复变函数积分变换模拟试卷及答案

1、习题一一、填空题（每空3分，共30分）1. 则 ， 2. 写出的全部值 3. 4. ， 5.沿圆周的正向积分 6. 级数的收敛半径 7. 的泰勒展开式是 函数的拉普拉斯变换为 二、选择题（每题3分，共15分） 1.方程所表示的曲线是 （ ）（A）椭圆 （B）直线 （C）直线 （D）圆周 2. 已知，则（ ）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 3. 为的( )（A）一级极点 （B）二级极点 （C）三级极点 （D）四级极点4. 设=L，则L的值是（ ）（A） （B） （C） （D）5. =F，=F，下列关于Fourier变换的卷积公式说法错误的是（ ）（A） （B）F （C）F （D）F三1.

2、（本题5分）其中为正向.2（本题5分）利用留数计算为正向圆周：3. （本题5分）计算.四假设1. （本题8分）假设为解析函数，试确定的值.2.（本题8分）将函数展开成的幂级数,并指出它的收敛半径.3.（本题8分）将函数分别在内展成洛朗级数.4. （本题8分）函数有哪些奇点？如果是极点，指出它是几级极点。5.利用留数的方法求的laplace逆变换。习题二一填空1则 ；2方程所表示的曲线是 ；3= ；4.设，则= ；5为的 级极点；6已知 ，求= ；7的泰勒展开式是 ；8设为单位脉冲函数，则 ；9级数是 （收敛或发散）；阿10. 若L ，则L 的值是 ；二选择复数方程表示的曲线是 （）A、直线 B

3、、圆周 C、椭圆 D、双曲线2在复变函数中，下列等式中不正确的是 （ ）（A） （B）（C） （D） 3设=F，则F的值是（ ）（A） （B） （C） （D）4为的( )（A）一级极点 （B）二级极点 （C）可去奇点 （D）本性奇点5设，其中、为实数列，若级数 绝对收敛，下列说法中不正确的是 （ ）（A） （B）、同时收敛（C）收敛，条件收敛 （D）收敛三1（本题5分）计算积分。 2 求为圆周：。 3. 求幂级数的收敛半径四1.判断函数的解析性。2.将函数展开成的幂级数，并指出它的收敛半径3. 计算。4. 利用Fourier变换求积分方程的解,其中5. 利用拉氏变换求解常微分方程初值问题：。习

4、题三一 填空1arg()= ； ；2 ；3积分= ，其中取正方向； 4= ；5 ；6 ；7级数的敛散性为： ；（收敛或发散）8_ _；是函数的_ _级极点。二选择复数方程表示的曲线是 （）（A）直线 （B）射线 （C）椭圆 （D）圆周2在复变函数中，下列等式中不正确的是 （ ）（A） （B）（C）（D）3.为的 （ ）（A）一级极点 （B）解析点 （C）可去奇点 （D）本性奇点4的解析性为 （ ）（A）复平面上处处解析 （B）仅在点处解析（C）复平面上处处不解析 （D）复平面上处处可导5 （ ）（A）0 （B）1（C） （D）三1.已知=F，求F。2. 求为圆周：。3. 计算幂级数的收敛半径四

5、1.设f(z)=my3+nx2y+i(x3-3xy2)为解析函数，试确定m、n的值。2.将函数在处展开为泰勒级数3. 函数有哪些奇点？如果是极点，指出它是几级极点。4. 求函数在孤立奇点处的留数。5.求方程满足初始条件的解2007年复变函数与积分变换试卷一、 填空题（本小题共5小题，每小题3分，满分15分）（1）已知函数是解析函数，则 ， ， .（2）设的Taylor级数为，则该级数的收敛半径为 .（3）已知，则 . （4）计算 .（5）设则 .二、选择题（本小题共5小题，每小题3分，满分15分）（1）下列说法正确的是（ ）（A）若在区域内可导，则在区域内解析。（B）若在点解析，则在区域内可导

6、。（C）若在点连续，则在点可导。（D）若在点可导，则在点解析。（2）将平面上的曲线映射成平面上的图形为（ ）（A）。 （B）。 （C）。 （D）。（3）设为正向圆周，则积分（ ）（A） （B） （C） （D）（4）级数（ ）（A）敛散性不定。 （B）发散。 （C）条件收敛。 （D）绝对收敛。（5）是函数的（ ）（A）非孤立奇点。 （B）可去奇点。 （C）一级极点。 （D）本性奇点。三、（超出范围）（12分）验证在右半平面内是调和函数，并求以此为虚部的解析函数，且使.四、计算下列各题（本小题共6小题，每小题5分，满分30分）（1）； （2），其中，取正向；（3），其中，取正向；（4），其中，取正

