波利亚怎样解题表

1、波利亚的怎样解题表1 乔治波利亚乔治波利亚（GeorgePolya, 18871985）是美籍匈牙利数学家、数学教育家.在解题方面，是数学启发法（指关于发现和发明的方法和规律，亦译为探索法）现代研究的先驱由于他在数学教育方面取得的成就和对世界数学教育所产生的影响，在他93岁高龄时，还被ICME（国际数学教育大会）聘为名誉主席.作为一个数学家，波利亚在函数论、变分法、概率、数论、组合数学、计算和应用数 学等众多领域，都做出了开创性的贡献，留下了以波利亚”命名的定理或术语；他与其他数学家合着的数学分析中的问题和定理、不等式、数学物理中的等周问题、复变量等书堪称经典；而以 200多篇论文构成的四大卷

2、文集，在未来的许多年里，将是 研究生攻读的内容.作为一个数学教育家，波利亚的主要贡献集中体现在怎样解题（1945年）、数学与似真推理（1954年）、数学的发现（1962年）三部世界名着上，涉及 解题理论”、解 题教学”、教师培训”三个领域波利亚对数学解题理论的建设主要是通过怎样解题”表来实现的，而在尔后的着作中有所发展，也在解题讲习班”中对教师现身说法他的着作把传统的单纯解题发展为通过解题获得新知识和新技能的学习过程，他的目标不是找出可以 机械地用于解决一切问题的万能方法”，而是希望通过对于解题过程的深入分析，特别是由已有的成功实践，总结出一般的方法或模式，使得在以后的解题中可以起到启发的作用

3、 .他所总结的模式和方法，包括笛卡儿模式、递归模式、叠加模式、分解与组合方法、一 般化与特殊化方法、从后往前推、设立次目标、归纳与类比、考虑相关辅助问题、对问题 进行变形等，都在解题中行之有效.尤其有特色的是，他将上述的模式与方法设计在一张 解题表中，并通过一系列的问句或建议表达出来，使得更有启发意义着名数学家互尔登 在瑞士苏黎世大学的会议致词中说过：每个大学生、每个学者、特别是每个教师都应该读这本引人入胜的书”（1952年2月 2 日）.2 怎样解题表波利亚是围绕 怎样解题”、怎样学会解题”来开展数学启发法研究的，这首先表明其 对问题解决”重要性的突出强调，同时也表明其对问题解决”研究兴趣集

4、中在启发法上.波利亚在风靡世界的怎样解题（被译成14种文字）一书中给出的怎样解题表”，正是一部启发法小词典”.2.1 怎样解题”表的呈现弄清冋题未知是什么？已知是什么？条件是什么？满足条件是否可能？要确定未知，条 第一，你必 件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？ 须弄清问题画张图，引入适当的符号.把条件的各个部分分开你能否把它们写下来？拟定计划第二，找出 已知数与未 知数之间的 联系如果 找不出直接 的联系，你 可能不得不 考虑辅助问 题.你应该 最终得出一 个求解的计 划你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此有关的问题 ？你是否知道一个可能用

5、得上的定理 ？ 看着未知数，试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题.这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题.你能不能利用它？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了能利用 它，你是否应该引入某些辅助元素 ？你能不能重新叙述这个问题 ？你能不能用不同的方法重新叙述它 ？回到定义去.如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题.你能不能想出一个更容易着手的有关问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比的问题？你能否解决这个问题的一部分 ？仅仅保持条件的一部分而舍去其 余部分.这样对于未知数能确定到什么程度 ？它会怎样变化？你能不能从已知数 据导出某些有用的东

6、西 ？你能不能想出适合于确定未知数的其他数据？如果需要的话，你能不能改变未知数或数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近？你是否利用了所有的已知数据 ？你是否利用了整个条件 ？你是否考虑了包 含在问题中的必要的概念 ？实现计划第三，实行你的计划实现你的求解计划，检验每一步骤.你能否清楚地看出这一步骤是正确的？你能否证明这一步骤是正确的？回顾第四，验算所得到的解.你能否检验这个论证 ？你能否用别的方法导出这个结果？你能不能一下子看出它来？你能不能把这一结果或方法用于其他的问题？3 波利亚的解题观对于波利亚的怎样解题表及有关着作，人们从不同的角度阐发了对波利亚解题思想的认识（见参考文献

