2020届高考总复习数学(文科)课时跟踪练(十八)

1、课时跟踪练( (十八)A 组基础巩固1. 已知函数 f(x)= In x ax2+ x 有两个不同的零点，求实数 a 的 取值范围.解：令 g(x) = In x, h(x)= ax2 x,将问题转化为两个函数图象交点的问题.当 a0 时，由 In x ax + x= 0,得 a=x2.x+ In x令 r(x) =x2,fn21+IM(In x+x)2x 1x2In x贝 H r，x)= .x4=x3,当 0 x0, r(x)是单调增函数，x+ In x当 x1 时，r x)v0, r(x)是单调减函数，且20,所以 0 x, 求 a 的取值范围.解：当 a= 1 时，f(x) =x2-ln

2、 x x,(2x+1)( x 1)fx.当 x (0, 1)时,fxjv0;当 x (1，+x) )时，f x) 0.所以 f(x)的最小值为 f(1)= 0.(2)由 f(x)x,得 f(x) x=x2 In x (a+ 1)x0.ln x由于 x0,所以 f(x)x 等价于 xxa+1.ln xx2 1 + In x令 g(x) = xx，贝 S gx(=x2当 x(0,1)时,gx( v0;当 x(1,+x)时，gfx)0.故 g(x)有最小值 g(1) = 1.故 a+ 1v1, av0,所以 a 的取值范围是( (一=,0).x 一 13.已知函数 f(x)= In x.(1)求 f

3、(x)的单调区间；(2)求证：In 寺(1)解：f(x) =x In x= 1 x In x,f(x)的定义域为(0,+x).x 11令 fx) 0? 0VXV1,fx(v0? x1,所以 f(x)= 1 1- In X 在(0, 1)上单调递增，在( (1,+乂)上单调 递减.e21 + x11(2)证明：要证 In厂，即证 2 In x 1 + x，即证 1 X lnx 0 1由由可知，f(x) = 1 x In x 在(0, 1)上单调递增，在( (1,+乂) 上单调递减， 所以 f(x)在(0,+乂)上的最大值为 f(1)= 1 1In 1 = 0, 即 f(x)0 时，解不等式 f(

4、x)0, (ax2+ x)ex 0.所以 ax2+ x0,(1、所以不等式化为 x+a戶 0.1 1所以不等式 f(x)W0 的解集为一a, 0.当 a= 0 时，方程即为 xex=x + 2,由于 ex0,所以 x= 0 不是方程的解,2所以原方程等价于 exx- 1= 0.2 2令 h(x) = exx 1,因为 hx( = ex+x20 对于 x ( , 0)U(0,+ 乂)恒成立，所以 h(x)在(乂，0)和(0,+乂)内是单调递增函数，231又 h(1)=e3v0,h(2)=e220,h(3)=e330,所以方程 f(x) = x+ 2 有且只有两个实数根，且分别在区间1, 2 和3

5、, 2上,所以整数 t 的所有值为 3, 1.5. (2019 长沙一中调研) )已知函数 f(x)= xln x+ ax, a R，函数 f(x)的图象在 x= 1 处的切线与直线 x+ 2y 1 = 0 垂直.(1) 求 a 的值和函数 f(x)的单调区间；(2) 求证：exfx(.(1)解：fx) = In x+1+a,由题意知，f(x)的图象在 x= 1 处的切线的斜率 k= 2,所以 f (=ln 1+1 + a= 2,所以 a= 1.所以 fx( = ln x+ 2,当 xe2时，fx)0,当 0 x0,1因为 gx( = ex *在(0,+x)上单调递增，且 g (1)e- 10

6、, g2 = e 20.因此 gx(在远，远，1 儿存在唯一的零点 t,使得 gt(= e?& = 0.t1(1 1则 e?= ptt 时，gx)gt(= 0,所以 g(x)在(0, t)上单调递减，在( (t,+)上单调递增.11 1 所以 x0 时，g(x) g(t) = et In t 2= t In g 2=t+上上2 22= 0,又；vt0,即 exf刈刈.216. (2019 衡水中学检测) )已知函数 f(x)= 4x2+； a, g(x) = f(x)+b,其中 a, b 为常数.(1)若 x= 1 是函数 y= xf(x)的一个极值点，求曲线 y= f(x)在点(1,

7、 f(1)处的切线方程;(2)若函数 f(x)有 2 个零点，f(g(x)有 6 个零点，求 a+ b 的取值 范围.1解：(1)函数 f(x) = 4x2+一a,贝 y y= xf(x) = 4x3+ 1 ax 的导数为 y= 12x2 a,由题意可得 12 a= 0,解得 a= 12,21f1即有 f(x)= 4x2+x 12, f x(= 8xx2,可得曲线 y= f(x)在点(1, f(1)处的切线斜率为 f (书 7,切点为(1, 7),所以曲线 y= f(x)在点(1, f(1)处的切线方程为 y+ 7= 7(x 1), 即 y=7x14.211(2)f(x)= 4x2+x a, fx)= 8xf