第三章假设检验

1、第三章假设检验3.2 一种元件 ,要求其使用寿命不低于 1000（小时） ,现在从一批这种元件中随机抽取 25 件,测得其寿命平均值为 950（小时）。已知这种元件寿命服从标准差100（小时） 的正态分布，试在显著水平0.05 下确定这批元件是否合格。解：提出假设： H 0 :1000,H1 :1000构造统计量：此问题情形属于u检验，故用统计量：u= X00 n此题中：9500100n=2501000x代入上式得：u=950-10002.510025拒绝域：V= u u1本题中：0.05u0.951.64即，拒绝原假设H 0uu0.95认为在置信水平5下这批元件不合格。0.03.4 某批矿砂

2、的五个样品中镍含量经测定为（%）：3.253.273.243.263.24设测定值服从正态分布， 问在0.01下能否接受假设， 这批矿砂的镍含量为 3.25？解： n=5;x=zeros(1,n);x=3.25 3.27 3.24 3.26 3.24;x1=sum(x)/n;x2=0;for i=1:nx2=x2+(x(1,i)-x1)2;endx2=x2/n;S=sqrt(x2);提出假设： H 0 : 103.25H1:10构造统计量：本题属于2未知的情形，可用t检验，即取检验统计量为：t=X0Sn1本题中，x3.252,S=0.0117,n=5代入上式得：t=3.252-3.250.34

3、19510.0117否定域为：V=t>t(n 1)1-2本题中，0.01,t0.995 (4)4.6041Q tt12接受 H 0 ,认为这批矿砂的镍含量为3.25。3.5 确定某种溶液中的水分，它的 10 个测定值 X 0.452%, S 0.035%,设总体为正态分布N(,2 ), 试在水平 5%检验假设：(i )H 0 :0.5%H1 :0.5%(ii )H0 :0.04%H1 :0.0.4%(i )构造统计量：本文中未知，可用 t检验。取检验统计量为X0t=n 1S本题中，X0.452%S=0.035%代入上式得：t=0.452%-0.5%0.035%-4.114310-1拒绝域

4、为：V=t >t 1- (n1)本题中，0.05n=10t0.95 (9) 1.8331t 4.1143拒绝 H0(ii )构造统计量：未知，可选择统计量2 nS220本题中， S0.035%n=100 0.04%代入上式得：2210 （0.035%）7.6563（2）0.04%否定域为：V=212 (n1)本题中，12(n1)02.95 (9)16.919Q 212 (n 1)接受H03.8 用重量法和比色法两种方法测定平炉炉渣中SiO2 的含量，得如下结果重量法： n=5 次测量，比色法： n=5 次测量，X20.5%,S10.206%Y21.3%,S20.358%假设两种分析法结果

5、都服从正态分布，问（ i）两种分析方法的精度 （ ）是否相同？（ ii ）两种分析方法的 均值（ ）是否相同？（ 0.01）解：（i ）提出原假设： H0 :12H1: 12对此可采用统计量F=n1 (n2 1)S12n2 (n1 1)S22在H0下，（，），我们可取否定域为F : F n11 n21V=F<F，n21)U F>F(n1，1)(n1 111 n222此时 P( V H0)=0.01本题中， n15,x20.5%,S1 =0.206%n15,y21.3%,S1 =0.358%代入上式得：n1 (n225(521)S11) （0.206%）0.3311F=(n1)S25

6、(52n21) （ 0.358%）121F0.005（ 5， 5） =0.066914.94F0.995（ 5， 5） =14.94由于F0.005（ 5， 5） <F<F0.995（ 5， 5）接受 H 0即无明显差异。(ii)提出假设： H0： 12H1 :12这种 未知的场合，用统计量t=n1n2 (n1n22)(X Y)n1n2n1S12n2 S22其中 S121 n1( X i X )2S221n2(Yi Y )2n1 i 1n2 i 1在 H 0成立时， t服从自由度为 n1 n2 2的t分布。否定域为：V=tt( n1n22)12此时 P( V H0)=0.01本题中

7、， n15,x20.5%,S1 =0.206%n15,y21.3%,S1 =0.358%代入上式得：t= n1n2 (n1n22)(X Y)n1n2n1S12n2 S2255(552)(20.5%21.3%)555252（）（）0.206%0.358%=-3.8737t(n1n22)t 0.995 (8)3.35541-2Q tt( n1n22)1-2拒绝 H 0 ,即差距显著。3.9 设总体 X : N ( , 4), X1 ,K , X16为样本，考虑如下检验问题：H0:0H 1 :1(i ) 试证下述三个检验（否定域）犯第一类错误的概率同为=0.05V1=2X-1.645V 2 =1.5

8、02X2.125V3 = 2X1.96或 2X1.96(ii) 通过计算他们犯第二类错误的概率，说明哪个检验最好？解：(i )PxV H 00.05即， PUXUU 0.975 0.0512这里H0:0PX2*1.960.05V12 X1.645P2X1.645 P X 01.645( 1.645) 1(1.645)n=1-0.95=0.05V21.502 X 2.125X01.502.120nP V2H 0(2.215)(1.50) 0.980.93 0.05V32X1.96或2 X 1.96X02X 1.961.96nP( V3H 0 )=1-P 2 X 1.96 2(1(1.96) 0.

