第一章第2讲简单不等式的解法

1、第 2 讲简单不等式的解法1一元一次不等式 axb(a0)的解集(1)当 a0 时，解集为x|xba；(2)当 a0 时，解集为x|x000)的图象一元二次方程ax2bxc0 (a0)的根有两个相异实根 x1，x2(x10(a0)的解集x|xx2x|xx1Rax2bxc0)的解集x|x1xx2做一做1不等式 x23x20 的解集为x|1x0，求解时不要忘记讨论 a0 时的情形(2)当0(a0)的解集是 R 还是，要注意区别(3)不同参数范围的解集切莫取并集，应分类表述2把握一元二次不等式恒成立的条件(1)ax2bxc0(a0)恒成立的充要条件是a0，b24ac0.(2)ax2bxc0(a0)恒

2、成立的充要条件是a0，b24ac0.做一做3不等式 x2ax40 的解集不是空集，则实数 a 的取值范围是_解析：不等式 x2ax40，即 a216.a4 或 a4.答案：(，4)(4，)4若不等式 mx22x10 恒成立，则 m 的取值范围是_解析：由m0（2）24m（1）0，解得 m1.答案：(，1),学生用书 P5P6)考点一_一元二次不等式的解法(高频考点)_一元二次不等式的解法是高考的常考内容，题型多为选择题或填空题，难度适中，属中档题高考对一元二次不等式解法的考查常有以下三个命题角度：(1)直接求解一元二次不等式；(2)与函数性质结合解一元二次不等式；(3)已知一元二次不等式的解集

3、求参数(1)不等式3x22x80 的解集为_(2)已知不等式 x22x30 的解集为 A，不等式 x2x60 的解集为 B，不等式 x2axb0 时，f(x)x24x，则不等式 f(x)x 的解集用区间表示为_解析(1)原不等式可化为：3x22x80，1000，方程 3x22x80 的两根为2，43，结合二次函数 y3x22x8 的图象可知原不等式的解集为x|2x43(2)由题意得，Ax|1x3，Bx|3x2，ABx|1x2，由根与系数的关系可知，a1，b2，则 ab3，故选 A.(3)f(x)是定义在 R 上的奇函数，f(0)0，又当 x0，f(x)x24x.又 f(x)为奇函数，f(x)f

4、(x)，f(x)x24x(x0，0，x0，x24x，x0 时，由 f(x)x 得 x24xx，解得 x5；当 x0 时，f(x)x 无解；当 xx 得x24xx，解得5xx 的解集用区间表示为(5，0)(5，)答案(1)x|2x43(2)A(3)(5，0)(5，)规律方法一元二次不等式的解法问题的常见类型及解题策略(1)直接求解一元二次不等式对于常系数一元二次不等式，可以用因式分解法或判别式法求解；对于含参数的不等式，首先需将二次项系数化为正数，若二次项系数不能确定，则需讨论它的符号，然后判断相应的方程有无实根，最后讨论根的大小，即可求出不等式的解集(2)与函数的性质相结合的一元二次不等式的解

5、法先借助函数的奇偶性确定函数的解析式，然后求解，或直接根据函数的性质求解(3)已知一元二次不等式的解集求参数根据根与系数的关系求解1.(1)(2015皖北协作区联考)不等式 log2(x2x2)1 的解集为()A(2，0)B(1，1)C(0，1)D(1，2)(2)(2015大连模拟)已知函数 f(x)(ax1)(xb)，如果不等式 f(x)0 的解集是(1，3)，则不等式 f(2x)a2(a0)解析：(1)选 C.要使原式有意义需满足：x2x20，解得1xlog22.函数 ylog2x 在0，)上是单调递增函数，x2x22，0 x1.1x0，得 ax2(ab1)xb0，又其解集是(1，3)，a

6、0，且1aba2，ba3，解得 a1 或13，a1，b3，f(x)x22x3，f(2x)4x24x3，由4x24x30，解得 x12或 xa2，12x2axa20，即(4xa)(3xa)0.令(4xa)(3xa)0，得 x1a4，x2a3.a0 时，a4a3，解集为x|xa3 ；aa3，解集为x|xa4 .综上所述：当 a0 时，不等式的解集为x|xa3 ；当 a0 时，不等式的解集为x|xa4 .考点二_一元二次不等式恒成立问题_对任意 x1，1，函数 f(x)x2(a4)x42a 的值恒大于零，求 a 的取值范围解函数 f(x)x2(a4)x42a 的对称轴为 xa424a2.当4a26

