2019届高考数学专题十七圆锥曲线的几何性质精准培优专练理_第1页
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文档简介

1、培优点十七 圆锥曲线的几何性质1 椭圆的几何性质2 2例 1 如图,椭圆 笃+爲=1 a .b.0的上顶点、左顶点、左焦点分别为B、A、F,中- b【答案】BSAABF:SA BFO=2 .3 -3 :3,故选 B.2.抛物线的几何性质例 2:已知抛物线 C : y2=2px p 0 的焦点为F ,准线1:-1,点M在抛物线C上,点M在直线I :x = -1上的射影为A,且直线AF的斜率为-3,则AMAF的面积为()A. 3B. 2 .3C. 4 3D. 8 3【答案】C【解析】心为0,其离心率为A.2 - 3 :3B.2 3-3:3D.2.33:2【解析】 由SAABF-SAABOSABFO

2、, 得SAASBo$(ASBS:)则SAABF:SABFO设准线I与 x 轴交于点N,所以 FN =2,因为直线AF的斜率为-.3,所以/AFN =60,3所以 AF =4 ,由抛物线定义知,MA| |MF,且.MAF =/AFN =60,所以MAF是以 4 为边长的正三角形,其面积为 342=4、3 .故选 C.43双曲线的几何性质2 2例 3:已知点P是双曲线 -y1 的右支上一点,M,N分别是圆 x 102- y4 和3664*2(x10 ) +y2=1 上的点,贝 y PM| PN|的最大值为 _ .【答案】152 2【解析】在双曲线 =1中,a =6,b=8,c=10,3664 F1

3、-10,0 , F210,0 , PF1IIPF2=2a =12,.|Mp|PF1-jMF1, PN|PF2|NF?, PM|PN|PF-MF|PF-NF? =15 .卜对点增分集训、单选题1抛物线 y2=2px p 0 上的动点 Q 到其焦点的距离的最小值为1,贝 U p 二()1A.B. 1C. 2D. 42【答案】C【解析】抛物线 y2=2px p 0 上的动点 Q 到其焦点的距离的最小值即到准线的最小值,很明显满足最小值的点为抛物线的顶点,据此可知:卫=1 , p=2 .本题选择 C 选项.222.设点F1,F2是双曲线 x21 的两个焦点,点P是双曲线上一点,若 3PF1=4 PF2

4、,3则PF1F2的面积等于()4A. 5 3B. 3 15C. 4.5D. 2105【答案】B2 2 2又 F1F2=4,在PF1F2中由余弦定理,得 cos. F1PF2二兰1-72|PF1|PF:8为3, PQ-,【答案】m 5x2p=6m,由此解得m =6.故选 B.442 25.已知双曲线才計1*0,b 0的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,是边长为 2 的等边三角形(0为原点),则双曲线的方程为(2Ax2A.y =1322【解析】据题意,PF1PF2,且 Ph| PF?=2,解得 PF1=8 ,PF2=6 .从而 sin . F1PF2js冊2诗,所以 s”专6 8于二153. 1

5、5,故选 B.3.经过椭圆x22y2=2 的一个焦点作倾斜角为45的直线 I,交椭圆于M,N两点,设0为坐标原点,OMON等于(A. -3B.3D.12【答案】C【解析】椭圆方程为a=2,b=1,c=1,取一个焦点 F 1,0,则直线方程为 y = x _1 ,代入椭圆方程得3x2-4x =0, M1所以 OM ON ,故选 C.34.过抛物线 y2-mx m 0 的焦点作直线交抛物线于P, Q 两点,若线段 PQ 中点的横坐标A. 4B. 6C. 8D. 10【解设 PQ 的坐标分别为 X% , x2, y2,线段PQ 中点的横坐标为 3,则空x22PQ -xi22yB. x1322x yD

6、.11246C.x_y_=1412【答案】B7M是双曲线C2的一条渐近线上的点,且OM _MF2,O为坐标原点,若SAOMF2=16,且双2 2【解析】双曲线 笃-爲=1 a 0,b 0 的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,OAFa b是边长为 2 的等边三角形(O为原点),可得c =2,b,即打=3,aa222= 3,解得a = 1,b = . 3, a2双曲线的焦点坐标在 x 轴,所得双曲线的方程为 x2-r1,故选 B.36如图所示,“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行,之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦

7、点的椭圆轨道n绕月飞行,最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道川绕月飞行.已知椭圆轨道I和的中心与F在同一直线上,设椭圆轨道I和n的长半轴长分别为ai,a2,半焦距分别为Ci,C2,则有(A.a1a2【答案】 C【解析】 设圆形轨道Ca2_R AR1-a;?;82a2由a1a2知鱼a1a2GC2aia2D.Cia _ Ra- Ci二a2- C2二R,aiaiRai故选c.2j 已知双曲线 C1:T-y2二1双曲线2XC2:2 -a1a b 0的左、右焦点分别为Fi,F2,8曲线C1,C2的离心率相同,则双曲线C2的实轴长是()A. 32B. 4C. 8D. 169【答案】D【解析】双

