空间中的垂直关系(带答案)

1、空间中的垂直关系专题训练知识梳理一、线线垂直：如果两条直线于一点或经过后相交于一点， 并且交角为，则称这两条直线互相垂直.二、线面垂直：1.定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的 _ ，则称这条直线和这个平面垂直 . 也就是说， 如果一条直线垂直于一个平面，那么他就和平面内任意一条直线都.直线 l 和平面互相垂直，记作 l .2.判定定理： 如果一条直线与平面内的直线垂直， 则这条直线与这个平面垂直 .推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也于这个平面 .推论：如果两条直线3. 点到平面的距离：同一个平面，那么这两条直线平行长度叫做点到平面的距离.三、面面垂

2、直：1. 定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面所得的两条交线，就称这两个平面互相垂直，又这两个平面与第三个平面相交. 平面，互相垂直，记作 .2. 判定定理：如果一个平面经过另一个平面的_，则这两个平面互相垂直.3. 性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于直线垂直于另一个平面.四、求点面距离的常用方法：1. 直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个三角形.2. 转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解.3. 体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解.题型一线线垂直、线面垂直的判定及性质例 1. 如图，在四棱锥 P-ABCD中，PA底面 ABC

3、D，ABAD，ACCD， ABC=60°,PA=AB =BC,E 是 PC的中点 . 求证：(1)CDAE；(2)PD平面ABE.【变式 1】已知：正方体ABCD A1B1C1D1 ， AA1=2， E 为棱 CC1 的中点（ ）求证： B1D1 AE；（ ）求证： AC平面B1DE【解答】（）连接BD，则 BDB1D1， ABCD是正方形， ACBDCE平面 ABCD， BD? 平面 ABCD， CEBD又 ACCE=C，BD面 ACEAE? 面 ACE，BDAE，BD AE11（ 5 分）（）证明：取BB1 的中点 F，连接 AF、 CF、 EFE 、 F 是 C1C、 B1B

4、的中点， CE B1F 且 CE=B1F， 四边形B1FCE是平行四边形， CF B 1E正方形 BB1C1C中， E、 F 是 CC、 BB的中点，EF BC 且 EF=BC又BC AD 且 BC=AD， E F AD 且 EF=ADAFED，AF CF=C，BEED=E，四边形ADEF是平行四边形，可得平面 ACF平面B1 DE又AC ? 平面 ACF， AC面 B1 DE【变式 2】如图，已知四棱锥P ABCD，底面 ABCD为菱形， PA平面ABCD， ABC=60°，点 E、 G分别是 CD、PC的中点，点 F 在 PD上，且 PF： FD=2： 1（ ）证明： EA PB

5、 ；（ ）证明： BG 面 AFC【解答】（）证明：因为面 ABCD为菱形，且 ABC=60°， 所以 ACD 为等边三角形，又因为 E 是 CD的中点，所以 EAAB又 PA平面 ABCD，所以 EAPA而 ABPA=A所以 EA面 PAB，所以 EAPB（）取PF 中点 M，所以 PM=MF=FD连接 MG，MGCF，所以MG面 AFC连接 BM， BD，设 ACBD=O，连接OF，所以 BMOF，所以BM面 AFC而 BMMG=M所以面 BGM面 AFC，所以 BG面 AFC【变式3】如图，四棱柱ABCD A1B1C1D1 的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O平面ABC

6、D， AB=， AA1=2（ 1）证明： AA1 BD（ 2）证明：平面 A1BD平面 CD1B1；（ 3）求三棱柱 ABDA1B1D1 的体积【解答】（ 1）证明：底面 ABCD是正方形， BDAC，又 A 1O平面 ABCD且 BD? 面 ABCD， A 1OBD，又 A 1 OAC=O， A1 O? 面 A1AC， AC? 面 A1 AC， BD面 A1 AC， AA1? 面 A1AC， AA 1BD（2）A1B1 AB，ABCD，A 1 B1CD，又 A1B1=CD，四边形 A1B1 CD是平行四边形， A 1DB1C，同理 A1BCD1， A 1B? 平面 A1BD，A1D? 平面

