附近f x具有连续的二阶导数且Xq, f x0|为曲线y二f x的拐点，贝U f x0 =0.注意：从例13可见，二阶导数为 0的点可能是拐点；一会儿通过例子表明：二阶不可导点 也可能是拐点.求函数上（下）凸区间及拐点的方法、步骤（1）求函数y = f x的定义域D；（2 ）求X ;（3） 令f X =0,求出f X =0的所有的根及所有二阶不可导点；（不在D内的要舍 去）;（4）用这些点划分定义域 D，列表判断.例15求曲线y =3x4 -4x31上（下）凸