第四章 圆与方程 单元质量评估(人教A版必修2)

1、第四章圆与方程 单元质量评估（人教A版必修2）(120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下面表示空间直角坐标系的直观图中,正确的个数为()A.1个B.2个C.3个D.4个2.已知圆的方程是(x-2)2+(y-3)2=4,则点P(3,2)满足()A.是圆心B.在圆上C.在圆内D.在圆外3.已知空间两点P1(-1,3,5),P2(2,4,-3),则|P1P2|等于()A.74B.310C.14D.534.圆心为(2,-1)且经过点(-1,3)的圆的标准方程是()A.(x-2)2+(y+1)2=25B.(x+2

2、)2+(y-1)2=25C.(x-2)2+(y+1)2=5D.(x+2)2+(y-1)2=55.直线x-y-4=0与圆x2+y2-2x-2y-2=0的位置关系是()A.相交B.相切C.相交且过圆心D.相离6.(2013·广东高考)垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是()A.x+y-2=0B.x+y+1=0C.x+y-1=0D.x+y+2=07.(2013·黄冈高二检测)若直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my-4=0交于M,N两点,且M,N关于直线x+2y=0对称,则实数k+m=()A.-1B.1C.0D.28.若圆C的半径为1,圆心在第一

3、象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,则该圆的标准方程是()A.(x-2)2+(y-1)2=1B.(x-2)2+(y+1)2=1C.(x+2)2+(y-1)2=1D.(x-3)2+(y-1)2=19.已知A=(x,y)|x2+y2=1,B=(x,y)|(x-5)2+(y-5)2=4,则AB等于()A.B.( 0,0)C.(5,5)D.(0,0),(5,5)10.一条光线从点A(-1,1)出发,经x轴反射到C:(x-2)2+(y-3)2=1上,则光走过的最短路程为()A.1B.2C.3D.411.方程4-x2=lgx的根的个数是()A.0B.1C.2D.无法确定12.过点M(1,2)的直线l

4、与圆C:(x-2)2+y2=9交于A,B两点,C为圆心,当ACB最小时,直线l的方程为()A.x=1B.y=1C.x-y+1=0D.x-2y+3=0二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中的横线上)13.(2013·大同高二检测)已知ABC的三个顶点为A(1,-2,5),B(-1,0,1),C(3,-4,5),则边BC上的中线长为.14.已知圆C:(x-1)2+(y+2)2=4,点P(0,5),则过P作圆C的切线有且只有条.15.(2013·江西高考)若圆C经过坐标原点和点(4,0),且与直线y=1相切,则圆C的方程是.16.(2013

5、3;浙江高考)直线y=2x+3被圆x2+y2-6x-8y=0所截得的弦长等于.三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知隧道的截面是半径为4m的半圆,车辆只能在道路中心线一侧行驶,一辆宽为2.7 m,高为3 m的货车能不能驶入这个隧道?18.(12分)一个长方体的8个顶点坐标分别为(0,0,0),(0,1,0),(3,0,0),(3,1,0),(3,1,9),(3,0,9),(0,0,9),(0,1,9).(1)在空间直角坐标系中画出这个长方体.(2)求这个长方体外接球的球心坐标.(3)求这个长方体外接球的体积.19.(12分)(2

6、013·宁波高二检测)已知圆C的圆心在直线y=x+1上,且过点A(1,3)与直线x+2y-7=0相切.(1)求圆C的方程.(2)设直线l:ax-y-2=0(a>0)与圆C相交于A,B两点,求实数a的取值范围.20.(12分)已知直线l1:x-y-1=0,直线l2:4x+3y+14=0,直线l3:3x+4y+10=0,求圆心在直线l1上,与直线l2相切,截直线l3所得的弦长为6的圆的方程.21.(12分)已知圆C:x2+y2+2x-4y+1=0,O为坐标原点,动点P在圆C外,过P作圆C的切线,设切点为M.(1)若点P运动到(1,3)处,求此时切线l的方程.(2)求满足条件|PM|

7、=|PO|的点P的轨迹方程.22.(12分)(能力挑战题)在平面直角坐标系xOy中,已知圆心在第二象限,半径为22的圆C与直线y=x相切于坐标原点O.(1)求圆C的方程.(2)试探求圆C上是否存在异于原点的点Q,使Q到定点F(4,0)的距离等于线段OF的长.若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.答案解析1.【解析】选C.根据空间直角坐标系的规定可知(1)(2)(4)都正确,(3)中,Oy轴的正向应为负向,所以选C.2.【解析】选C.因为(3-2)2+(2-3)2=2<4,故点P(3,2)在圆内.3.【解析】选A.|P1P2|=(-1-2)2+(3-4)2+(5+3)2=74.4

8、.【解析】选A.因为圆的圆心为(2,-1),半径为r=(2+1)2+(-1-3)2=5,所以圆的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=25.5.【解析】选D.圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4,则圆心到直线的距离d=|1-1-4|2=22>2,所以直线与圆相离.【变式备选】(2013·郑州高一检测)对任意实数k,圆C:(x-3)2+(y-4)2=13与直线l:kx-y-4k+3=0的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.与k取值有关【解析】选A.对任意实数k直线l:kx-y-4k+3=0恒过定点(4,3),而(4-3)2+(3-4)2<13,故定点(4,3)在圆

