第2讲_手拉手模型(教师版)

1、第 4 讲手拉手模型一 “ 手拉手”数学模型：DEFHFOD OAEEOAABCBCBC例 1 如图，等边三角形ABE 与等边三角形AFC 共点于 A ，连接 BF 、 CE ，求证： BF = CE 并求出EOB 的度数 .例 1 解： ABE、 AFC是等边三角形 AE=AB， AC=AF， EABFAC 60EABBACFACBACEA即EACBAFGO AEC ABFB BF =ECAECABF又AGEBGOBOEEAB60 EOB 60例2 如图，正方形BAFE与正方形 ACGD共点于 A，连接 BD 、 CF ，求证： BD =CF 并求出DOH 的度数 .D解：先证明 ABD A

2、FCBD=FC，BDAFCAFDHOCHAOHDOHCAD90E例3 如图，已知点 C 为线段 AB 上一点， ACM 、 BCN 是等边三ABC角形 求证： ANBM .将 ACM绕点C按逆时针方向旋转，使点A落在CB上，请你对照原题图180°在图中画出符合要求的图形；在得到的图形中，结论“ AN BM ”是否还成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；在所得的图形中，设 MA 的延长线交 BN 于 D ，试判断 ABD 的形状，并证明你的结论NNMFCGACBCBa) 这是一个固定后运动变化的探索题， 且在一定的条件下， 探究原结论的存在性 （不变性）；需要画图分析、判断、猜想

3、、推理论证例3 ACM 、 BCN 是等边三角形 AC CM ，BC CNACMBCN60°ACNMCBN在 ACN 和MCB 中ACMCACNMCBCNCB ACN MCB （ SAS）ANBMACB 将 ACM 绕点 C 旋转如图：M 在的情况，结论AN BM 仍然成立N证明：BCMNCA60°， CA CM ， CNCB D CAN CMB （SAS）， ANMB 如图，延长 MA 交 BN 于 D ，则 ABD 为等边三角形证明：CAMBADABDCAB60° ABD 是等边三角形2 旋转全等构图： “手拉手”全等模型探究M【探究一】“手拉手”模型基本构图

4、；如图 1，若 ABC 与ADE 旋转全等， 则必有 ABD 与ACE 为两个顶角相等的等腰三角形（即相似的等腰三角形）；反之，如图 2，若有两个顶角相等的等腰三角形 ABD 与 ACE 共顶角顶点，则必有 ABC 与 ADE 旋转全等；而图 2 正是“手拉手”模型的基本构图；AAEEBDBDCC图 1图 2【探究二】 将探究一中的普通等腰三角形换成特殊的图形，例如等边三角形、 等腰直角三角形、正方形，然后再探究结论如何变化；DDGDCCFCBAEBAEBAE图 3图 4图 5如图 3、图 4、图 5，当两个等边三角形、 等腰直角三角形、 正方形共顶点时，ABC 与 ADE仍然旋转全等，并且有

5、两个共同的结论；结论 1： ABC ADE； BC DE ；结论 2： BC 与 DE 所夹锐角等于两个等腰三角形的顶角；（倒角方法如下图6、图 7、图 8的八字模型）DDGDCCFCBAEBAEBAE图6图7图8【探究三】将探究二中的特殊图形旋转后结论是否仍然成立；如下图 9、图 10、图 11 易得探究二中的两个结论仍然成立；DDGDFCCCEAEEBBABA图 9图 10图 11【探究四】深化探究二中图3 的结论；如图 12，可得结论 1：ABC ADE ； BCDE ；结论 2：BODCOEBADCAE 60 ；结论 3：如图 12、图 13、图 14，可得三对三角形全等 （ABC A

6、DE ； AHD AGB ；AGC AHE ）DDDGO CO CO CGGHHHBAEBAEBAE图 12图13图 14结论 4：如图 15，连接 GH ，可得AGH 为等边三角形； （由结论 3 可得 AGAH ）DDGO CMO CHNBAEBAE图 15图16结论 5： GHBE ；（由结论 4 可得结论 6：连接 AO ，可得 AO 平分与 AN 分别是全等三角形ABC 与AGHBAD60 ）BOE ；（如图 16，分别作 AMBC 、 ANDE ， AMADE 对应边 BC 和 DE 上的高，故相等）ED三 练习1 如图， DA AB， EA AC， AD=AB， AE=AC，则下

7、列正确的是（ ）A. ABD ACEB. ADF AESC. BMF CMSD. ADC ABE1D2 如图，正五边形ABDEF与正五边形 ACMHG共点于 A ，连接 BG 、 CF什么样的数量关系并求出GNC 的度数2 先证 ABG AFC可得 BG=CF，ACFAGBENPGAPCGNCGAC108D3 如图，等腰直角ADB与等腰直角 AEC共点于 A ，连接 BE 、CD ，则线段BE、 CD具有什么样的数量关系和位置关系AF SMBC，则线段 BG、CF具有GHFNPMAEBC3 先证明 ABE ADCBE=CD，再类似例1 倒角即可得到BE CDD OABC4 如图，C 为线段 A

8、B 上一点，分别以 AC 、CB 为边在 AB 同侧作等边 ACD 和等边 BCE ，AE交 DC于G点， DB交 CE于 H点，求证： GHABEDGHACB4 本题中， ACD 与 BCE 是等边三角形，因此AC CD，BCCE ，ACDECB 60°，因为 A 、 C 、 B 在同一条直线上，故DCE 60°这样可以得到 ACE DCB ，AECDBC ，故可以得到CEG CBH ，则GC HC，CGHCHG，所以ACGCGH，故GH AB60°60°4 ACD 和 BCE 是等边三角形（已知） ACCD ， BCCE （等边三角形的各边都相等）A

9、CD（等边三角形的每个角都等于）BCE 60°60°ACDDCEBCE180°DCE，ACEDCB60°120°AC DC在 ACE 和 DCB 中，ACEDCBCE CB ACE DCB （ SAS）AECDBC （全等三角形的对应角相等）BCHECG 60°在 BCH 和 ECG 中， BC CECBHCEG BCH ECG （ ASA） CH CG （全等三角形的对应边相等）CGHCHG （等边对等角）GCHGHCCGH（三角形内角和定理）180°GHCCGH60°ACGCGH60°（等量代换）5 GH AB （内错角相等，两直线平行）已知：在 ABC中， BAC90°， AB AC，点 D 为射线 BC上一动点，连结AD，以 AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF（ 1）当点 D 在线段 BC上时（与点 B 不重合），如图 1，求证： CF BD（ 2）当点 D 运动到线段 BC 的延长线上时，如图 2，第（ 1）问中的结论是否仍然成立，并说明理由 .5 证明：（ 1）正方形ADEF AD AF， DAF 90° DAF DAC BAC DAC，即 BA