高等工程数学

1、第一章 事件与概率客观世界中存在着两类现象，一类是在一定的条件下必然出现的现象，称之为必然现象：另一类是在一定的条件下可能出现也可能不出现的现象，称之为随机现象。§1.1 随机事件和样本空间概念：随机试验（1） 试验可以在相同的条件下重复进行；（重复性）（2） 试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；（可知性）（3） 每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果（唯一性）随机试验的每一个可能结果称为基本事件（或样本点），记为：基本事件的全体，称为样本空间。记为：例1 将一枚硬币抛掷两次，正面， 反面， 其中 H T例2 抛一枚骰子，

2、观察出现的点数 例3 某信息台在一分钟内收到的短信次数 例4 在一批灯泡中，任意抽取一只测试它的寿命 寿命试验:测试在同一工艺条件下生产出的灯泡的寿命。事件：基本事件的集合点数不超过2=1，2；=点数为1，2，3；=点数不小于3=3，4，5，6（注：相对于基本事件而言，包含着不止一个样本点的事件称为复杂事件）如果试验出现了中所包含的某一基本事件，则称发生，且记必然事件： ， 在一次实验中必然会发生的事件不可能事件：， 在一次试验中不可能发生的事件事件间的关系（1）如果事件A发生必然导致B发生，即属于A的每一个样本点一定也属于B，则称事件B包含事件A，或称事件A包含于事件B。记作或 （也称是的子

3、事件显然 （2）如果事件A包含事件B，事件B也包含事件A，则称事件A与B相等。记作 A=B。（3）“事件A与B至少有一个发生”这一事件称作事件A与B的和，记作。 BA （4）“ 事件A与B都发生”这一事件称作事件A与B的积，记为 （5） 差事件：事件发生而事件不发生，记为；（6） 互不相容（互斥）事件：事件与不能同时发生；（7） 逆事件：若是一个事件，令 显然 (8) 若有事件： 至少有一个发生 同时发生事件的表示例5 设是中的随机事件，则思考题: 设A、B、C为任意三个事件,试用它们表示下列事件: (1) A、B出现，C不出现； (2) A、B、C中恰有一个出现； (3) A、B、C中至多有

4、一个出现； (4) A、B、C中至少有一个出现.事件的运算完全等同与集合的运算且满足：1. 交换律 2. 结合律 3. 分配律 4. 德摩根定律 证明：3. 对 且或且反之若 4. 证明：对，不属于中任何一个， 于是成立。反之，若 ， 于是也成立，从而 。Karl Pearson  Karl Pearson（18571936），生卒于伦敦，公认为统计学之父。 K. Pearson 1879年毕业于剑桥大学数学系；曾参与激进的政治活动。出版几本文学作品，并且作了三年的律师实习。1884年进入伦敦大学学院 (University College, London)，教授数学与力学

5、，从此待在该校一直到1933年。 K. Pearson 最重要的学术成就，是为现代统计学打下基础。自从达尔文演化论问世后，关于演化的本质争论不断，在这方面他深受 Galton（达尔文表哥，优生学一词的发明者）与 Weldon 影响。 Weldon 1893年提出所谓变异，遗传与天择事实上只是算术的想法。这促使 K. Pearson 在1893-1912年间写出18篇在演化论上的数学贡献的文章，而这门算术，也就是今日的统计。许多熟悉的统计名词如标准差，成分分析，卡方检定都是他提出的。 K. Pearson、Galton 与 Weldon 为了推广统计在生物上的应用，于1901年创立统计的元老期刊

6、Biometrika， 由 K. Pearson 主编至死，但是 K. Pearson 的主观强，经常对他本人认为有争议的文章， 删改或退稿，并因此与英国本世纪最有才华的统计学家 Fisher 结下梁子。 1906年 Weldon 死后，K. Pearson 不再注意生物问题，而专心致志于将统计发展成一门精确的科学。§1.2 概率和频率 频率： 在相同的条件下进行次试验，在次试验中，事件发生的次数称为事件发生的频数，比值称为事件发生的频率，记为。由定义：频率具有以下性质：1. 非负性2. 规范性3. 若 互不相容 可加性可以推广为有限可加性，即：对有限个两两互不相容的事件，则 注：

7、可以用实验验证： 若 则例1 抛硬币（历史上）实验者抛硬币次数正面出现次数正面出现的频率Buffon404020480.5069De Morgan409220480.5005Feller1000049790.4979Pearson1200060190.5016Pearson24000120120.5005Lomanovskii80640396990.4923频律的稳定值 0.5定义1. 随机事件发生的可能性大小，称为发生的概率，记作 （频率的稳定值）频率的本质就是概率，因此，频率所具有的性质概率也具备1. 非负性2. 规范性3.有限可加性对有限个两两互不相容的事件，有 §1.3 古典