7、），我们将其归结为5个要点.3.1 程序化的解题系统怎样解题表，就怎样解题”、教师应教学生做些什么”等问题，把解题中典型有用的 智力活动”，按照正常人解决问题时思维的自然过程分成四个阶段一一弄清问题、拟定计划、实现计划、回顾，从而描绘出解题理论的一个总体轮廓，也组成了一个完整的解题教学系 统既体现常识性，又体现由常识上升为理论（普遍性）的自觉努力.这四个阶段首先是一个四步骤的宏观解题程序，其中 实现计划”虽为主体工作，但较为容易完成，是思路打通之后具体实施信息资源的逻辑配置，我们所需要的只是耐心”；其次,弄清问题”是认识问题、并对问题进行表征的过程，应成为成功解决问题的一个必要前提； 与前两者

8、相比，回顾”是最容易被忽视的阶段，波利亚将其作为解题的必要环节而固定下来， 是一个有远见的做法，在整个解题表中拟定计划”是关键环节和核心内容.拟定计划”的过程是在 过去的经验和已有的知识”基础上，探索解题思路的发现过程， 波利亚的建议是分两步走：第一，努力在已知与未知之间找出直接的联系（模式识别等）；第二，如果找不出直接的联系，就对原来的问题做出某些必要的变更或修改，引进辅助问题， 为此，波利亚又进一步建议：看着未知数，回到定义去，重新表述问题，考虑相关问题，分 解或重新组合，特殊化，一般化，类比等，积极诱发念头，努力变化问题这实际上是阐述 和应用解题策略并进行资源的提取与分配.于是，这个系统

9、就集解题程序、解题基础、解题策略、解题方法等于一身，融理论与实 践于一体.3.2 启发式的过程分析八还在当学生的时候，波利亚就有一个问题一再使他感到困惑：是的，这个解答好像还行，它看起来是正确的，但怎样才能想出这样的解答呢？是的，这个实验好像还行，它看起来是个事实，但别人是怎样发现这样的事实？而且我自己怎样才能想出或发现它们呢？ ”从解题论的观点看，这实际上是既提出了怎样解题”又提出了 怎样学会解题”的问题，波利亚说，这终于导致他写出本书”指怎样解题）.波利亚认为 数学有两个侧面”，用欧几里得方式提出来的数学看来像是一门系统的演 绎科学；但在创造过程中的数学看来却像是一门实验性的归纳科学.这两

10、个侧面都像数学本身一样古老.但从某一点说来，第二个侧面则是新的，因为以前从来就没有照本宣科地把处于发现过程中的数学照原样提供给学生，或教师自己，或公众.”他以数十年的时间悉心研究数学启发法，其 怎样解题”的基本思想就可以概括为 知识+启发法”.在解题表中，波利亚给出了 启发法小词典”，让读者通过阅读词典来开阔思路、指导实 践，自己学会怎样解题.这些看法来源于波利亚对数学教育宗旨的认识，波利亚认为，数学教育应教会年轻人去思考”，培养学生的 独立性、能动性和创新精神”；他认为一个人在学校所受的教育应该 受益终生，他赞成，良好的教育应该系统地给学生自己发现事物的机会”，应该帮助学生自己再发现所教的内

11、容”，学东西的最好途径是亲自去发现它 ”；他特别重视发展学生的数 学思维能力，强调数学教学要加强思维训练，要发展学生运用所学知识的能力，发展技能、 技巧、有益的思考方式和科学的思维习惯，他反复指出，数学教育的目的不仅仅是传授知识，还要 发展学生本身的内蕴能力 ”.教师要 教学生证明问题”，也要 教他们猜想问题”.波利 亚提出合情推理”的概念，号召：让我们教猜想吧！”亡在解题表的展开中，波利亚则通过剖析典型例题的思维过程来研究发现和发明的方法和规律”.波利亚不断地提问、不断地建议，怎样才能想出这样的解答呢 ？”我自己怎样才能想出或发现它们呢 ？”既驱使人们去分析解题过程，又要求人们去总结发现的规