9、C内部,所以直线与圆相交.6.【解析】选A.由题意知,直线方程可设为x+y-c=0(c>0),则圆心到直线的距离等于半径1,即|0+0-c|12+12=1,c=2,所求方程为x+y-2=0.7.【解析】选B.由题意知MN的中垂线为直线x+2y=0,所以k=2,此时圆方程为x2+y2+2x+my-4=0,所以圆心坐标为(-1,-m2),代入x+2y=0,得m=-1,所以k+m=1.8.【解析】选A.设圆方程为(x-a)2+(y-b)2=1(a>0,b>0),则有|4a-3b|5=b=1,所以a=2,b=1,所以该圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.9.【解析】选A.集

10、合A是圆O:x2+y2=1上所有点组成的集合,集合B是圆C:(x-5)2+(y-5)2=4上所有点组成的集合.又O(0,0),r1=1,C(5,5),r2=2,|OC|=52,所以|OC|>r1+r2=3,所以圆O和圆C外离,无公共点,所以AB=.10.【解析】选D.A(-1,1)关于x轴的对称点B(-1,-1),圆心C(2,3),所以光走过的最短路程为|BC|-1=4.11.【解析】选B.设f(x)=4-x2,g(x)=lgx,则方程根的个数就是f(x)与g(x)两个函数图象交点的个数.如图所示,在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象.由图可得函数f(x)=4-x2与g(x)=lg

11、x仅有1个交点,所以方程仅有1个根.12.【解析】选D.当CMl,即弦长最短时,ACB最小,所以kl·kCM=-1,所以kl=,所以l的方程为:x-2y+3=0.13.【解析】BC的中点为D(1,-2,3),则|AD|=(1-1)2+(-2+2)2+(5-3)2=2.答案:214.【解析】由C(1,-2),r=2,得|PC|=12+(-2-5)2=52>r=2,所以点P在圆C外,所以过P作圆C的切线有且只有2条.答案:215.【解析】设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,因为圆C经过(0,0)和点(4,0),所以a=2,又圆与直线y=1相切,可得1-b=r,故圆的方程为

12、(x-2)2+(y-b)2=(1-b)2,将(0,0)代入解得b=-,r=,所以圆的方程为(x-2)2+y+322=254.答案:(x-2)2+y+322=25416.【解析】由y=2x+3,x2+y2-6x-8y=0,解得x=-1,y=1,或x=3,y=9,所以两交点坐标为(-1,1)和(3,9),所以弦长l=(-1-3)2+(1-9)2=45.答案:4517.【解析】以某一截面半圆的圆心为坐标原点,半圆的直径AB所在的直线为x轴,建立直角坐标系,如图,那么半圆的方程为x2+y2=16 (y0).将x=2.7代入,得y=16-2.72=8.71<3,即在离中心线2.7m处,隧道的高度低

13、于货车的高度.因此,货车不能驶入这个隧道.18.【解析】(1)如图.(2)因为长方体的体对角线长是其外接球的直径,所以球心坐标为(3+02,0+12,0+92),即(,).(3)因为长方体的体对角线长d=32+12+92=91,所以其外接球的半径r=912.所以其外接球的体积V球=r3=(912)3=91691.19.【解析】(1)设圆心坐标为(a,a+1),则由题意得,(a-1)2+(a+1-3)2=|a+2(a+1)-7|1+4,解得:a=0,所以圆心坐标为(0,1),半径r=1+4=5,所以圆C的方程为x2+(y-1)2=5.(2)把直线ax-y-2=0,即y=ax-2代入圆的方程,消去

14、y整理,得(a2+1)x2-6ax+4=0.由于直线ax-y-2=0交圆C于A,B两点,故=36a2-16(a2+1)>0.即5a2-4>0,由于a>0,解得a>255.所以实数a的取值范围是(255,+).20.【解析】设所求圆的圆心为C(a,a-1),半径为r(r>0),则点C到直线l2的距离d1=|4a+3(a-1)+14|5=|7a+11|5.点C到直线l3的距离是d2=|3a+4(a-1)+10|5=|7a+6|5.由题意,得|7a+11|5=r,(|7a+6|5)2+32=r2.解得a=2,r=5,即所求圆的方程是(x-2)2+(y-1)2=25.21

15、.【解题指南】(1)对切线的斜率是否存在分类讨论.(2)设出点P的坐标,代入平面内两点间的距离公式,化简得轨迹方程.【解析】把圆C的方程化为标准方程为(x+1)2+(y-2)2=4,如图所示,所以圆心为C(-1,2),半径r=2.(1)当l的斜率不存在时,此时l的方程为x=1,点C到l的距离d=2=r,满足条件.当l的斜率存在时,设斜率为k,得l的方程为y-3=k(x-1),即kx-y+3-k=0,则|-k-2+3-k|1+k2=2,解得k=-.所以l的方程为y-3=-(x-1),即3x+4y-15=0.综上,满足条件的切线l的方程为x=1或3x+4y-15=0.(2)设P(x,y),则|PM|2=|PC|2-|MC|2=(x+1)2+(y-2)2-4,|PO|2=x2+y2,因为|PM|=|PO|.所以(x+1)2+(y-2)2-4=x2+y2,整理,得2x-4y+1=0,所以点P的