7、向；（5），其中，取正向；（6）。五、（12分）将函数分别在下列圆环域内展开成洛朗级数：（1）； （2）； （3）六、（12分）用积分变换解微分方程，.七、（超出范围）（4分）设在上解析，且，证明 .2008年复变函数与积分变换试卷一、 填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分。）（1）的主值是 。（2）已知为解析函数，则= ， ，= 。（3）如果的Taylor级数为，则该级数的收敛半径为 。（4）设，则Res 。（5）设 则 。二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分。）（1）若，则（ ）（A）。 （B）（为任意整数）。（C）。 （D）（为任意整数）。（2）设曲线为单位圆，取正向

8、，则积分（ ）（A）0 （B）。 （C）。 （D）。（3）如果级数在点处收敛，则该级数必在（ ）（A）点处绝对收敛。 （B）点处条件收敛。（C）点处收敛。 （D）点处发散。（4）将平面上的曲线映射成平面上的曲线（ ）（A）。 （B） 。 （C）。 （D）。（5）是函数的（ ）（A）本性奇点。 （B）可去奇点。 （C）一级极点。 （D）二级极点三、（10分）已知调和函数，求调和函数，使成为解析函数，并满足。四、（25分）计算下列积分：（1），其中是从到的直线段；（2），正向（3），正向（4）；（5）。五、（15分）将函数分别在下列圆环域内展开成Laurent级数。（1）； （2）； （3）。六、

9、（5分）已知函数（），求的Fourier变换。七、（10分）应用Laplace变换解微分方程：八、（5分）如果是区域内的解析函数，那么在内是否一定也是解析函数？为什么？专业：电学类各专业课程名称：复变函数与积分变换学分：3试卷编号(A)课程编号：4110731考试方式：闭 卷考试时间：100分钟拟卷人(签字)：拟卷日期：2009.05.25审核人(签字)：得分统计表：得 分一选择、填空题：（共45分，每题3分）1arg()= ; ；2若C取正向, 在复平面上解析，则 ； 3在圆域内的泰勒级数为 ；4 (化简到基本复数形式) ；5 _ _；是函数的_级零点；6 _ _； ；7若 的收敛半径R=

10、；8由将平面上的曲线映射成平面的曲线轨迹是 （ ） （A）直线 （B）圆 （C）射线 （D）角形区域9在复变函数中，下列等式中不正确的是 （ ）（A） （B）（C） （D） 10关于的值，下列说法中最准确的说法是 （ ） （A）可能与C的积分路径有关 （B）有时与C的积分路径有关，有时无关（C）始终与C的积分路径无关，只与C的起点和终点有关 （D）不仅与C的积分路径有关，且与C的起点和终点有关11的解析性为 （ ）（A）复平面上处处解析 （B）复平面上有时解析，有时不解析（C）复平面上处处不解析 （D）复平面有时可导，有时不可导12拉氏变换下的卷积为 （ ）（A） （B） （C） （D） 得

11、分二、解答题（共15分，每题5分）1、（本题5分）若F ，试计算的傅氏变换。2、（本题5分）求，其中C为正向。3、（本题5分）设为区域D上的解析函数，试证明：当在D上也解析时，为常数。得 分三、解答题（40分，每题10分）1、 （本题共10分）将在内展开成洛朗级数2、（本题共10分）利用拉氏变换的性质求积分3、（本题共10分）利用留数计算广义积分4、（本题共10分）求的拉氏逆变换专业：电学类各专业课程名称：复变函数与积分变换学分：3试卷编号(B)课程编号：4110731考试方式：闭 卷考试时间：100分钟拟卷人(签字)：拟卷日期：2009.06.05审核人(签字)：一、客观题填空题（每空3分，

12、共30分）1则 ， 2写出的全部值 3. ， .4.沿圆周的正向积分 级数的收敛半径 .的泰勒展开式是 . 函数的拉普拉斯变换为 选择题（每题3分，共15分）将化为三角形式，正确的是 （ ）（A）（B）（C） （D）2. 方程所表示的曲线是 （ ）（A）扇形 （B）直线 （C）直线 （D）圆周 3的解析性为 ( )（A）复平面上处处解析 （B）仅在直线上解析（C）复平面上处处不解析 （D）复平面上处处可导4关于幂级数，下列说法中正确的是 ( )（A）在内收敛 （B）在内收敛，在有时收敛，有时发散（C）在内发散 （D）在内收敛，但在发散5. 设F ,F ,下列关于Fourier变换的卷积公式说法