8、概型设为试验E的样本空间，若 （有限性）只含有限个样本点; （等概性）每个基本事件出现的可能性相等; 则称E为古典概型。对古典概型：有其中包含个样本点，例 轮盘赌 例1， 将一颗骰子接连掷两次，试求下列事件的概率：（1）两次掷得的点数之和为8；（2）第二次掷得3点.解：设 表示“点数之和为8”事件，表示“第二次掷得3点”事件 则 所以 ，例2， 一口袋装有6只球，其中4只白球，2只红球。从口袋中取球两次，每次随机地取一只，考虑两种取球方式(a) 第一次取球后观察其颜色后放回口袋； （b）第一次取球后观察其颜色后不放回口袋，第二次从剩余的球中在取一球。 问 （i）取到的两只球都是白球的概率； （

9、ii）取到的两只球是同色球的概率； （iii）取到的两只球中至少有一只是白球的概率。解： 设分别表示“取到的两只球都是白球”，“取到的两只球都是红球”，“取到的两只球至少有一只是白球”(a) 有放回抽样样本空间中基本事件总数 （种）中基本事件数 中基本事件数 中基本事件数 所以或者 （法2）（b）例3 （分房问题）设有个人，每个人都等可能地被分配到个房间中的任意一间去住（），求下列事件的概率：（1） 指定的个房间各有一个人住；（2） 恰好有个房间，其中各住一人。解：（1）每一个人有个房间可供选择，故共有种方式，它们是等可能的，指定的个房间各有一人住共有种可能，于是。（2）个房间可以在个房间中选

10、择，其总数为 对选定的个房间共有种入住法，所以 （法2） 例4 （生日问题）某班级有个人（），问至少有两人的生日在同一天的概率为多大？解：视365 天为365 个房间，设=个人中至少有两人生日相同 则=个人的生日全不相同 所以例5 从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？解：设表示“4只中至少有两只配成一双”从5双不同的鞋子中任取4只共有种不同的取法，4只中没有两只能配成一双的共有种不同的取法，所以 至少有两只配成一双的概率为 （法2）4只中恰好有两只配成一双共有种， 4只恰好配成两双共有种故4只中至少有两只配成一双的概率为 §1.4 概率的公理化定义

11、及概率的性质几何概型(等可能概型的推广)如果随机试验中基本事件发生的可能性大小一样，我们仍按照古典概型的方法求事件发生的概率。例如： 一砣螺 海域钻探山地山地挖宝例1 （会面问题）甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概率？解：以分别表示甲、乙两人到达的时间，两人能会面的充要条件是 例2 浦丰投针问题：平面上画有等距离的平行线，平行线间的距离为，向平面任意投掷一枚长为的针，试求针与平行线相交的概率。公元1777年的一天，法国科学家D·布丰（D·buffon17071788）的家里宾客满堂，原来他们是应主人的邀请

12、前来观看一次奇特试验的。试验开始，但见年已古稀的布丰先生兴致勃勃地拿出一张纸来，纸上预先画好了一条条等距离的平行线。接着他又抓出一大把原先准备好的小针，这些小针的长度都是平行线间距离的一半。然后布丰先生宣布：“请诸位把这些小针一根一根往纸上扔吧！不过，请大家务必把扔下的针是否与纸上的平行线相交告诉我。”客人们不知布丰先生要干什么，只好客随主便，一个个加入了试验的行列。一把小针扔完了，把它捡起来又扔。而布丰先生本人则不停地在一旁数着、记着，如此这般地忙碌了将近一个钟头。最后，布丰先生高声宣布：“先生们，我这里记录了诸位刚才的投针结果，共投针2212次，其中与平行线相交的有704次。总数2212与

13、相交数704的比值为3.142。”说到这里，布丰先生故意停了停，并对大家报以神秘的一笑，接着有意提高声调说：“先生们，这就是圆周率的近似值！” 众宾哗然，一时议论纷纷，个个感到莫名其妙；“圆周率？这可是与圆半点也不沾边的呀！”解：以 表示针的中点与最近一条平行线间的距离， 表示针与平行线的夹角。 易知： 在平面上确定了一个矩形针与平行线相交，其充要条件为 由这个不等式可表示投针次，相交次， (蒙特卡洛法)下证概率具有可列可加性单位正方形，则 若 可化为两两互不相交的小区域， 每个小区域的面积为 由于总面积 再把它理解为概率就是这就说明概率具有可列可加性。集合类 布尔代数，i ii 若，则

14、63;， iii 若£， 则£代数i ii 若，则£，iii 若£， 则£事件域是布尔代数，也是代数通常代数上有定义、非负、可列可加的集函数称为测度。 所以，概率是定义在事件域上的一个测度。随机试验的模型1. 样本空间2. 事件域 £（代数）3.概率称（ ，£，）为概率空间。定义1.2 概率是定义在代数£上的一个非负、规范、可列可加的集函数。即：1. 非负性2. 规范性3.可列可加性对可列个两两互不相容的事件，有 概率的性质（1） 不可能事件的概率为0， 即证明：， 所以 由定义1.2的3.(2) 概率具有有限可加