12、律.波利亚在数学的发现序言中提出：领会方法的最佳时机，可能是读者解出一道题的时候，或是阅读它的解法的时候，也可能是阅读解法形成过程的时候”.波利亚书中的例题，其实就是对典型例题进行解题过程的分析，就是暴露数学解题的思维过程，也就是教人 怎样学会解题”在例1中，数学操作与思维开展相结合的图解或阐释， 使我们既领会到了这样的意图，也见到了这样的行动.波利亚对解题过程淋漓尽致的剖析，实质上已接触到心理层面，但没有用到多少教育学或思维学的相关名词， 基本上都是其数学前沿研究中切身体验的自然流露，数学功底和过程体验发挥了重要作用这正是数学家研究数学教育的优势，处处有数学的真刀真枪”，绝非纸上谈兵” 波利

13、亚说 货源充足和组织良好的知识仓库是一个解题者的重要资本”，在知识”与 组织良好”之间，波利亚更强调后者，他说良好的组织使得所提供的知识易于用上，这甚至可能比知识的广泛更为重要.”用现在的话来说，波利亚在这里强调了 原有的知识经验”和优化的认知结构”对问题解决的基础作用.3.3 开放型的念头诱发.波利亚解释说： 我们表中的问题和建议并不直接提到念头；但实际上，所有的问题和 建议都与它有关（可以说解题表中的每一个问句，都是从认知或元认知的角度向读者启发解 题念头），弄清问题是为好念头的出现做准备；拟订计划是试图引发它；在引发之后，我们实现它；回顾此过程和求解的结果，我们试图更好地利用它.”他强调

14、指出： 老师为学生所能做的最大的好事是通过比较自然的帮助，促使他自己想出一个好念头.”在怎样解题一书里，出现 念头”这个词不下四五十次.念头有什么用？波利亚说：它会给你指出整个或部分解题途径”.也许有些念头会把你 引入歧途”，但这并不可怕，在明显失败的尝试和一度犹豫不决之后”会 突然闪出一个 好念头，”最糟糕的是没有任何念头，还笨头呆脑地干等着某个念头的降临，而不会做任何事情去加速其来到.”这里说的念头不仅在字面上比问题表征”更为浅白，而且在内涵上更为丰富，其实质是开展积极活跃的思维活动，产生念头与找出解题途径完全可以理解为同义语.那么产生念头的基础是什么呢？波利亚的回答是：过去的经验和已有的

15、知识 ”.（解题力量）如果我们对该论题知识贫乏，是不容易产生好念头的.如果我们完全没有知识，则根本不可能产生好念头.”波利亚一再提到 好念头”，其实这就是直觉、顿悟或灵感，想出一个好念头是一种 灵感运动：想像力有了一个突然的跳跃，产生了一个好念头，这是天才的一次闪烁”，是我们观点上的重大突变，我们看问题方式的一个骤然变动，在解题步骤方面的一个刚刚露头的有信心的预感”.波利亚关于念头的种种议论，正是开展积极思维活动的激发与激活.3.4 探索性的问题转换这里说的 问题转换”，在怎样解题一书中亦叫变化问题”、题目变更”，它揭示了探索解题思路的数学途径，也体现了解题策略的实际运用.波利亚强调：解题的成

16、功要靠正确思路的选择，要靠从可以接近它的方向去攻击堡垒，为了找出哪个方面是正确的方面， 哪一侧是好接近的一侧，我们从各个方面、各个侧面去试验，我们变更问题.”变化问题使我们引进了新的内容，从而产生了新的接触，产生了和我们有关的元素接触的新可能性.”新问题展现了接触我们以前知识的新可能性，它使我们做出有用接触的希望死而复苏.通过变化问题，显露它的某个新方面，新问题使我们的兴趣油然而生”.在 怎样解题”表中，波利亚拟出了启引我们不断转换问题的30多个问句或建议：把问题转化为一个等价的问题， 把原问题化归为一个已解决的问题， 去考虑一个可能相关的问题, 先解决一个更特殊的问题、 或更一般的问题、 或

17、类似的问题 那些启发新念头的问句， 也 往往与问题转换有关. 如果我们不用 题目变更'几乎是不能有什么进展的 ”一一 就是波 利亚的结论.3.5 朴素的数学解题元认知观念.元认知是对认知的再认知， 包括元认知知识，元认知体验和元认知监控.虽然元认知概 念提出较晚，但元认知思想早就存在，在波利亚的解题思想中存在着朴素的元认知观念.波利亚解题表的大量问句或建议，都不是问别人，而是自己给自己提问题、提建议，这是解题者的自我诘问、自我反思.问题中的一部分，其对象针对具体的数学内容，属于认知性的；另一部分则以解题者自身为对象，属于元认知性的比如，你以前见过它吗？”你是否知道一个与此有关的问题 ？