7、A1BD，CD1? 平面 CD1B1，B1C?平面 CD1B，且 A1BA1D=A1， CD1B1C=C，平面 A1BD平面 CD1B1 （ 3） A 1O面 ABCD， A 1O是三棱柱 A1 B1D1 ABD的高，在正方形 ABCD中， AO=1在 RtA1OA中， AA1=2， AO=1， A 1 O=，V三棱柱 ABDA1B1D1=SABD?A1O=（?） 2 ?=三棱柱 ABD A1B1D1 的体积为【变式 4】如图，三棱柱ABC A1 B1C1 中，侧棱AA1 底面 ABC，AB=BC=AC=AA1=4，点 F 在 CC上，且 C F=3FC， E 是 BC的中点11（ 1）求证：

8、 AE平面 BCC1B1（ 2）求四棱锥 A B1C1FE 的体积；（ 3）证明： B1EAF【解答】（ 1） AB=AC， E 是 BC的中点， AE BC在三棱柱 ABC A1B1C1，中， BB1 AA 1， BB 1 平面 ABC， AE ? 平面 ABC， BB 1 AE ， （ 2 分）又 BB 1BC=B， （3 分）BB1 ， BC? 平面 BB1C1C， AE平面 BB1C1C， （ 4 分）（2）由（ 1）知，即 AE为四棱锥 A B1 C1FE 的高，在正三角形ABC中， AE=AB=2， 在正方形 BB1 C1C，中， CE=BE=2，CF=1，=SCFE=4×

9、;=11 （ 6 分）=?AE= （7分）（3）证明：连结 B1F，由（ 1）得 AE平面 BB1C1C， B 1E?平面 BB1C1C，AEB1E， （ 8分）在正方形BB1C1C，中， B1F=5， B1E=2，EF=， B 1 F2=B1E2+EF2，B 1EEF （ 9 分）又AEEF=E， （ 10 分） AE， EF? 平面 AEF，B 1E平面 AEF， （ 11 分） AF ? 平面 AEF， B 1EAF （ 12 分）【变式 5】如图，四棱锥PABCD中， PD平面 ABCD，底面 ABCD为正方形， BC=PD=2， E为 PC的中点， G在 BC上，且 CG= CB（

10、1）求证： PC BC ；（ 2）求三棱锥 C DEG的体积；（ 3） AD边上是否存在一点 M，使得 PA平面 MEG？若存在，求 AM的长；否则，说明理由【解答】（ 1）证明： PD平面 ABCD， PDBC又 ABCD 是正方形， BCCD又 PDCD=D， BC平面 PCD又 PC? 平面 PCD， PCBC（ 2） BC平面 PCD， GC 是三棱锥 GDEC的高 E 是 PC的中点，SEDC=SPDC=×（×2×2）=1VCDEG=VG DEC= GC?SDEC= × ×1= （3）连结 AC，取 AC中点 O，连结 EO、GO，延

11、长 GO交 AD 于点 M，则 PA平面 MEG证明：E为 PC的中点，O是 AC的中点，EOPA又 EO?平面 MEG，PA?平面 MEG，PA平面 MEG在正方形ABCD中，O 是 AC的中点， BC=PD=2，CG= CB OCG OAM， AM=CG=，所求 AM的长为【变式 6】如图所示， 在三棱柱ABCA1 B1C1 中，BB1底面 A1 B1C1 ，A1B1B1C1 且 A1 B1=BB1=B1C1，D 为 AC的中点（）求证： A1BAC1（）在直线CC1 上是否存在一点E，使得 A1E平面 A1BD，若存在，试确定E点的位置；若不存在，请说明理由【解答】（）证明：连接AB1

12、BB 1平面 A1B1C1 B 1 C1BB1 B 1C1A1B1 且 A1B1BB1=B1 B 1 C1平面 A1B1BA ABBC .又ABAB 且 AB BC =B111111111A1B平面AB1C1A1BAC1（）存在点E 在CC 的延长线上且 1CE=2CC时，A E平面 1 1A BD设1AB=a， CE=2a，DE=，A1EA1D BDAC，BDCC1，ACCC1=C， BD平面 ACC1A1 ， 又A E? 平面 ACCA AE BD. 又 BDAD=D ， A E平面 A BD1111111【变式 7】如图，在直三棱柱ABC A1B1C1 中， AC=3， BC=4， AB