15、性， 即：若，则证明： 由于由可列可加性及即得： （3） 对任一事件，证明： 所以（4） 若，则 证明：因为且 所以系： 若，则（5） 对任意两个事件 有证明： 且系：推论：若是任意个随机事件，则有 概率的一般加法公式。§1.5 条件概率，全概率公式和贝叶斯公式 在实际问题中，往往会遇到求：在事件B已经出现的条件下，事件A发生的概率，记作P(A|B).由于附加了条件，P(A)与 P(A|B)意义不同，一般 P(A|B) P(A) 先看一个例子例1 引例：掷一颗均匀骰子，A=掷出2点，B=掷出偶数点，P(A|B)=？解：掷一颗均匀骰子可能的结果有6种，且它们的出现是等可能的。P(A)=

16、1/6由于已知事件B已经发生，所以时试验所有可能结果只有3种， 掷骰子而事件A包含的基本事件只占其中一种，故有P(A|B)= 1/3上例中 P(A|B) P(A) 它们不相等的原因在于“事件B已发生”这个新条件改变了样本空间. 如果B发生，那么使得A发生当且仅当样本点属于AB，因此P(A|B)应为P(AB)在P(B)中的“比重”这就好象给了我们一个“情报”，使我们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题.注：在上例中 恰有定义：若（ ，£，）是一个概率空间，£，且，则对任意的£，称为在已知事件发生的条件下，事件发生的条件概率。课堂练习： 已知某长寿村的人能活100岁的概

17、率为0.5，活80岁的概率为0.7，若已知某人今年82岁，问此人能活到100岁的概率是多少？思考：条件概率与无条件概率之间的大小关系如何？由条件概率公式易得： （乘法公式）条件概率的性质： 条件概率1. 非负性2. 规范性3.可列可加性对可列个两两互不相容的事件，有 此外，概率的运算性质均适用于条件概率。例2：从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽 出2张 , 将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞 , 求2 张都是假钞的概率.解: 令 A 表示抽到2 张都是假钞，B表示2 张中至少有1张假钞。 则 所求概率是，所以人们在计算某一较复杂的事件的概率时，有时根据事件在不同情况或不同原因或不同途径下

18、发生而将它分解成两个或若干互不相容的部分的并，分别计算概率，然后求和.全概率公式是概率论中的一个基本公式，它使一个复杂事件的概率计算问题化繁就简，得以解决. 定理1.2 设是一列互不相容的事件，且有 则对任一事件有（全概率公式）证明：显然 例3 设有分别来自三个地区的10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份. 随机地取一个地区的报名表， 求抽出一份是女生表的概率.解：Ai = 报名表是第i区 i1, 2, B= 抽到的报名表是女生表第二地区第三地区 103第一地区 715 255在第二地区的表格中抽得女生表格的概率P(B|A2)=7/15由全概率公式在第三地区

19、的表格中抽得女生表格的概率P(B|A3)5/25在第一地区的表格中抽得女生表格的概率P(B|A1)=3/10 P(B)= P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B |A3) Bayes公式贝叶斯   贝叶斯(1702-1763) Thomas Bayes，英国数学家。1702年出生于伦敦，做过神甫。1742年成为英国皇家学会会员。1763年4月7日逝世。贝叶斯在数学方面主要研究概率论。他首先将归纳推理法用于概率论基础理论，并创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断、统计的估算等做出了贡献。1763年发表了这方面的论著，对于现代概率论

20、和数理统计都有很重要的作用。贝叶斯的另一著作机会的学说概论发表于1758年。贝叶斯所采用的许多术语被沿用至今。 定理1.3 若为一列互不相容的事件，且则对任一事件证明：例4 又若抽到的产品为次品，问是由甲厂生产的概率是多大？解： 由贝叶斯公式：§1.6 独立性定义1.5 对任意两个事件，若成立，则称事件相互独立。注意:从直观上讲,A与B独立就是其中任何一个事件出现的概率不受另一个事件出现与否的影响.推论1: A.B为两个事件,若P(A)>0, 则A与B独立等价于P(B|A)=P(B). 若P(B)>0, 则A与B独立等价于P(A|B)=P(A).容易验证（1） 若相互独立

21、，则，也相互独立。证明： 同理可证其他。定义1.6 设是三事件，如果具有等式 则称两两独立。若两两独立，且则称相互独立。注意： 相互独立两两独立，反之未必。见下例设有四张卡片，分别标有数字1，2，3，4. 今任取一张，设事件为取到1或2，事件为取到1或3，事件为取到1或4，则 所以 容易验证 两两相互独立，但 推广：一般地， 设是个事件，如果对于任意，任意，具有等式 则称是个相互独立的事件。在实际应用中，对事件的独立性是根据实际意义来判断的。系统的可靠性问题一个元件(或系统)能正常工作的概率称为元件(或系统)的可靠性.系统由元件组成,常见的元件连接方式串联 21并联 12设两系统都是由 4 个元件组成,每个元件正常工作的概率为 p , 每个元件是否正常工作相互独立.两系统的连接方式如下图所示，比较两系统的可靠性 S1: A1A2B2B1 S2: A1A2B