18、”这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题.你能 不能利用它？”等等，都不涉及问题的具体内容，都是针对解题主体、对其解题思维活动的反 思，都属于元认知提问，而不完全是认知提问.波利亚解题表中的 回顾”也并不完全是常规解题中的检验”，主要是有分析地领会所得的解法（参见例1的回顾），它包含着把 问题及其解法”认知）作为对象进行自觉反思的元认 知意图.至于解题表本身所给出的解题程序（一种程序性知识），所体现的解题策略（一种策略性知识）及所进行的元认知提问，都属于元认知知识波利亚对具体范例的分析，基本上是 对问题及其解法”的再认知，已反映出开发元认知的朴素意图.波利亚的另一些问句，女口你能不能重

19、新叙述这个问题 ？你能不能用不同的方法重新叙述 它？”你能不能改变未知数或数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近 ？”接 近度）,你能不能一下子看出它来 ？”题感）等，则属于朴素的元认知体验.分析解题过程”是波利亚解题思 问题转换”是波利亚解题思想的而这一切的背后，丰富的数现代启发法是波利亚解题思想的至于解题表本身，则自始至终体现着元认知调控.综上所述， 解题系统”是波利亚解题思想的整体框架， 想的思维实质， 念头诱发”是波利亚解题思想的外在表现， 具体实现，朴素的元认知观念是波利亚解题思想的心理学基础.学前沿研究经历和发现体验是波利亚解题思想的物质基础, 灵魂，揭示发现和发明的

20、方法和规律”是波利亚解题思想的目标.4 波利亚解题研究的发展4.1 反思数学上存在证明的方法与发现的方法，在逻辑实证主义占主导地位的历史时期，关于数学发现方法的研究一度陷于停顿，波利亚的贡献就在于自觉承担起复兴数学启发法的重任， 并提出合情推理，为数学启发法的现代研究提供了必要基础.20世纪80年代初期，美国数学教育界兴起的问题解决”研究是对波利亚现代启发法的直接继承，曾经有对波利亚的重新发现”、数学启发法几乎成了问题解决的同义词 ”等提法.但是，已有数学实践却未能 获得预期的成功，尽管学生已经具备了必要的数学知识，也已经了解了相关的方法原则，或者说已执行了解题表的建议，却仍不能有效地解决问题

21、，这不能不引起数学教育界的反思.波利亚构建的 四阶段”解题系统具有开创性的意义，但局限于四阶段”对学会 数学地思维”而言是不是有点简单化了 ？对数学问题解决全过程的探索可能比解题表所简洁描述 的复杂得多.数学启发法的现代复兴及其所取得的成功，无论怎样评价都不算过分，但启发法能 不能看成影响问题解决能力的惟一要素？知识+启发法”之外可能还有更多的因素需要重视 （如 元认知调节”、观念”等）,好念头”的出现可能也需要从方法论的角度做出更为自觉的 分析.（9波利亚从数学内部研究数学问题解决并强调解题实践是一个值得继承的研究方向（与那些连数学题都没有出现的解题研究形成鲜明对照，也与那些对中学教材作业题

22、都不那么过关的研究者形成鲜明对照），但局限于 解题”专注于技能技巧是不是狭窄了点？至少 问题发现（提出）”、实际应用”都与解决问题有同样的重要性.4.2 发展近十几年来，通过反思和对解题实践活动的深入考察，数学教育界已经在问题解决”的全过程和高级数学思维”的内外部机制等研究方面取得了新的进展， 中国式的问题解决' 也初成特色，这些都构成了对波利亚的超越.（1）美国学者舍费尔德在名着数学解题一书中，提出了一个新的理论框架，描述 了复杂的智力活动的四个不同性质的方面. 认识的资源即解题者所已掌握的事实和算法； 启发法即在困难的情况下借以取得进展的常识性的法则”； 调节它所涉及的是解题者运用已有知识的有效性（即现代认知心理学中所说的元认知）； 信息系统即解题者对于学科的性质和应当如何去从事工作的看法.（2）中国的数学教学历来重视解题训练、中国的数学教师历来重视解题研究，20世纪80年代，随着美国 问题解决”口号传入中国，波利亚的解题理论受到了重视也得到了发展.早在20世纪40年代，波利亚的怎样解题