第十五讲相交线与平行线

1、第十五讲相交线与平行线考点概述：相交线与平行线内容是研究平面图形的基础性内容， 是历年中考的常规考点， 一般以选择和填空的形式出现。主要包括：线段、射线、直线、角等概念，两直线平行的性质和判定等内容。典型例题：例 1：（ 2020 年辽宁）如图1，直线 l1 l2 ， l 分别与 l1， l 2 相交，如果2 120o ，那么 1的度数是（）A 30oB 45oC 60oD 75ol1l 12l 2例 2：（ 2020 年河南）两条直线相交所成的四个角中，下列说法正确的是（）A一定有一个锐角B一定有一个钝角C 一定有一个直角D一定有一个不是钝角例 3：（ 2020 年资阳）如图，CA BE于

2、A， ADBF于 D，下列说法正确的是（）A 的余角只有BB 的邻补角是DACC ACF是 的余角D 与 ACF互补例 4：（ 2020年河池）一副三角板，如图2 叠放在一起，的度数是度例 5：（ 2020年永州）一个角的补角是这个角的余角的3 倍，则这个角为度例 6：（ 2020年北京）如图，已知 ABC。（ 1）请你在 BC边上分别取两点 D，E（ BC的中点除外），连结 AD， AE，写出使此图中只 存在两对 面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；（ 2）请你根据使（1）成立的相应条件，证明AB+AC>AD+AE。实战演练：1. （ 2020 年南宁）如图，直线a，

3、 b 被直线 c 所截，若 a b ，1 60°，则2°c1 a b22（ 2020 年永州）如图，直线a、 b 被直线 c 所截，若要 a b，需增加条件（填一个即可） 3(2020 年山西 ) 如右图， 直线 a b，直线 AC分别交 a、b 于点 B、C，直线 AD交 a 于点 D。若 1=20 o, 2=65 o , 则 3=。4. （ 2020 年南宁）如图，已知AB， CD 相交于点 O ， OE AB ， EOC28o ，则 AOD度E28oAOBD5. （ 2020 年仙桃）如图是我们生活中经常接触的小刀，刀柄外形是一个直角梯形（下底挖去一小半圆），刀片上、

4、 下是平行的， 转动刀片时会形成 1、 2，则 1+2度 .6. （ 2020 年资阳）如图，于，于，下列说法正确的是（）CA BEAAD BFDA 的余角只有 BB 的邻补角是 DACC ACF是 的余角D 与 ACF互补Ma1P23bN7. （ 2020 年孝感）如图a b ， M ，N 分别在 a，b 上， P 为两平行线间一点，那么123 （）A 180oB 270oC 360oD 540o8. （ 2020 年荆州）将一直角三角板与两边平行的纸条如图13所示放置，下列结论： （ 1） 1 2；（ 2） 3 4；（3） 2+ 4 90°；（ 4） 4+ 5 180°

5、，其中正确524的个数 是（）A.1B.2C.3D.49. （ 2020 年黄冈）下列各图中，1大于2 的是（）10. （ 2020 年杭州）设一个锐角与这个角的补角的差的绝对值为，则（）A.0 °<<90°B. 0°< 90°C.0 °<<90°或 90° <<180° D. 0° < <180°11. （ 2020 年河南）如图，线段 AB 4，点 O是线段 AB上的点，点 C、D是线段 OA、OB的中点，小明很轻松地求得 CD=2他在反

6、思过程中突发奇想：若点 O运动到线段 AB的延长线上或直线 AB外，原有的结论“ CD=2”是仍然成立呢？请帮小明画出图形分析，并说明理由ACODB应用探究：1. （ 2020年连云港）已知AC 为矩形 ABCD 的对角线，则图中1与2 一定不相等的是（）CDC DCDCD2222A1BA1B A1A1B1BABCD2. （ 2020 年十堰）一条公路两次转弯后又回到原来的方向（即ABCD ，如图）如果第一次转弯时的B140°C，那么，应是（）CDA 140°B 40°C 100°D 180°140°AB3.（2020 年烟台）如图，