13、=5，点 D 是 AB的中点（ 1）求证： AC BC1；（ 2）求证： AC1 平面 CDB1【解答】 证明：（ 1）因为三棱柱ABC A1B1C1 为直三棱柱，所以 C1C平面 ABC，所以 C1 CAC又因为 AC=3， BC=4， AB=5，222所以 AC+BC=AB，所以 ACBC又 C1 CBC=C，所以AC 平面 CC1B1B，所以 AC BC 1（ 2）连结 C1B 交 CB1 于为 BAC 的中位线1E，再连结 DE，由已知可得E 为 C1B 的中点，又D为 AB的中点， DEAC DE。又 DE? 平面 CDB， AC?平面 CDBAC平面 CDB111111【变式 8】

14、如图，直三棱柱ABC A1B1C1 中， AA1=2AC=2BC， D 是 AA1 的中点， CDB1D（ 1）证明： CD B 1C1；（ 2）平面 CDB1 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比【解答】（ 1）证明：由题设知，直三棱柱的侧面为矩形，由 D 为 AA1 的中点，则 DC=DC1，222，又 AA1=2AC，可得 DC1 +DC=CC1则 CD DC 1，而 CD B 1D， B1DDC1=D，则 CD平面 B1C1 D，由于 B1C1? 平面 B1C1D，故 CD B 1C1；（2）解：由（ 1）知， CDB1C1，且 B1 C1CC，则 B C 平面 ACCA ，设 V 是

15、平面CDB上方部分的体积，1111111V2 是平面 CDB1 下方部分的体积，则V1=VB1CDA1C1=SCDA1C1?B1C1 = × ?B1C13= B1C13，33V=VABC A1B1C1= AC?BC?CC1=B1C1 ，则V2=V V1= B1C1 =V1，故这两部分体积的比为1： 1【变式 9】如图所示，在长方体ABCD A B C D 中，已知底面是边长为2 的正方形，高为1，1111点 E 在 B1B 上，且满足 B1E=2EB（ 1）求证： D1EA1 C1；（2）在棱 B1C1 上确定一点F，使 A、 E、 F、 D1 四点共面，并求此时B1F 的长；（3）

16、求几何体ABED1D 的体积【解答】（）证明：连结B1D1因为四边形A1B1C1D1 为正方形，所以 A1C1B1D1在长方体ABCD A1B1C1D1 中， DD1平面 A1 B1C1 D1，又 AC? 平面 ABCD，所以 DDAC111111111因为 DD1B1D1=D1， DD1? 平面 BB1D1D， B1D1? 平面 BB1D1D，所以 A1C1平面 BB1D1D又 D1 E? 平面 BB1D1D，所以 D1 EA1C1 （ 4 分）（）解：连结BC，过 E 作 EFBC 交 B C 于点 F1111因为 AD1BC1，所以 AD1EF所以 A、 E、F、D 四点共面即点F 为满

17、足条件的点又因为B E=2EB，所以 B F=2FC，所以1111 （ 8 分）（）解：四边形BEDD为直角梯形，几何体ABEDD 为四棱锥A BEDD111因为=，点 A 到平面 BED1D的距离 h=，所以几何体ABED1D 的体积为：= （ 13 分）题型二面面垂直的判定例 2. 如图，在三棱锥 P ABC中， PA底面 ABC， ABC为正三角形，D、 E 分别是 BC、CA的中点 .（ 1）求证：平面 PBE平面 PAC；（ 2）如何在 BC上找一点 F，使 AD平面 PEF？并说明理由 .【变式 1】如图，四边形ABCD为菱形， G为 AC与 BD的交点， BE平面 ABCD证明：

18、平面 AEC平面 BED.【解答】 证明：（）四边形ABCD为菱形，AC BD， BE平面 ABCD，AC BE，则 AC平面 BED， AC? 平面 AEC，平面AEC平面 BED；【变式 2】如图，三棱台DEF ABC中， AB=2DE，G， H 分别为 AC，BC的中点（ 1）求证： BD平面 FGH；（ 2）若 CF BC， AB BC，求证：平面 BCD平面 EGH【解答】 在三棱台DEF ABC中， AB=2DE， G为 AC的中点，四边形CFDG是平行四边形，DM=MC又 BH=HC，MH BD，又 BD?平面 FGH，MH? 平面 FGH，BD平面 FGH；证法二：在三棱台DE