8、曲线&:+ _y2=1 的离心率为 f,设 F2c,0,双曲线C2一条渐近线方程为by x,a可得 F2M 二一;= : b,即有 OM = Cb2=a ,由7OMF2T6,可得片 6,即ab=32,又,解得a=8,b=4,C= 4 .5,即有双曲线的实轴长为16故选 D.&已知F是抛物线 C : y = 2x2的焦点,N是 x 轴上一点,线段FN与抛物线C相交于点M,若2FM=MN,贝 U FN =()A. 1B. -C.5D.-2 2 8【答案】D【解析】由题意得点F的坐标为 0 丄,设点M的坐标 x),y0,点N的坐标 a,0 ,(8 丿 由向量线性关系可得:113x0=

9、a , 2yoyo,解得:yo:412代入抛物线方程可得:6 6沧石,则 a=,由两点之间的距离公式可得:FN =5.故选 D.8F1,F2,点P是曲线G与C2的一个公共点,e ,62分别是C1和C2的离心率,若PF丄PF2,则 4e2+的最小值为()所以向量:-a- 沧,-yo29.已知椭圆 Ci:冷ai27 =1 aibibi22x0 与双曲线 C2:22y:2.2a2b2=1a20,b20 有相同的焦点MN10【解析】由题意设焦距为2c,椭圆长轴长为2a1,双曲线实轴为2a2, 令P在双曲线的右支上,由双曲线的定义PFi|PF2=2a2,由椭圆定义 PF-|PF2=2a1,2 2 2又T

10、PR 丄 PR , PFi+|PF2=4C,22,得 PFi2PF22=4ai2 4a22,将代入,得 詁 a22=2c2,10.已知F为抛物线 C:y2=:4x 的焦点,A,B,C为抛物线C上三点,当FA FB FC = 0时,称厶ABC为“和谐三角形”,则“和谐三角形”有()A. 0 个B. 1 个C. 3 个D.无数个【答案】D【解析】抛物线方程为 y2=4x ,A,B,C为曲线C上三点,当FA FB FC =0时,F为ABC的重心,1用如下办法构造ABC,连接AF并延长至D,使 FD=1AF ,2当D在抛物线内部时,设 D Xo,yo,若存在以D为中点的弦BC, 设 B mi,ri,

11、C m2, n2,r)i_ 门?则m m2=2x0, 口 匕=2y,- 二 kBC,mt_m2则ri=4mi,两式相减化为 q 卫匸互=4 , r22=4m2mi_叫.2 24c cT2aa?5 . 2a222a12a1259肯2匕,故选 AAA11kBC也匹丄,所以总存在以D为中点的弦BC,所以这样的三角形有无数个, 故选D.mi-m2yo2 2 2 211 已知双曲线 *刍十=i a .0,b.0的左右焦点分别为Fi,F2,椭圆2:专吕=1 的离心率为 e,直线MN过点F2与双曲线交于M,N两点,若cos. FiMN二cos F1F2M, 且 匕纠=e,则双曲线F的两条渐近线的倾斜角分别为

12、()FiNA. 30,150B. 45,135C. 60,120D. 15,165【答案】C【解析】由题cos F1MN =COS. F1F2M , . . F1M/F1F2M, MF F1F2=2c ,由双曲线的定义可得 | MF2二 MF1I -2a =2c-2a ,NF2=4c-2a ,椭圆丨2:兰3-1 的离心率为:4口 1. |RM1e _22,F1N e_2 NF1=4c ,在厶MF1F2中,由余弦定理的cos F1F2M2 2 24c 亠 i2c2a 1;-4c2 2c 2c-2ac a2c12在厶NFF2中,由余弦定理可得:2 $,22 2 24c4c-2ai 16c a2c2

13、- 4accos RF2N2 2cf4c2a)2c(2c a)ZF1F2M令F2N二n,.coF1F2M coF1F20,即2ca2八叫02c 2c - a整理得13设双曲线的离心率为e,二疔隹1+2=。,解得卄2或1(舍).2 .2a b,24,a渐近线的倾斜角为60,120.故选C.2 212.已知P为椭圆y1 上一个动点,过点P作圆 x 12y1 的两条切线,切点分43别是A,B,则 PA PB 的取值范围为()A.范B. |3 56丨C. |2 血3 色 ID.勺农3,乜22 93,9-,【答案】C【解析】如图,由题意设.APB = 2二,则 PA 二 PB,tan 日当且仅当 1 _