7、时，f(x)的值恒大于零等价于 f(1)1(a4)(1)42a0，解得 a0，即 a21，即 a0，即 a1，故有 a1.综上可知，当 a0，g（1）（x2）x24x40，解得 x3.故 x 的取值范围是(，1)(3，)规律方法不等式恒成立问题的求解方法：(1)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数(2)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴上方，恒小于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴下方另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数求最值2.若关于 x 的不

8、等式 ax22x20 在 R 上恒成立，求实数 a 的取值范围解：当 a0 时，原不等式可化为 2x20，其解集不为 R，故 a0 不满足题意，舍去；当 a0 时，要使原不等式的解集为 R，只需a02242a12.综上，所求实数 a 的取值范围为12，.考点三_一元二次不等式的应用_某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为 10 万元辆，出厂价为 12 万元辆，年销售量为 10 000 辆本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本若每辆车投入成本增加的比例为 x(0 x1)，则出厂价相应地提高比例为 0.75x，同时预计年销售量增加的比例为 0.6x，已知年利润(出厂价投入成本)年销售

9、量(1)写出本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加， 则投入成本增加的比例 x 应在什么范围内？解(1)由题意得 y12(10.75x)10(1x)10 000(10.6x)(0 x1)，整理得 y6 000 x22 000 x20 000(0 x0，0 x0，0 x1，解得 0 x13，所以投入成本增加的比例应在0，13 范围内规律方法解不等式应用题的步骤：(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系；(2)将文字语言转化为符号语言，用不等式表示不等关系；(3)解不等式，得到数学结论，要注意数学模型中元素的实际意义；

10、(4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果3.汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”刹车距离是分析交通事故的一个重要因素在一个限速 40 km/h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事发后现场测得甲车的刹车距离略超过 12 m，乙车的刹车距离略超过 10 m又知甲、乙两种车型的刹车距离 s(m)与车速 x(km/h)之间有如下关系：s甲0.1x0.01x2，s乙0.05x0.005x2.问：是谁超速行驶，在此事故中应负主要责任？解：由题意列出不等式，对甲车型：0.1x0.01x212，解得

11、x30(x40 舍去)；对乙车型：0.05x0.005x210，解得 x40(x50 舍去)，从而 x甲30 km/h，x乙40 km/h，经比较知乙车超过限速，在此事故中应负主要责任,学生用书 P6P7)考题溯源已知不等式的解集求参数(2013高考重庆卷)关于 x 的不等式 x22ax8a20)的解集为(x1， x2)，且 x2x115，则 a()A.52B.72C.154D.152解析法一：由 x22ax8a20)，得(x4a)(x2a)0，即2axmx 的解集为x|0 x0 的解为12x13， 则不等式 2x2bxa0 的解集是_解析：由题意，知12和13是一元二次方程 ax2bx20

12、的两根且 a0，所以1213ba，12132a，解得a12，b2.则不等式 2x2bxa0，即 2x22x120 的解集为x|2x3答案：x|2x32已知函数 f(x)x2axb(a，bR)的值域为0，)，若关于 x 的不等式 f(x)c 的解集为(m，m6)，则实数 c 的值为_解析：函数 f(x)的值域为0，)，x2axb0 时，有a24b0，即 ba24，f(x)x2axbx2axa24(xa2)2.f(x)(xa2)2c，解得 cxa2 c，即 ca2x ca2.不等式 f(x)c 的解集为(m，m6)，( ca2)( ca2)2 c6，解得 c9.答案：91不等式(x1)(3x)0

13、的解集是()A(1，3)B1，3C(，1)(3，)Dx|x1 且 x3解析：选 C.根据题意，(x1)(3x)0，所以其解集为(，1)(3，)故选 C.2设 a0，不等式caxbc 的解集是x|2x1，则 abc()A123B213C312D321解析：选 B.caxb0，bcaxcba.不等式的解集为x|2x1，bca2，cba1，ba2，c32a，abcaa23a2213.3(2015湖北八校联考)“0a0 的解集是实数集 R”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选 A.当 a0 时，10，显然成立；当 a0 时，a0，4a24a0的解集是实数集