7、小明从 A 处出发沿北偏东60°向行走至B 处，又沿北偏西20°方向行走至C 处，此时需把方向调整到与出发时一致，则方向的调整应是（）A右转 80°B左传 80°C右转 100°D左传 100°4. （ 2020 年绍兴）学习了平行线后，小敏想出了过己知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图(1) (4)）：从图中可知，小敏画平行线的依据有（）两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行ABCD5. （ 2020 年福州）如图，直线 AC BD，连结

8、 AB，直线 AC、BD及线段 AB把平面分成、四个部分，规定：线上各点不属于任何部分。当动点P 落在某个部分时，连结 PA、PB，构成 PAC、 APB、 PBD三个角。 ( 提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是 0°)(1) 当动点 P落在第部分时，求证：APB PAC PBD；(2) 当动点 P落在第部分时， APB PAC PBD是否成立 ( 直接回答成立或不成立 ) ？(3)当动点P落在第部分时，全面探究、之间的关系，并写出动点PPACAPBPBD的具体位置和相应的结论。选择其中一种结论加以证明。ACACACPBDBDBD(第 5 题图)第十五讲相交线与平行线参考答

9、案典型例题：例 1：C 例 2：D 例 3：D 例 4：105 例 5：45°例 6：解：（ 1）如图 1， BDCEDE ； ABD 和 ACE，ABE 和 ACD .（2）证法一：如图 2，分别过点 D，B 作 CA，EA 的平行线，两线交于 F 点， DF 与 AB交于 G点。所以ACEFDB ，AECFBD 。在 AEC 和 FBD 中，又 CE=BD，可证 AEC FBD 。所以 AC=FD， AE=FB。在 AGD 中， AG+DG>AD，在 BFG 中， BG+FG>FB，所以 AG+DG-AD>0， BG+FG-FB>0。所以 AG+DG+BG

10、+FG-AD-FB>0。即 AB+FD>AD+FB。所以 AB+AC>AD+AE。证法二： 如图 3，分别过点 A，E 作 CB， CA，的平行线，两线交于 F 点， EF 与 AB交于 G点，连结 BF。则四边形EFCA是平行四边形。所以 FE=AC， AF=CE。因为 BD=CE，所以 BD=AF。所以四边形FBDA 是平行四边形。所以 FB=AD。在 AGE 中， AG+EG>AE，在 BFG 中， BG+FG>FB，FAGBDEC图 2FAGBDEC图 3可推得 AG+EG+BG+FG>AE+FB。所以 AB+AC>AD+AE。证法三： 如图

11、4，取 DE的中点 O，连结 AO并延长到F 点，使得FO=AO，连结 EF， CF。在 ADO 和 FEO 中，又AODFOE ， DO=EO。可证 ADO FEO 。所以 AD=FE。因为 BD=CE， DO=EO，所以 BO=CO。同理可证 ABO FCO 。所以 AB=FC。延长 AE交 CF于 G点。在 ACG 中， AC+CG>AE+EG，在 EFG 中， EG+FG>EF。可推得 AC+CG+EG+FG>AE+EG+EF。即 AC+CF>AE+EF。所以 AB+AC>AD+AE。实战演练：1. 60 2.14 或 13 或 12 180o 3.45o

12、4.62 5.90 6.D 7.C 8.D 9.C 10.D11.应用探究：1.D 2.A 3.A 4.D5. （ 1）解法一：如图 9- 1延长 BP交直线 AC于点 E ACBD , PEA= PBD . APB= PAE + PEA, APB= PAC + PBD .解法二：如图 9- 2过点 P 作 FPAC , PAC= APF . ACBD , FPBD . FPB = PBD. APB=APF+FPB=PAC+ .PBD解法三：如图9- 3， ACBD , CAB+ABD= 180° 即 PAC +PAB +PBA +PBD = 180°.又 APB + PBA + PAB=180°, APB = PAC + PBD .（ 2）不成立 .（ 3） ( a) 当动点 P 在射线 BA的右侧时，结论是PBD=PAC+APB .( b) 当动点 P 在射线 BA上，结论是 PBD=PAC+APB .或PAC = PBD+ APB或 APB= 0°，PAC= PBD（任写一个即可）.( c)当动点 P 在射线 BA的左侧时，结论是 PAC= APB+ PBD.选择 ( a)证明：如图 9- 4，连接 PA，连接 PB交 AC于 M ACBD , PMC= PBD .又 PMC=PAM+APM , PBD =PAC +