2020届高考数学(文)总复习课堂测试：抛物线

1、 课时跟踪检测（六十） 抛物线 A 级 - 保大分专练 1 . （2018 永州三模）已知抛物线 y= px2（其中 p 为常数）过点 A（1,3），则抛物线的焦点到 准线的距离等于（ ） 1 1 C D C. 18 D . 6 解析：选 D 由抛物线 y= px2（其中 p 为常数）过点 A（1,3）,可得 p= 3，则抛物线的标准 1 1 方程为 x2= 3y,则抛物线的焦点到准线的距离等于 6.故选 D. 2.过点 P（- 2,3）的抛物线的标准方程是（ ） y2=- |x 或 x2= 4y B. y2= |x 或 x2=- 4y y2=- 2x 或 x2=-务 解析：选 A 设抛物线的

2、标准方程为 y2= kx 或 x2= my,代入点 P（-2,3）,解得 k=- 9, m= 4，所以 y=- 2x 或 x2= fy 3. （2019 龙岩质检）若直线 AB 与抛物线 =4 2，则抛物线的焦点到直线 AB 的距离为 y2= 4x 交于 A, B 两点，且 AB 丄 x 轴，|AB| C. 3 D. 解析：选 A 由|AB| = 4 2 及 AB 丄 x 轴， 点 A 的横坐标为 2,从而直线 AB 的方程为 x = 2.又 y2= 4x 的焦点为（1,0），所以抛物线的焦 5 不妨设点 A 的纵坐标为 2 2，代入 y2= 4x 得 点到直线 AB 的距离为 2- 1 =

3、1,故选 A. 4. （2018 齐齐哈尔八中三模 ） 已知抛物线 2 x C: y= 6 的焦点为 F , A(Xo, yo)是 C 上一点, 且|AF|= 2y,则 x=( ) 2 解析：选 D 由 y= x，得抛物线的准线为 y=-2，由抛物线的几何意义可知，|AF| = 8 2yo = 2+ y,得 y= 2，所以 Xo= 1，故选 D. 5.(2019 湖北五校联考) )直线 I 过抛物线 y2=- 2px(p 0)的焦点，且与该抛物线交于 A, B 两点，若线段 AB 的长是 8，AB 的中点到 y 轴的距离是 2，则此抛物线的方程是( ( ) ) A. y2= 12x B. y2

4、 = 8x C. y2 = 6x D. y2= 4x 解析：选 B 设 A(Xi, y) B(X2, y2) ),根据抛物线的定义可知|AB|= (xi+ x?)+ p= 8. 方程为 y2= 8x.故选 B. 6.已知点 A(0,2)，抛物线 Ci: y2 = ax(a 0)的焦点为 F，射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M，与其准线相交于点 N.若|FM | : |MN |= 1 : 5，贝 U a 的值为( ( ) ) 射影为 K,由抛物线的定义知|MF |= |MK|, |KM| : |MN |= 1 : 5，则 0 2 8 |KN| : |KM|= 2 : 1. v kFN = =

5、 , kFN a 0 a 4 解得 a= 4. 7.抛物线 x2= 10y 的焦点在直线 2mx+ my+ 1 = 0 上，贝 V m= _ . 解析：抛物线的焦点为 0, 2，代入直线方程 2mx+ my+ 1 = 0，可得 m= . 答案：2 5 8. (2019 沈阳质检) )已知正三角形 则厶 AOB 的边长是 _ . 9. (2018 州一模) )已知抛物线 y2= 2px(p0)的焦点 F 与双曲线y2= 1 的右焦点重 3 合，若 A 为抛物线在第一象限上的一点，且 |AF|= 3,则直线 AF 的斜率为 又 AB 的中点到 y 轴的距离为 2, Xl+ X2 = 2 = 2,

6、X1+ X2= 4,.p= 4，所求抛物线的 A. 4 B. 2 C. 1 D. 4 解析：选 D 依题意，点 F 的坐标为 a，0 AOB(O 为坐标原点) )的顶点 A ,B 在抛物线 y2= 3x 上, 解析：如图，设 AOB 的边长为 物线 /= 3x 上， 1a2= 3Xa, 答案：6 3 - a= 6.3. 1 1 ,设点 M 在准线上的 鵲|=-2，- a=2, a，则 2 解析： 2 双曲线专y2= 1 的右焦点为( (2,0)，抛物线方程为 y2= 8x,v |AF| = 3,- XA 3 + 2= 3，得XA= 1,代入抛物线方程可得 yA = 2 2.v点 A 在第一象限

7、， A(1,2 2), 直线 AF 的斜率为红2 =- 2 2. 1 2 Y 答案：22 10. 已知抛物线 y2= 4x,过焦点 F 的直线与抛物线交于 A, B 两点，过 A, B 分别作 y 轴的垂线，垂足分别为_ C, D，则|AC|+ |BD|的最小值为 . 解析：由题意知 F(1,0), |AC|+ |BD|= |AF|+ |FB| 2 = |AB| 2, 即 |AC|+ |BD|取得最小 值时当且仅当|AB|取得最小值.依抛物线定义知当 |AB|为通径，即|AB|= 2p= 4 时为最小值， 所以|AC|+ |BD|的最小值为 2. 答案：2 11. 已知抛物线 y2 = 2px