19、F ABC中， AB=2DE， H为 BC的中点，四边形BHFE为平行四边形BE HF在 ABC中， G为 AC的中点， H为 BC的中点， GH AB，又 GHHF=H，平面 FGH平面ABED， BD? 平面 ABED， BD平面 FGH（ II ）证明：连接 HE， G，H 分别为 AC， BC的中点， GH AB， AB BC， GH BC，又 H 为 BC的中点， EF HC， EF=HC EFCH是平行四边形， CF HECF BC， HE BC又 HE，GH? 平面 EGH，HEGH=H，BC平面 EGH，又 BC? 平面 BCD，平面 BCD平面 EGH【变式 3】如图所示，已

20、知 AB 平面 BCD， M、 N分别是 AC、 AD的中点， BC CD求证：平面 BCD平面 ABC【解答】 因为 AB平面 BCD，CD? 平面 BCD，所以 AB CD又 CD BC，ABBC=B，所以 CD平面 ABC又 CD? 平面 BCD，所以平面 BCD平面 ABC【变式 4】如图，已知在四棱锥 PABCD中，底面 ABCD是边长为 4 的正方形， PAD是正三角形，平面 PAD平面 ABCD， E， F，G分别是 PD， PC， BC的中点（ 1）求证：平面 EFG平面 PAD；（ 2）若 M是线段 CD上一点，求三棱锥 M EFG的体积【解答】（ 1）平面 PAD平面 AB

21、CD，平面 PAD平面ABCD=AD，CD?平面 ABCD， CD ADCD平面 PAD （ 3 分）又 PCD中， E、 F 分别是 PD、 PC的中点， EF CD，可得 EF平面 PAD EF? 平面 EFG，平面 EFG平面 PAD； （ 6 分）（2） EF CD， EF? 平面 EFG， CD?平面 EFG，CD平面 EFG，因此 CD上的点 M到平面 EFG的距离等于点 D 到平面 EFG的距离，VM EFG=VD EFG，取 AD的中点 H 连接 GH、 EH，则 EF GH， EF平面 PAD， EH? 平面 PAD， EFEH于是 SEFH= EF×EH=2=SE

22、FG，平面 EFG平面 PAD，平面 EFG平面 PAD=EH， EHD是正三角形点D 到平面 EFG的距离等于正EHD 的高，即为， （ 10 分）因此，三棱锥M EFG的体积V=V =MEFGDEFG×S×EFG= （12 分）【变式 5】如图，已知 AB平面 ACD，DE AB，AD=AC=DE=2AB=2，且 F 是 CD的中点， AF=（1）求证： AF平面 BCE；（2）求证：平面BCE平面 CDE；（3）求此多面体的体积【解答】 证明：（ 1）取 CE中点 P，连接 FP、 BP， PF且 FP=1 又 AB DE，且 AB=1，AB FP，且 AB=FP，

23、ABPF为平行四边形， AF BP（2又 AF?平面 BCE，BP? 平面 BCE， AF平面 BCE（ 4 分）（2）证明： AD=AC，F 是 CD的中点，所以 ACD三角形， AF CDDE，分）为正AB平面 ACD， DE AB， DE平面 ACD，又 AF? 平面 ACD， DEAF.又 AF CD，CDDE=D， AF平面 CDE.又 BPAF， BP平面 CDE又 BP平面 BCE,平面 BCE平面 CDE.（3）此多面体是以C 为顶点，以四边形ABED为底边的四棱锥，等边三角形AD边上的高就是四棱锥的高（12分）【变式 6】如图，三棱柱 ABC A B C 的侧面 AAB B

24、为正方形，侧面 BBC C为菱形，CBB=60°，11111111AB B1C（ I ）求证：平面 AA1B1B平面 BB1C1C；（ II ）若 AB=2，求三棱柱 ABC A1B1 C1 体积【解答】（ ）证明：由侧面 AA1B1 B为正方形，知 AB BB1又 AB B1C，BB1 B1C=B1， AB平面 BB1C1C，又 AB? 平面 AA1B1B，平面 AA1B1B BB1C1C（）由题意， CB=CB1，设 O是 BB1 的中点，连接 CO，则 CO BB1由（）知， CO平面 AB1B1A，且CO=BC=AB=连接AB1，则=?CO=×AB2?CO=， V

