2022届高三数学一轮复习（原卷版）第3讲　高效演练分层突破

1、基础题组练1(2020安徽省六校联考)若正实数 x，y 满足 xy2，则1xy的最小值为()a1b2c3d4解析：选 a因为正实数 x，y 满足 xy2，所以 xy（xy）242241，所以1xy1.2若 2x2y1，则 xy 的取值范围是()a0，2b2，0c2，)d(，2解析：选 d因为 12x2y2 2x2y2 2xy，(当且仅当 2x2y12，即 xy1时等号成立)所以 2xy12，所以 2xy14，得 xy2.3若实数 a，b 满足1a2b ab，则 ab 的最小值为()a 2b2c2 2d4解析：选 c因为1a2b ab，所以 a0，b0，由 ab1a2b21a2b22ab，所以

2、ab2 2(当且仅当 b2a 时取等号)，所以 ab 的最小值为 2 2.4(多选)若 a，br，且 ab0，则下列不等式中，恒成立的是()aab2 abb1a1b1abcbaab2da2b22ab解析：选 cd因为 ab0，所以ba0，ab0，所以baab2baab2，当且仅当 ab 时取等号所以选项 c 正确，又 a，br，所以(ab)20，即 a2b22ab 一定成立5已知 x0，y0，lg 2xlg 8ylg 2，则1x13y的最小值是()a2b2 2c4d2 3解析：选 c因为 lg 2xlg 8ylg 2，所以 lg(2x8y)lg 2，所以 2x3y2，所以 x3y1.因为 x0

3、，y0，所以1x13y(x3y)1x13y 23yxx3y223yxx3y4，当且仅当x3y12时取等号，所以1x13y的最小值为 4.故选 c6设 p(x，y)是函数 y2x(x0)图象上的点，则 xy 的最小值为_解析：因为 x0，所以 y0，且 xy2.由基本不等式得 xy2 xy2 2，当且仅当 xy 时等号成立所以 xy 的最小值为 2 2.答案：2 27函数 yx2x1(x1)的最小值为_解析：因为 yx211x1x11x1x11x12(x1)，所以 y2 120，当且仅当 x0 时，等号成立答案：08 (2020湖南岳阳期末改编)若 a0， b0， 且 a2b40， 则 ab 的

4、最大值为_，1a2b的最小值为_解析：因为 a0，b0，且 a2b40，所以 a2b4，所以 ab12a2b12a2b222，当且仅当 a2b，即 a2，b1 时等号成立，所以 ab 的最大值为 2，因为1a2b1a2b a2b414(52ba2ab)14522ba2ab 94，当且仅当 ab 时等号成立，所以1a2b的最小值为94.答案：2949(1)当 x32时，求函数 yx82x3的最大值；(2)设 0 x2，求函数 y x（42x）的最大值解：(1)y12(2x3)82x33232x2832x 32.当 x0，所以32x2832x232x2832x4，当且仅当32x2832x，即 x1

5、2时取等号于是 y43252，故函数的最大值为52.(2)因为 0 x0，所以 y x（42x） 2 x（2x） 2x2x2 2，当且仅当 x2x，即 x1 时取等号，所以当 x1 时，函数 y x（42x）的最大值为 2.10已知 x0，y0，且 2x8yxy0，求(1)xy 的最小值；(2)xy 的最小值解：(1)由 2x8yxy0，得8x2y1，又 x0，y0，则 18x2y28x2y8xy.得 xy64，当且仅当 x16，y4 时，等号成立所以 xy 的最小值为 64.(2)由 2x8yxy0，得8x2y1，则 xy8x2y (xy)102xy8yx1022xy8yx18.当且仅当 x

6、12，y6 时等号成立，所以 xy 的最小值为 18.综合题组练1 设 a0， 若关于 x 的不等式 xax15 在(1， )上恒成立， 则 a 的最小值为()a16b9c4d2解析：选 c在(1，)上，xax1(x1)ax112（x1）a（x1）12 a1(当且仅当 x1 a时取等号)由题意知 2 a15，所以 a4.2(2020福建龙岩一模)已知 x0，y0，且1x11y12，则 xy 的最小值为()a3b5c7d9解析：选 c因为 x0，y0.且1x11y12，所以 x1y21x11y (x1y)2(11yx1x1y)2(22yx1x1y)8，当且仅当yx1x1y，即 x3，y4 时取等

7、号，所以 xy7，故 xy 的最小值为 7，故选 c3已知正实数 x，y 满足 xy1，则 x2y2的最小值为_；若1x4ya 恒成立，则实数 a 的取值范围是_解析：因为 xy1，所以 xyxy2214，所以 x2y2(xy)22xy114212，所以 x2y2的最小值为12.若 a1x4y恒成立，则 a 小于等于1x4y 的最小值，因为1x4y1x4y (xy)5yx4xy52yx4xy9，所以1x4y的最小值为 9，所以 a9，故实数 a 的取值范围是(，9答案：12(，94(2020洛阳市统考)已知 x0，y0，且1x2y1，则 xyxy 的最小值为_解析： 因为1x2y1， 所以 2

8、xyxy， 所以 xyxy3x2y， 因为 3x2y(3x2y)(1x2y)76xy2yx，且 x0，y0，所以 3x2y74 3，所以 xyxy 的最小值为 74 3.答案：74 35已知 x，y(0，)，x2y2xy.(1)求1x1y的最小值；(2)是否存在 x，y 满足(x1)(y1)5？并说明理由解：(1)因为1x1yxyxyx2y2xy2xyxy2，当且仅当 xy1 时，等号成立，所以1x1y的最小值为 2.(2)不存在理由如下：因为 x2y22xy，所以(xy)22(x2y2)2(xy)又 x，y(0，)，所以 xy2.从而有(x1)(y1)（x1）（y1）224，因此不存在 x，

9、y 满足(x1)(y1)5.6某厂家拟定在 2020 年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用 m(m0)万元满足 x3km1(k 为常数)如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是 1 万件已知 2020 年生产该产品的固定投入为 8 万元，每生产 1 万件该产品需要再投入 16 万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的 1.5 倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)(1)将 2020 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 m 万元的函数；(2)该厂家 2020 年的促销费用投入为多少万元时，厂家获取利润最大？解：(1)由题意知，当 m0 时，x1(万件)，所以 13kk2，所以 x32m1(m0)，每件产品的销售价格为 1.5816xx(元)，所以