9、05（ ii ）犯第二类错误的概率=P-V H1V :1=P2X1.64511=PX10.3551(0.355)0.36nV2:21P 1.502X2.1251X1=1-P3.504.125n=1-(4.125)+(3.50)=1V3: 3 P 2X 1.961=P0.04X 13.96n= (3.96)- (0.04) =0.99996092-0.516=0.48396092V出现第二类错误的概率最小，即V最好。113.10 一骰子投掷了 120 次，得到下列结果：点数123456出现次数232621201515问这个骰子是否均匀？ (0.05)解：本题原假设为：H1i=1,2,L ,60

10、: Pi这里 n=120,nPi620本题采用的统计量为Pearson2统计量即，2k(ninpi )2npii1代入数据为：k (ni22（ 15-2022npi ) 2 （ 23-20 ） （ 26-20） L）npi20=4.8i 12（k-1） =2 （ ） =11.07110.95 5由于212 （ k-1） 所以接受 H 0即认为这个是均匀的。3.11 某电话站在一小时内接到电话用户的呼唤次数按每分钟记录的如下表：呼吸次数0123456>=7频数81617106210试问这个分布能看作为泊松分布吗？（=0.05）解：检验问题为：H0 : P(xk)k e参数为k!已知 的最大

11、似然估计X n p 081*16 L6*17*0L260606060PP X020 e 2e 20.135310!P2PX121e 22* e 20.27071!P3PX222 e 22* e 20.27072!P4PX323 e 21.5* e 20.20303!P5PX424 e 22 * e 20.09024!3P6PX525 e 24 * e 20.03615!15P7PX626 e 24* e 20.01206!45P8PX71P X602k(ninpi )2(860*0.1353) 2(1660*0.2707) 2(1 60*0.0120) 2npi60*0.135360*0.27

12、07Li160*0 .0120= 0.6145（下面为 MATLAB 编程计算程序。）由于2（k-1） =2 （ 5）=11.07110.95Q212 （ k-1 ）接受 H 0 ,即分布可以看作为泊松分布。n=60;p=zeros(1,7);p=exp(-2) exp(-2)*2 exp(-2)*2 exp(-2)*1.5 exp(-2)*(2/3) exp(-2)*(4/15) exp(-2)*(8/90); nn=zeros(1,7);nn=8 16 17 10 6 2 1;sum=0;for i=1:7sum=sum+(nn(1,i)-n*p(1,i)2)/(n*p(1,i);ends

13、umsum = 0.61453.13 从一批滚珠中随机抽取了50 个，测得他们的直径为（单位：mm）:15.015.815.215.115.914.714.815.515.615.315.115.315.015.615.714.814.514.214.914.915.215.015.315.615.114.914.214.615.815.215.915.215.014.914.814.515.115.515.515.115.115.015.314.714.515.515.014.714.614.2是否可认为这批滚珠直径服从正态分布？(0.05)解：设 X 为滚球的直径，其分布函数为 F (x)

14、,则检验问题为H0 : F ( x)x)(在 H0成立的条件下，参数， 2的最大似然估计为 =15.078， 20.1833p114.6-15.078(-1.1163)0.1321()0.4282p2(14.815.078)(-1.1163)(-0.6492)(-1.1163)0.12600.4282p3(15.115.078)(-0.6492)(0.0514)(-0.6492)0.26240.4282p4(15.4 15.078)(-0.6492)(0.7520)(0.0514) 0.25350.4282p51p1p2p3 p40.226012- （ k-m-1 ） =0.295（2） =5

15、.991Q22（ k-m-1 ） =5.9911-接受H0,认为滚珠直径服从正态分布。3-13 表i(ai 1, ai )nipinpi(ni npi )2npi1(0,14.6)60.13216.60610.0556214.6,14.850.12606.29760.2674)314.8,15.1130.262413.12090.0011)415.1,15.4140.253512.67520.1385)515.4, )120.226011.30030.04330.5059(利用 MATLAB 编程解决，程序如下 )n=50;nn=zeros(1,5);p=zeros(1,5);x=zeros(

16、1,n);t=zeros(1,5);t=14.6 14.8 15.1 15.4 16.0;x=15.0 15.8 15.2 15.1 15.9 14.7 14.8 15.5 15.6 15.3 15.1 15.3 15.0 15.6 15.7 14.8 14.5 14.2 14.9 14.9 15.2 15.015.3 15.6 15.1 14.9 14.2 14.6 15.8 15.2 15.9 15.2 15.014.9 14.8 14.5 15.1 15.5 15.5 15.1 15.1 15.0 15.3 14.714.5 15.5 15.0 14.7 14.6 14.2;x1=sum