14、t =乙,即t=1 -2时等号成立,此时cos2.2 .1 t又当点P在椭圆的右顶点时, sin 31 _ C0S271=1 -2sin2r = 7 ,39双曲线的渐近线方程y =:g3x ,PAPBcos2T1=设cos2v -t,则 PA PB1tan2二1 cos2 v1 -cos2 vcos2v ,t1 t1 t3 兰 2(1 _t )说 _3=2 血_3 ,PA14此时 PA PB 最大且最大值17771-7 995615 PA .PB 的取值范围是2 2-3,,故选 C.IL 9二、填空题13.已知过抛物线 y2=/x 的焦点F,且斜率为.3的直线与抛物线交于A、B两点,则AF B

15、F【答案】-2【解析】由 y2=-2x 知 p =1,由焦点弦性质 7+r =- =2,|AF| |BF| P而 AF BFAF BF1p|AB|一|AF| + |BF| 1 丄 1 _2 _2 .两两214已知椭圆jX2y2=1的左、右焦点为F1、F2,点F1关于直线y - -x的对称点P仍在椭a圆上,则PF1F2的周长为_【答案】222【解析】设 F1-c,0 , F2c,0 c 0 ,F1关于直线 y -x 的对称点P坐标为 0,c ,点P在椭圆上,则:02 2 2 2 2c=1,贝U c=b=1,a =b c =2,贝Ua =2, a故厶PF1F2的周长为:PFJPF2-|F1F2a

16、22 22 .直线PF2交y轴于点A,则AARP的内切圆半径为 _【答案】2【解析】 PF丄PF2,APF的内切圆半径为 r ,AB2 215P为双曲线专刊右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、 右焦点, 且 PF1PF2二 016 PF -|PA| |AF,=2rPF22a -PA| |AF2r, AF2I|AFi=2r -4,由图形的对称性知:AF|AF1, r =2.故答案为 2.2216已知直线 l 与椭圆笃与=i a Ob .0 相切于第- -象限的点P(Xo,yo),且直线 I 与 Xa b轴、y轴分别交于点A、B,当AOB(O为坐标原点)的面积最小时,.F|PF2=60(F1、

17、F2是椭圆的两个焦点),若此时在PF1F2中,.F1PF2的平分线的长度为 a,则实数 m 的 m值是_ .【答案】52【解析】由题意,切线方程为 弓 x 普 y =1 , a b:xjE =1 一迢,丄 2 , SAAOB_ab,当且仅当辽时, a bab xoyoaba bAOB(O为坐标原点)的面积最小,设 PFx , PF2-y , 由余弦定理可得 4c2=x2y2xy =4a23xy , xy =4b2,33b22t6,15,b,” c b,” a b, 3c 233.直线I与 x 轴分别相交于点A(2,0,BK 丿 y。丿2 2_1 a bSAAOB二Xoyo-SA PF1F21x

18、ysin 602b2,yoB,173PF2的内角平分线长度为弊,,.护晋呜冷 5 彩冷弓 b2 3,13ax22mmJ2,故答案为 2 - 三、解答题17设常数t 2在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 F 2,0,直线I:x =t,曲线 1 :2y =8x 0_x_t,y_0 I与 x 轴交于点A、与丨交于点BP、Q 分别是曲线:与线段AB上的动点.由抛物线的性质可知:BF =t 号乂 2 BF t 2 ;(2) F 2,0 , FQ =2 , t =3,则 FA =1 , AQ = 3 , Q 3,2,设 OQ 的中点 D ,丄 0kQF二=-3,则直线 PF 方程:y = 3 x2 ,3

19、-22联立忙:(一 2 ),整理得:,2 设t =3, FQ =2,线段 OQ 的中点在直线FP,求 AQP 的面积;3设t=8,是否存在以FP、FQ 为邻边的矩形 FPEQ,使得点E在丨上?若存在,求点P的坐标;若不存在,说明理由.1 卫 2a叫22 2m2m 9(1)1818与椭圆相交于A、B两点,F2关于直线h的对称点E在椭圆上.斜率为-1的直线12与线段AB相交于点P,与椭圆相交于C、D两点.解得:x=-,3(3)存在,设x=6(舍去), AQP 的面积 S 冷飞冷二吕3;m2,则 kpF=二-288yy2-16,kFQ -16 -y28y直线 QF 方程为 y16 _y28y16 y2二 8y248 -3y24y二 FE ,则 E165存在以FP、FQ 为邻边的矩形FPEQ,使得点E在丨上,且25丿8 s4y8 +y2、4y2y3i3CD =U2 R x2=(2(为 +x2f

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