13、错误的是 ( )（A） （B） F 得 分（C）F （D）F 二、计算下列积分（3小题，共15分）1（本题5分）其中为正向.2（本题5分）利用留数计算为正向圆周：.3. （本题5分）计算.得 分三、计算题（5小题，共40分） 1. （本题8分）设为解析函数，试确定的值.2. （本题8分）将函数展开成的幂级数,并指出它的收敛半径. 3.（本题8分）将函数分别在内展成洛朗级数.4. （本题8分）函数有哪些奇点？如果是极点，指出它是几级极点。5. （本题8分）求的拉氏逆变换 答案1-3参考答案试题一一1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8二1-5 D A A C D三1. 解:由于，均位于圆周

14、内，由柯西积分公式得 注:其他解法正确也应给分2. 解: 在所围成的区域内有两个孤立奇点, ,所以由留数定理,原式.注:其他解法正确也应给分3. 解: 四1. 解:因为, 要使 只需得到2. 解: 收敛半径 3. 解:时， 因为所以所以 当 时， 4. ，故的奇点为 - 当，是的一级零点，是的二级零点 -又由于是的一级零点所以是的一级极点，-当时，是的二级极点。 -5. 是分母的单零点，是二阶零点，则 习题二一1、 2、圆周 3、， 4、 5、二6、0 7、 8、1 9、收敛 10. 二1-5 ACABC三1解： 2.解：3.由于，所以， 故收敛半径为 四1解：因为, 要使 则 所以函数仅在可

15、导，在整个复平面处处不解析。2.解：函数在内处处解析。当时，。收敛半径为。3. 解：令，于是 4.解：由于则为的傅立叶余弦逆变换，从而， 5.解：设方程的解为，方程两端同取拉普拉斯变换，可得： 所以，两边同取拉普拉斯逆变换，可得习题三一1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.发散 8. 0，2二1-5 BBCCD三1.解：F= F=2. 解：在圆周内满足柯西积分公式，在圆周内处处解析，则 3. 由于，所以， 故收敛半径为 四1. 因为, 要使只需解得2. 奇点为，则函数在内处处解析。 3. ，故的奇点为 - 当，是的一级零点，是的二级零点 -又由于是的一级零点， 是的二级零点所以是的一级极点，

16、-由于所以是的可去奇点。当时，是的二级极点。 -4.函数孤立奇点为二级极点， 一级极点 5. 求方程满足初始条件的解解：设方程的解为，方程两端同取拉普拉斯变换，可得： 所以，可化为两边同取拉普拉斯逆变换，可得42007年复变函数与积分变换试题解答一、（1）-3，1，-3； （2）； （3）； （4）（5）.二、（1）A； （2）D； （3）C； （4）B； （5）C.三、由方程，又，故有， .所以，由得，所以.四、（1）原式（2）因为在上及内部解析，由Cauchy-Coursat基本定理，原式=0.（3）原式（4）原式（5）原式（6）令，则原式记，则Res,Res原积分.五、.（1）在内，（2

17、）在内，（3）在内，六、记，对方程两边取Laplace变换，解得七、设曲线，取正向。由导数公式，因为所以2008年复变函数与积分变换试题解答一、（1）； （2）1，-3，-3； （3）1； （4）； （5）二、（1）D； （2）A； （3）A； （4）A； （5）C三、由知， 。由方程知，所以.又，故有，所以。因此.由可得，所以.四、（1）在曲线上，.（2）是在内的二级极点, 是在内的一级极点. Res Res原式=.（3）原式=.（4）.分别是在上半平面内的两个一级极点. Res Res原积分= （5）令，则原式=是在内部的2级极点，是在内部的一级极点.原式=五、（1）时，（2） （3）六、

18、。.七、令。方程两边取Laplace变换，得.即 .解得 .是的二级极点，是的一级极点Res.Res八、因为是内的解析函数，由方程， （1）如果也是内的解析函数，则， . （2）为使（1），（2）同时成立，当且仅当.所以（为常数）.因此，只有当在内为常数时，才能在内解析，否则不解析.一、客观题1、； 2、0； 3、；4、； 5、0； 6、；、；7、 8、A 9、C 10、C 11、C 12、C二、计算题1、F3分F2分2、被积函数的奇点均在的内部,且均为一级极点1分又1分 1分由留数定理可知,原式=.2分3、设，则，（1分）由解析可知，（1分）再由解析可知，（1分），从而（1分），所以三、解答题1、前两步每步3分，最后一步4分2、L L4分而L4分.1分，上式中取，即得1分3、令，4分则原式，C为正向圆周，2分令，其在C内的奇点为，