17、(x)/n;x2=0;fori=1:nx2=x2+(x(1,i)-x1)2;endx2=x2/n;x3=sqrt(x2);fori=1:nifx(1,i)<t(1,1)nn(1,1)=nn(1,1)+1;endforj=2:5ifx(1,i)<t(1,j)&x(1,i)>=t(1,j-1)nn(1,j)=nn(1,j)+1;endendendfori=1:4ifi=1p(1,i)=normcdf(t(1,i),x1,x3);elsep(1,i)=normcdf(t(1,i),x1,x3)-normcdf(t(1,i-1),x1,x3);endendp(1,5)=1-s

18、um(p);pearson=zeros(1,5);fori=1:5pearson(1,i)=(nn(1,i)-n*p(1,i)2)/(n*p(1,i);endk=sum(pearson);3.15 下列为某种药治疗感冒效果的3*3 列联表。疗效儿童成年老年年龄显著583832128一般284445117较差2318145510910091300试问疗效与年龄是否有关 (0.05) ？解：设X为年龄X 1儿童X 2成年X 3老年Y为疗效Y1显著Y2一般Y3较差H 0： p ijppji=1,2,3j=1,2,3即X与Y独立i本题选择的统计量为2ni n j2nijn pip j2rsrsnijn

19、rs2nn(nij1)n pi p jni n ji 1 j 1 ni n ji 1 j 1i 1 j 1代入数据得：rs22n(nij1)nin ji 1j 1=300(582382322282442+452+91*128+91*117109*128100*128109*117100*117+ 232 + 182 + 142 -1) 109*55 100*55 91*55= 13.586212-(r1)(s1)02.95 (4)9.488Q212- ( r1)(s1)02.95 (4)拒绝 H 0 ,认为疗效与年龄有关。3.16 自动机床加工轴，从成品中抽取11 根，并测得它们直径（单位：m

20、m）如下： 10.5210.4110.3210.1810.6410.7710.8210.6710.5910.3810.49试检验这批零件的直径是否服从正态分布？(0.05, 用W检验 )解： 为了便于计算，列表如下：这里n=11。表 3-16kX (k)X( n 1 k)X (n 1 k)X( k )ak (W )110.1810.820.640.5601210.3210.770.450.3315310.3810.670.290.2260410.4110.640.230.1429510.4910.590.10.0695610.5210.520H 0 : 总体服从正态分布 H1 : 总体不服从正

21、态分布将观察值按非降次序排列成：X(1)X(2) LX(n)本题采用的统计量为： n22ak (W )X(n+1-k) X(k)k=1W=n( X (k )X )2k111( X ( k)X )20.3821i 1X10.52645ak (W ) X (12 k )X( k) i=1所以W= 0.613020.98340.3821W0.050.85Q WW0.05接受 H 0 ,认为这批零件的直径服从正态分布。3.18 用两种材料的灯丝制造灯泡， 今分别随机抽取若干个进行寿命试验，其结果如下：甲（小时）：1610165016801700175017201800乙（小时）/p>

22、016401700试用秩和检验法检验两种材料制成的灯泡的使用寿命有无显著差异(0.05) ？解：将两组数据按从小到大的次序混合排列如下表所示，其中第一组的数据下边标有横线。设两个总体的分布函数分别为F1( x)与 F2 (x), 它们都是连续函数，但均为未知。我们要检验的原假设为：H0 : F1 ( x)F2 ( x)表 3-18序号123456789101112数据158016001610164016401650168017001700172017501800这里 1700 两组都有，排在第8，第 9 位置上，它的秩取平均数（ 8+9)/2=8.5 这里n1 7n25,T 取T2 ,即T=T

23、212458.520.5从附表 13查得 T (1)T0.05(1)22, T(2)T0.05(2)43Q T<T(1)22,拒绝 H 0 ,认为两种材料制成的灯泡的使用寿命有显著差异。（用 MATLAB 对 12 个数据进行排序，程序见下）n=12;x=zeros(1,n);x=1610 1650 1680 1700 1750 1720 1800 1580 1600 1640 1640 1700;t=0;fori=1:n-1forj=i+1:nifx(1,i)>x(1,j)t=x(1,i);x(1,i)=x(1,j);x(1,j)=t;endendend3.21 对 20 台电子

24、设备进行3000 小时寿命试验，共发生12 次故障，故障时间为34043056092013801520166017702100232023501650试问在显著水平0.10 下，故障事件是否服从指数分布？解：原假设为： H0 : F ( x)F0 ( x;) 1e x, x>0求未知参数 的极大似然估计值1121430L1650)=1416.67X i(34012 i=112X (i)按公式F0 ( X (i ) ; )1 e 1416.67计算 X (i )点的分布函数值，在列表计算di 值。X (i )nF0 (X (i ) ; )F(X )F(X )F 0 ( X ( i ) ;)F n ( X ( i 1)diF( X; )n (i)n (i 1)F n ( X ( i )0( i )i34010.213400.08330.21340.13000.213443010.26180.08330.16670.17850.09510.178556010.32650.16670.25000.15990.07650.159992010.47760.25000.33330.227