中考几何证明经典题型解读

1、答案：BG = DE ;BG 丄 DE;中得到的结论仍然成立BG 丄 DE 成立;BGDE几何证明经典题型（提高）1.如图 10-1，四边形 ABCD 是正方形，G 是 CD 边上的一个动点（点 G 与 C D 不重合），以 CG 为一边在正方形 ABCD 外作正方形 CEFG 连结 BG DE 我们探究下列图中线段 BG 线段 DE 的长度关系及所在直线的位置关系：（1 请直接写出图 10-1 中线段 BG 线段 DE 的数量关系及所在直线的位置关系；将图 10-1 中的正方形 CEFG 绕着点 C 按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度-， 得到如图 10-2、如图 10-3 情形请你通过观

2、察、测量等方法判断中得到的结论 是否仍然成立，并选取图 10-2 证明你的判断.（2）将原题中正方形改为矩形（如图 10-410-6 ）,且AB = a, BC = b,CE = ka, CG = kb中得到的结论哪个成立，哪个不成立？并写出你的判断,1(3)在图 10-5 中，连结DG、BE,且a = 4,b = 2, k，则 BE2DG2=2T四边ABCD和四边形 EFGC别是正方形，(a =b,k - 0)，试判断(1)(S 10-4)FCG= CE.BC = CD.ECGZBCD = 90“UG+ZDCG = ZBCD + ZDCGQ即 ZDCE = A BCG:.KBCG = ADC

3、E:.DE = BG:.GED 二 BGC-ZCQE=ZDQGZCQ-l-= 90:.+ =:.Z.GOE = 90DR丄BG. BE2+DG2=252如图 1 , ABC 中，/ ACB = 90 , AC = BC, BD 是中线，CE 丄 BD 于点 E,交 AB 于点 F。求证：/ ADF=ZCDE。简证：过点 A 作 AG 丄 AC 交 CF 的延长线于点 G。因为Zl=90/3=/2,AC=BC,所以Rt CAG 也Rt BCD (ASA )。 所以 AG=CD=AD，/G=ZCDE。因为Z4=45 =Z5,AF=AF, 所以 ADFAGF ( SAS)。所以/ ADF=ZG=ZC

4、DE。13如图，四边形 ABCD 中，AC 平分/ BAD , CE 丄 AB 于点 E, AE = - (AD + AB )。2求证：/ ADC +ZABC = 180。简证：过点 C 作 CF 丄 AD 交 AD 的延长线于点 F。因为Z2=Z3,AC=AC ,所以Rt ACF 也Rt ACE (AAS )。 所以 CF = CE , AF = AE。因为 AD + AB =2AE , AB = AE + EB, 所以 EB = AE AD。因为 FD = AF AD ,所以 EB = FD。所以Rt CEB 也Rt CFD (SAS )。所以/ ABC=Z5。所以/ ADC+ZABC=Z

5、ADC+Z5=180。23解：(1)AB + AD = AC .-1 分4.已知： MAN , AC 平分 MAN .在图 1 中，若.MAN = 120 . ABC = . ADC = 90,AB + AD_ AC .(填写 ”，V”，= ”)在图 2 中，若 NMAN = 120 NABC +NADC = 180则中的结论是否仍然成 立？若成立，在图 3 中：1若.MAN说明理由；2若.MAN(用含请给出证=60, ZABC + ZADC = 180,判断 AB + AD 与 AC 的数量关系，并a(0V aV180),厶ABC +ZADC=180, a的三角函数表示，直接写出结果，不必证

6、明)贝 V AB + AD =AC图 1图 2图 3(2)仍然成立.证明：如图 2 过 C 作 CE 丄 AM 于 E, CF 丄 AN 于 F, 则/ CEA= /CFA=90 ./ AC 平分/ MAN，/ MAN=120 , /MAC=/NAC=60.又 AC=AC , AECAFC , AE=AF, CE=CF./ 在 Rt CEA 中，/ EAC=60 , / ECA=30 , AC=2AE . AE+AF=2AE=AC . ED+DA+AF=AC ./ZABC+ZADC=180 ZCDE+ZADC=180,ZCDE=ZCBF.又 CE=CF, ZCED=ZCFB, CEDCFB.