14、 R 等价于 0a1.因此， “0a0 的解集是实数集 R”的充分而不必要条件4(2015上海八校联合调研)已知关于 x 的不等式x1xa2 的解集为 P.若 1P，则实数 a的取值范围为()A(，01，)B1，0C(，1)(0，)D(1，0解析：选 B.1P 有两种情形，一种是111a2，另一种是 x1 使分母为 0，即 1a0，解得1a0.5定义区间长度 m 为这样的一个量：m 的大小为区间右端点的值减去左端点的值若关于 x 的不等式 x2x6a0 有解，且解集的区间长度不超过 5 个单位长度，则实数 a 的取值范围是()A(124，1B(，1241，)C(0，1D24，1)解析：选 A.

15、因为关于 x 的不等式 x2x6a0，则 a124.设方程 x2x6a0 的两根为 x1， x2， 则 x1x21， x1x26a， 又|x1x2|5， 即 （x1x2）2 （x1x2）24x1x2 124a5，解得 a1，故选 A.6不等式|x(x2)|x(x2)的解集是_解析：不等式|x(x2)|x(x2)的解集即 x(x2)0 的解集，解得 0 x2.答案：x|0 x27若 0a0 的解集是_解析：原不等式即(xa)x1a 0，由 0a1 得 a1a，ax1a.答案：x|ax0 的解集是x|12x0 的解集解：(1)由题意知 a0，即 2x25x30，解得3x0 的解集为(3，12)10

16、某同学要把自己的计算机接入因特网，现有两家 ISP 公司可供选择公司 A 每小时收费 1.5 元；公司 B 在用户每次上网的第 1 小时内收费 1.7 元，第 2 小时内收费 1.6 元，以后每小时减少 0.1 元(若用户一次上网时间超过 17 小时，按 17 小时计算)假设该同学一次上网时间总是小于 17 小时，那么该同学如何选择 ISP 公司较省钱？解：假设一次上网 x(x1.5x(0 x17)，整理得 x25x0，解得 0 x5，故当 0 x5 时，A 公司收费低于 B 公司收费，当 x5 时，A，B 两公司收费相等，当5x17 时，B 公司收费低，所以当一次上网时间在 5 小时以内时，

17、选择公司 A 的费用少；为 5 小时时，选择公司 A 与公司 B 费用一样多；超过 5 小时小于 17 小时，选择公司 B 的费用少1(2015陕西西安质检)在 R 上定义运算：adbc若不等式1 对任意实数 x 恒成立，则实数 a 的最大值为()A12B32C.13D.32解析：选 D.原不等式等价于 x(x1)(a2)(a1)1，即 x2x1(a1)(a2)对任意 x 恒成立，x2x1x1225454，所以54a2a2，12a32.故选 D.2 关于 x 的不等式 x2(a1)xa0 的解集中， 恰有 3 个整数， 则 a 的取值范围是()A(4，5)B(3，2)(4，5)C(4，5D3，

18、2)(4，5解析：选 D.原不等式可化为(x1)(xa)1 时得 1xa，此时解集中的整数为2，3，4，则 4a5，当 a1 时得 ax1，则3a2，故 a3，2)(4，53(2014高考课标全国卷)设函数 f(x)ex1x1，x13x1，则使得 f(x)2 成立的 x 的取值范围是_解析：当 x1 时，x10，ex1e012，当 x0 时，f(x)(x1)2；若当 x2，12 时，nf(x)m恒成立，则 mn 的最小值为_解析：当 x0，f(x)f(x)(x1)2，x2，12 ，f(x)minf(1)0，f(x)maxf(2)1，m1，n0，mn1.答案：15已知函数 f(x)mx2mx1.(1)若对于 xR，f(x)0 恒成立，求实数 m 的取值范围；(2)若对于 x1，3，f(x)5m 恒成立，求实数 m 的取值范围解：(1)由题意可得 m0 或m0，m24m0m0 或4m04m0.故 m 的取值范围是(4，0(2)法一：要使 f(x)m5 在1，3上恒成立，即 mx12234m60 时，g(x)在1，3上是增函数，所以 g(x)maxg(3)7m60，所以 m67，则 0m67；当 m0 时，60 恒成立；当 m0 时，g(x)在1，3上是减函数，所以 g(x)maxg(1)m60，所以 m6，所以 m0.综上所述：m 的取值范围是，67 .法二：