8、(p0)的焦点为 F , A 是抛物线上横坐标为 4,且位于 x 轴上方 的点，A 到抛物线准线的距离等于 5,过 A 作 AB 垂直于 y 轴，垂足为 B, OB 的中点为 M. (1) 求抛物线的方程； (2) 若过 M 作 MN 丄 FA，垂足为 N,求点 N 的坐标. 解：抛物线 y2= 2px(p0)的准线为 x= p, 于是 4 + p= 5,. p= 2. 抛物线方程为 y2= 4x. (2) 点 A 的坐标是(4,4), 由题意得 B(0,4), M(0,2). 又 F(1,0) , kFA = 4， 3 MN 丄 FA , kMN = 3. 4 FA 的方程为 y= 3(x

9、1)， 3 MN 的方程为 y 2 = 4x, 联立，解得 x=8, y= 4, 5 5 点 N 的坐标为 1, 4 . 12. 已知抛物线 C： y2 = 2px(p0)的焦点为 F，抛物线 C 与直线h： y= x 的一个交 点的横坐标为 8. (1) 求抛物线 C 的方程； (2) 不过原点的直线 12与 h 垂直，且与抛物线交于不同的两点 A, B,若线段 AB 的中点 为 P,且|OP|= |PB|,求厶 FAB 的面积. 解：( (1)易知直线与抛物线的交点坐标为 (8, 8), 2 ( 8) = 2pX 8, 2p= 8, 抛物线 C 的方程为 y2= 8x. 直线 l2与 l1

10、垂直，故可设直线 l2： x= y+ m, A(X1, yj, B( (X2, y2),且直线 l2与 x 轴 的交点为 M. 由 y= 8X,得 y2-8y 8m = 0, x=y+ m, = 64 + 32m0，二 m 2. 屮屮+ y2 = 8, y1y2= 8m, 2 2 x = yy2 = m2 x1 x2= = m 64 由题意可知 OA 丄 OB，即 X1X2+ y1y2= m2 8m= 0, m= 8 或 m= 0(舍去) )，直线 l2: x= y+ 8, M(8,0). 1 _ _ 故 SFAB = SFMB + SFMA = 2 |FM | y2|= 3 (y1 + y2

11、 2 4y1y2 = 25. B 级一一创高分自选 1.设抛物线 C： y2= 2px(p0)的焦点为 F，准线为 I, M C,以 M 为圆心的圆 准线 I 相切于点 Q, Q 点的纵坐标为 3p, E(5,0)是圆 M 与 x 轴不同于 F 的另一个交点, 解析：选 B 如图，抛物线 C: y2= 2px(p 0)的焦点 F ：,0, Q 点的纵坐标为.3p 知 M 点的纵坐标为 3p，贝 U M 点的横坐标 即 M 3p, 3p .由题意知点 M 是线段 EF 的垂直平分线上的点, 由 3p 2 x =爭 ；解得 p= 2.故选 B. 2. (2018 全国卷川) )已知点 M( 1,1

12、)和抛物线 C: y2= 4x,过 线与 C 交于 A, B 两点.若/ AMB = 90贝 U k = _ . C 的焦点且斜率为 k 的直 解析：法一： 设点 A(X1, y1), B(x2, y2), y1= 4x1, 2 2 2 y1 y2= 4(X1 X2), y2= 4x2, 2 X1 X2 yi + y2* 设 AB 中点 M (Xo, yo),抛物线的焦点为 F，分别过点 A, B 作准线 x = 1 的垂线, 垂足为 A, B 1 i 则|MM |= QAB|=2( (IAF|+ |BF|) ) 1 =2( (IAA T+ |BB I). T M (xo, yo)为 AB 的

13、中点， M 为 A B的中点， MM 平行于 x 轴, - y1 + y2= 2,. k= 2. 法二：由题意知，抛物线的焦点坐标为 F(1,0), 设直线方程为 y= k(x 1), 直线方程与 y2= 4x 联立，消去 得 k2x2 (2k2+ 4)x + k2= 0. 设 A(X1, y , B( (X2, y2) ), 2 k? + 4 则 X1X2= 1, X1 + X2=十一. 由 M( 1,1),得 AvT = (-1 X!,1 -屮), - BM = ( 1 x2,1 y2) ). 由/ AMB = 90 得 AM BM = 0, ( (X1+ 1)(X2+1) + (y1 1

14、)(y2 1)=0, X1X2 +( (X1+ X2) + 1+ y1y2(F + y?)+ 1 = 0. 又 y1y2= k(x1 1) k(x2 1) = k2xix2 (xi + x?) + 1,屮 + y2 = k(x1 + X2 2), .2k2 + 4 2( 2k2 + 4 ,2k2+ 4 、 1+ 记 + 1+ k 1 只 + 1 k 2 + 1 = 0, 整理得72 4 + 1= 0,解得 k= 2. k k 答案：2 3. (2019 洛阳模拟) )已知抛物线 C: x2= 2py(p 0),过焦点 F 的直线交 C 于 A, B 两点, D 是抛物线的准线 I 与 y 轴的交点. (1) 若 AB / I，且 ABD 的面积为 1,求抛物线的方程； (2) 设 M 为 AB 的中点，过 M 作 I 的垂线，垂足为 N.证明：直线 AN 与抛物线相切. 解：( (1) / AB / l,. |FD|= p, |AB|= 2p.k= y1 y2 = y, ABD = p，P= 1 , 故抛物线 C 的方程为 x2= 2y. 设直线 AB 的方程为 y= kx+ p, 2 、x = 2py Xi kp X