7、ED=FB , FB+DA+AF=AC . AB+AD=ACAB+AD=3AC .证明：如图 3，方法同(2)可证 AGC AHC .AG=AH.vZMAN=60,/GAC=ZHAC=30. AG=AH=3AC . AG+AH=3AC .2 GD+DA+AH= . 3AC .方法同可证 GDCHBC . GD=HB , HB+DA+AH= . 3 AC . AD+AB= . 3AC ._ctAB+AD=2 cosC.25.如图所示，四边形 OABC 是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O 与坐标原点重合，点 A 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上，OC=4 ,点 E 为 BC 的中点，点

8、 N 的坐标为(3, 0), 过点 N 且平行于 y 轴的直线 MN 与 EB 交于点 M ,现将纸片折叠，使顶点 C 落在 MN 上， 并与 MN 上的点 G 重合，折痕为 EF，点 F 为折痕与 y 轴的交点。图 2图 3(1)求点 G 的坐标；(2)求折痕 EF 所在直线的解析式;(3)设点 P 为直线 EF 上的点，是否存在这样的点 P,使得以 P、F、G 为顶点的三角 形为等腰三角形，若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。答案：(1)v四边形 ABCO 是正方形/ BC=OA=4 E 为 CB 中点， EB=2/ MN/y 轴，N (3, 0) MN 丄 EB，且 M

9、B=NA=1 EM=1EG = EC=2, sinZEGM =-而二_一 / EGM=30 , MG=EG cos30 =； G(3, 9= J：)(2)vZEGM=30 / MEG= / FEG= / CEF=60 CF=CE tan60 - . F0=：- / F (0,：-)，E (2, 4)设直线EF的解析式为:r.mIk 十 b = 4L.折痕 EF 所在直线解析式为.- -.JflGB如图所示，I；匚r 16.如图，在梯形 ABCD 中，AD / BC,/ B=90, AD=AB=2，点 E 是 AB边上一动点（点 E不与点 A、B 重合），连结 ED，过 ED 的中点 F 作 E

10、D 的垂线，交过点 K 作 KM 丄 AD 于 M .（1）当 E 为 AB 中点时，求的值；DG卄AE 1DM砧/古冷若，则的值等于；AB 3DGAE 1（3）若（n为正整数），AB n则 理 的值等于（用含n的式子表示）.DG答案：（1）连接 GE./ KM1 AD, KG 是 DE 的垂直平分线 / KMG/ DFG=90 / GKM/GDF/ MK=AB=AD/ KMG/ DAE=90KMQ DAE MG = AE/ E 是 AB 中点，且 AB=AD=2 AE=MG=1/ KG 是 DE 的垂直平分线 GE=GD设 GE=GD=x则 AG=2-x在 Rt AEG 中, / EAG=9

11、0 , 由勾股定理得(2-x )1 2 3+12=x21设 AP 的长为 x,APCQ 的面积为 S,求出 S 关于 x 的函数关系式；2当 AP 的长为何值时，5.L?3 作 PE 丄 AC 于 E,当点 P、Q 运动时，线段 DE 的长度是否改变？证明你的结论。 答案：（1）当点 P 在线段 AB 上时，如图（1）所示51DM12x= DM=GD-GM=(2)44DG55(3)(n-1)2C7.如图所示，等腰 Rt ABC 的直角边 AB=2，点 P、Q 分别从 A、C 两点同时出发，以相同/ec-rA P IUCQ= RB/ AP=CQ=x , PB=2 x.订.：. ：. i 二5 =

12、+x(0 x DCF是等腰直角三角形，AG =7 2,CD =5根据勾股定理得：AF =FG =7,FD = 5 2AC = BC = 2BD =3BH _ FG，BH /CF，BHF =90FG / BC四边形CFHB是矩形BH =5, FH = 2,FG / BC-NG =45。HG =BH -5 ,BG =5、2PK _ AG , PG = 2PK=KG：2BK =5.2 - 2 = 4.2.PBQ = 45 , . HGB 二 45二 NGBH =451-2PK _ AG , BH _ FG.BHQ =/BKP =90BQHs.：BPKPK BKQH - BHQHFQ =FG / BC

13、二 ND =NMFQ ,NDBM =NFQM二占 FQM sb DBMDM =4.2BDNsPFND = MFQ, DNB FNPDN BDFN PFDN15 .2MN =4 亠 1 亿2813.已知：如图 1, ABC中，分别以AB、AC为一边向厶ABC外作正方形ABGE和ACHF，直线AN _ BC于N，若EP _ AN于P,FQ _ AN于Q.判断线段EP、FQ的数量关系，并证明；(2)如图 2,梯形ABCD中，AD/BC,分别以两腰AB、CD为一边向梯形ABCD外作正方形ABGE和DCHF,线段AD的垂直平分线交线段AD于点M，交BC于点N，若EP _MN于P，FQ _ MN于Q. (