25、三棱柱 =2【变式 7】如图，四边形 ABCD为梯形，AB CD，PD平面 ABCD， BAD=ADC=90°，DC=2AB=2a，DA=， E 为 BC中点（ 1）求证：平面 PBC平面 PDE；（ 2）线段 PC上是否存在一点 F，使 PA平面 BDF？若有，请找出具体位置，并进行证明；若无，请分析说明理由【解答】（ 1）证明：连结 BD，BAD=90°，； BD=DC=2a， E 为 BC中点， BC DE；又 PD平面 ABCD， BC? 平面 ABCD；BC PD，DEPD=D； BC平面 PDE； BC? 平面 PBC，平面 PBC平面 PDE；（2）如上图，

26、连结 AC，交 BD于 O点，则： AOB COD；DC=2AB；在PC上取F，使；连接OF，则OF PA，而OF?平面BDF， PA?平面BDF；PA平面BDF题型三：面面垂直性质应用例 3. 如图所示， 在四棱锥PABCD中，底面ABCD是 DAB=60°且边长为a 的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G为AD边的中点.（ 1）求证： BG平面PAD；（ 2）求证： ADPB .【变式 1】如图，已知在四棱锥 PABCD中，底面 ABCD是边长为 4 的正方形， PAD是正三角形，平面 PAD平面 ABCD，E， F， G分别是 PD， PC， BC的中

27、点（ 1）求证：平面 EFG平面 PAD；（ 2）若 M是线段 CD上一点，求三棱锥 M EFG的体积【解答】（ 1）平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD=AD， CD? 平面 ABCD， CD AD，CD平面 PAD。又 PCD中， E、 F 分别是 PD、 PC的中点， EF CD，可得 EF平面 PAD. EF? 平面 EFG，平面 EFG平面 PAD。（2）EF CD，EF? 平面 EFG，CD?平面 EFG， CD平面 EFG，因此 CD上的点 M到平面 EFG的距离等于点D 到平面 EFG的距离， VM EFG=VD EFG，取 AD的中点 H 连接 GH、 EH

28、，则 EF GH，EF平面 PAD， EH? 平面 PAD， EFEH于是SEFH= EF×EH=2=SEFG，平面EFG平面PAD，平面EFG平面PAD=EH， EHD是正三角形，点D 到平面 EFG的距离等于正 EHD 的高，即为，因此，三棱锥M EFG的体积 VMEFG=VD EFG= ×SEFG×=【变式 2】 已知点 P 是菱形 ABCD外一点， DAB60°，其边长为a，侧面 PAD是正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为 AD的中点(1) 求证： AD PB；(2) 若 E 为 BC边中点，能否在棱 PC上找一点 F，使平面 DEF平

29、面 ABCD.并证明你的结论 解析 (1) 证明：连接BG、PG.四边形ABCD是菱形且DAB60°. BGAD.又 PAD为正三角形，且G是 AD中点， PG AD.PGBG G， AD平面PBG.又 PB? 平面 PBG， ADPB.(2) 当 F 是 PC中点时，平面 DEF平面 ABCD.证明如下：取PC的中点 F，连接 DE、EF、DF.在 PBC中， EF PB.在菱形 ABCD中， BG DE.平面 DEF平面 PGB.平面 PAD平面 ABCD， PG AD. PG平面 ABCD.又 PG? 平面 PGB.平面 PGB平面 ABCD.平面 DEF平面 ABCD.题型四求点面的距离例 4. 如图，已知在长方体ABCD-A1B1C1D1 中，棱A A1=5， AB=12，求直线B1C1 到平面A1BC D1的距离 .【变式】如图，在四棱锥PABCD中，底面 ABCD是正方形， PA平面ABCD， AP=AB=1， E，F 分别是 PB， PC的中点（）求证： AEPC ；（）求点 A 到平面 PBD的距离【解答】（）证明： AP=AB ，E 是 PB的中点， AE PB ，PA平面 A