2019年高考数学一轮复习第6章不等式、推理与证明第6节数学归纳法学案理北师大版

1、第六节数学归纳法考纲传真(教师用书独具)1. 了解数学归纳法的原理2 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.双基自主测评I I梳理自测巩固基础知识1 数学归纳法(对应学生用书第 104证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行:(1)验证：当n取第一个值no(如no= 1 或 2)时，命题成立.在假设当n=k(kN+,kno)时命题成立的前提下，推出当n=k+1命题成立.根据(1)(2)可以断定命题对一切从no开始的正整数n都成立.2 数学归纳法的框图表示基本能力自测1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“V”，错误的打“X”)(1) 用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n= 1

2、 时结论成立.(2) 所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.(3) 用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用.(4) 不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由增加了一项.()n=k至U n=k+ 1 时, 项数都用数学归纳法证明2 + 22+ 2n+2= 2n+3- 1”，验证n= 1 时,左边式答案(1)x(2)x(4)X(5)V2 已知n为正偶数，用数学归纳法证明时,2（对应学生用书第 104 页）用数学归纳法证明等式B k为偶数，则k+ 2 为偶数.3 在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为fn（n 3）条时，第一步检验n等于（）A. 1C. 3D. 0C 因为凸n边形最

3、小为三角形，所以第一步检验n等于 3，故选 C.4.（教材改编）已知an满足an+1=a2na+1,n Nk,且a1= 2，贝U比=_,a3=,a4=,猜想an=答案345n+ 15.用数学归纳法证明：“ 1+ 2 +1 + &1）”由n=k（k1）不等式成立，推证n232 1=k+1时，左2k当n=k时，不等式为 1+1+1+尹0，且 1,b,r均为常数)的图像上.(1)求r的值； (2)当b= 2 时，记 b= 2(log 2/+1)(n N+).b1+ 1b2+ 1bn+ 1 f-证明：对任意的n N+,不等式在n+ 1 成立. 解(1)由题意，S=bn+r,当n2时，S1=b1

4、+r,所以an=SS1=bn1(b 1),由于b0,且bz1,所以n2时，an是以b为公比的等比数列，又a1=b+r,a?=*A，I题塑2|4a2b(b 1)b(b 1),二=b,即；卄=b,解得r= 1.53当n= 1 时，左式=，右式=#2,左式右式，所以结论成立.规律方法用数学归纳法证明不等式的适用范围与关键1 适用范围：当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法2 关键：用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k时命题成立，证明n=k+ 1 时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用 基本不等式、不等式的性

5、质等放缩技巧，使问题得以简化即一凑归纳假设，二凑证题目标3 特别注意：证n=k+ 1 时，知n=k时命题的结构特点需增加或减少多少项.跟踪训练(2017 浙江高考节选)已知数列Xn满足：X1= 1,xn=xn+1+ ln(1 +Xn+1)(n N+).n一1.-证明：由(1)知an= 2 ，因此bn= 2n(n N+),所证不等式为2 + 14+ 1242n+1 2n+1.2+ 1假设n=k时结论成立，即 一沪2k+1IF k+1,则当n=k+ 1 时，字弓2k+ 12k2k+ 3 2k+ 32k+ 32(k+ 1) k+12(k+ 1)，要证当n=k+ 1 时结论成立,只需证2害k+ 2,2

6、 寸k+ 1 7即证于V(k+ 1)(k+ 2),由基本不等式可得2k+3=(k+1)+(k+2) ,(k+ 1)(k+ 2) 成立,故萨成立，所以当n=k+1时，结论成立根据可知,n N+时,不等式b1b2+ 1b2bj1 .n+1成立.6证明：当n N+时，0Xn+10.当n= 1 时，X1= 10.假设n=k时，Xk0,规律方法解决“归纳一猜想一证明”问题的一般思路：通过观察有限个特例， 猜想出一7那么n=k+ 1 时，若Xk+1 0,贝U0Xk=Xk+1+ ln(1 +Xk+1)0.因此Xn0(n N+).所以Xn=Xn+1+ ln(1 +Xn+1)Xn+1.因此 0Xn+1 0,-a

7、n+1 0,-an一 0, 0vanv1,故数列an中的任何一项都小于1.(2)由知 0va1V1 = 1,221111那么a?wa1a1= ia-q + 4w4v2，1由此猜想anv-.nF 面用数学归纳法证明：当n2,且nN+时猜想正确.当n= 2 时已证;假设当n=k(k2,且k N+)时，有akv1成立,当n=k+ 1 时，猜想正确.1综上所述，对于一切n N+,都有an1且k N+)时猜想正确，即aa(k 1) +aaa+(k 1) +a(k 1) +a+ 1(k+ 1) 1 + a般性的结论，然后用数学归纳法证明这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应

8、用易错警示：猜想an的通项公式时应注意两点：1 准确计算ai,a2,a3发现规律 必要时可多计算几项 ；？证明ak+i时，ak+i的求解过程与a2,a3的求解过程相似， 注意体会特 殊与一般的辩证关系.ax跟踪训练(2017 常德模拟)设a 0,f(x)= ，令 a= 1,an+匸f(an),a+xn N+.(1)写出a2,a3,a4的值，并猜想数列an的通项公式;(2)用数学归纳法证明你的结论解(1) ai= 1,a2=f(a =f(1)a1+a；aa 1+aa3=f(a2)=2+ a，a+乐aa2+a aa4=f(a3)=-a3+aa+2+a猜想an= (n 1 +a(nak= (k 1)

9、 +a，“ a ak贝Uak+1=f(ak)9这说明，n=k+1 时猜想正确.由知，对于任何n N+,1 1 1 1 1 1 1 1-1+1-；+- 1=2氐+芮+齐时,若已假设n=k(k2,且k为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证()A. n=k+ 1 时等式成立B. n=k+ 2 时等式成立C.n= 2k+ 2 时等式成立D.n= 2(k+ 2)时等式成立1 1V卜例!！ 设f(n) = 1+2+ 3 + +(门 N+).求证：f(1) +f(2) +f(n 1) =nf(n)1(n2,n N+).证明(1)当n= 2 时，左边=f(1) = 1,边=2 1 + 2 1 = 1,左边=右边，等式成立.假设n=k（k2,k Nk）时，结论成立，即f(1) +f(2) +f(k 1) =kf(k) -1,那么，当