14、1)中结论还成立吗？请说明理由 .答案：（1）线段EP、FQ的数量关系为相等./EP _ AN，AN _ BC， . P =/ANB =90，. 1. 3=90 .又四边形ABGE是正方形， .EAB =90，AE =AB，. 1. 2 = 90. 3 2.：EPA ANB.EP = AN.同理可证FQ= A N.EP =FQ.(2)过点A作JK丄AD交EP于J,交BC于K,过点D作RT丄AD交FQ于R,交BC于T. PN丄AD于M，JK/PN./AD/BC,四边形AKNM为平行四边形.AK二MN.图 2P同理可得DT = MN. AK DT.又EP _ MN,JK/PN,AD/BC,JK _

15、 EP,JK _ BC,同(1)的证明可得EJ二AK , FR = DT. EJ =FR.由平行四边形JAMP和QMDR可知JP=AM , QR=MD.又；AM二MD,JP =QR.EJ JP =QR RFEP = FQ. DEF与厶ADG都是等腰直角三角形，/ DEF = / DGA = 45./ CEF = / FGH = 135. CEFFGH . CF = FH .(2) FH 与 FC 仍然相等.14 如图，正方形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 M，正方形 MNPQ 与正方形 ABCD全等，射线 MN 与 MQ 不过 A、B、C、D 四点且分别交 ABCD 的边于 E

16、、F 两点.(1) 求证：ME=MF ;(2)若将原题中的正方形改为矩形，且BC =2AB=4，其他条件不变，探索线段 ME 与线段 MF 的数量关系.答案:过点 M 作 MG 丄 BC 于点 G ,MH 丄 CD 于点 H./ MGE= / MHF=90./ M 为正方形对角线 AC、BD 的交点， MG=MH .N又/ 1+ / GMQ= / 2+ / GMQ=90,/仁/2.在MGE 和厶MHF 中广/仁/ 2, MG=MH ,-/ MGE= / MHF .MGEMHF . ME=MF.(2)解：当 MN 交 BC 于点 E, MQ 交 CD 于点 F 时.过点 M 作 MG 丄 BC

17、于点 G, MH 丄 CD 于点 H. / MGE= / MHF=90. M 为矩形对角线 AC、BD 的交点, /1 +ZGMQ=/2+/GMQ=90. MGEMHF .ME MGMF - MH./ M 为矩形对角线 AB、AC 的交点， MB=MD=MC又 MG 丄 BC , MH 丄 CD，点 G、H 分别是 BC、DC 的中点. BC =2AB =4 ,11MG = AB MH = BC.22在MGE 和厶MHF 中,7仁/ 2I ,7MGE=7MHFM2HFCNE- GME_1MF 2.2当 MN 的延长线交 AB 于点 E, MQ 交 BC 于点 F 时.过点 M 作 MGLAB

18、于点 G, MH 丄 BC 于点 H.EGF H/ MGE= / MHF=90. M 为矩形对角线 AC、BD 的交点, / 1 + Z GMQ= / 2+ / GMQ=90.在MGE 和厶MHF 中,ME MGMF -MH./ M 为矩形对角线 AC、BD 的交点， MB=MA=MC .又 MG 丄 AB , MH 丄 BC ,点 G、H 分别是 AB、1 1/ BC =2AB =4 , MG =丄 BC MH =丄 AB . 2 2ME=2 MF 3当 MN、MQ 两边都交边 BC 于 E、F 时.过点 M 作 MH 丄 BC 于点 H./ MHE= / MHF =Z NMQ90./ 仁/3，/ 2= / 4. MEH FEM , FMH FEM .ME MH FMMHFEFM，FEEM. M 为正方形对角线 AC、BD 的交点，点 M 为 AC 的中点.又 MH 丄 BC ,点 M H 分别是 AC BC 的中点./ BC =2AB=4, AB=2 . MH=1 .1FMFM1EMEMMEMH EF ?EFMFMH EFEFME7MF7FMEM2EF=1 .NBC 的中点.4当 MN 交 BC 边于 E 点，MQ 交 AD 于点 F 时.延长 FM 交 BC 于点 G.易证MFD 也MGB. MF=MG.1同理